Общая постановка задачи расчёта надёжности. Прямая и обратная задачи теории надёжности

1.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
КАФЕДРА СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
И ТЕОРИЯ НАДЁЖНОСТИ
СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСЧЁТА
НАДЁЖНОСТИ.
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ

2.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
Общая схема постановки задачи
расчёта надёжности сооружения/конструкции
ОБОЗНАЧЕНИЯ: надёжность – Ps ( s – successful ), N
вероятность отказа – Pf ( f – failure ), PS (0)
ОБОБЩЁННОЕ УСЛОВИЕ БЕЗОТКАЗНОСТИ
(РАБОТОСПОСОБНОСТИ) ПО НЕКОТОРОМУ
КРИТЕРИЮ:
По А.Р. Ржаницыну
~ ~
Q R
Обобщённая нагрузка
(нагрузочный фактор / эффект,
load effect) (по ГОСТ – результат (эффект) воздействия)
параметр нагрузки
усилие
напряжение
перемещение
частота колебаний
другое
Ps = 1 – Pf
N = 1 – PS (0)
( по ГОСТ 27751 – 2014 – расчётный
критерий предельного состояния )
Обобщённая прочность
(сопротивление, resistance)
предельная нагрузка
(несущая способность)
предельное усилие
предел текучести, прочности
допустимое перемещение
частота колебаний (собств.)
другое
Ps = P ( Q< R )
(N)
Q, R – реализации~случайных
~
величин Q и R

3.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
Общая схема постановки задачи
расчёта надёжности сооружения/конструкции
ВАРИАНТ ЗАПИСИ УСЛОВИЯ БЕЗОТКАЗНОСТИ (РАБОТОСПОСОБНОСТИ):
~
S 0
~
~ ~
S R Q – резерв (обобщённой) прочности
– по А.Р. Ржаницыну
(функция работоспособности)
Надёжность
В общем случае
от времени t :
~ ~
Q Q (t )
~ ~
R R (t )
Ps = 1 – Pf
~ ~
Q и Rзависят
Ps Ps (t )
где Pf = P ( S < 0 );
S – реализация случайной
~
величины S
Ps (t)
1
[Ps ]
Ps [T ]
Ps (t) < 1 ( ! )
T ([Ps ])
долговечность
[T ]
t

4.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
Обобщённое условие безотказности
по некоторому критерию работоспособности
~ ~ ~
~ ~
S R Q 0
Q R
pQ (Q) , pR (R)
Q
Q, R
R
Pf = P ( R < Q )
pS (S)
0
Pf = P ( S < 0 ) = PS ( 0 ) β Sˆ
S
S
β S
Sˆ
0
– характеристика
безопасности
(индекс
надёжности,
Pf pS ( S ) d S
~
~ ~
S S (Q, R)
reliability index)
~
~
~ ~
~
Пример: Q M
Q Q XQ
q~ l 2/8 (нагрузочный
эффект)
max
~
~
~
XQ ~
xQ1 ~
xQ2 ... ~
xQi ... ~
xQnQ
XQ q~ l
~
~
~ ~ ~ ~
R R XR
R M0 σ
(сопротивление)
uW
~
~
~
~
X R ~
x R1 ~
x R2 ... ~
x Ri ... ~
x RnR
X R σu W ~ ~
~
~
u u X
При нескольких
условиях
безотказности:
~ bh
W
~ u
~1 u
~2 ... u
~k ... u
~m
u
6
2

5.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
pRj (Rj)
Для j-го условия
безотказности по
некоторому критерию
работоспособности:
~ ~ ~
S j Rj Q j 0
pQj (Qj)
Qj
Pfj = 1 – Psj = P( Qj >Rj ) –
вероятность отказа
по j-му условию
безотказности
S j Rj Q j
ˆS S R Q 2R Q
j
j
j
j
j j
работоспособности)
0
p
Sj
( S j ) dS j
Для нормального
распределения (S
pSj (S j )
1
e
2πS j
Rj
pSj (Sj)
Резерв обобщённой
прочности (функция
Pfj
Qj , Rj
0
Sj
Pfj β Sˆ
j
j
2
j S j)
2S j
Sj
β j S j / Sˆ j – индекс надёжности reliability
(характеристика безопасности)
Sj
βj 1
ASj
Sˆ
j
index
1 ξj
Qj
; ξj
2
2
Rj
ARj (ξ j AQj )
вычисление Pfj возможно с помощью интеграла вероятностей (функции Лапласа)

6.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ФУНКЦИИ ЛАПЛАСА)
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ОТКАЗА ПО ИНДЕКСУ НАДЁЖНОСТИ
px (x)
x
Ф0 ( x) 1 e
2π 0
t 2 dt
2
В расчётах надёжности x ≡ b
x
0
Вероятность
Pf = 0,5 – F0 ( x )
x=b
10 – 7
5,2
10 – 6
10 – 5
0,0001
0,0005
0,001
0,002
4,79
4,265
3,719
3,291
3,090
2,878
0,005
0,01
0,02
0,05
0,1
2,576
2,326
2,054
1,645
1,282
b
5,2
5
4,79
4,265
4
3,719
3,090
3
2,326
2
1,282
1
–7
Pf ≈ 10 –b
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
–0,301
lg Pf
при b = 1 … 4 (из зарубежных
Более точно (ВГС):
источников)
Pf ≈ 10 – ( 0,23b
2 + 0,8
при b = 2 … 7

7.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
Определение вероятности отказа
методом статистических испытаний:
по результатам n0 расчётов системы при различных случайных
реализациях входных расчётных параметров выявляется
количество испытаний nf j , в которых получено Qj > Rj ( Sj < 0 ) ,
тогда
Pf j = nfj / n0 .
Пример
q~
~
h
l = 4 м ( ~ детерм.)
Ориентировочно n0 ~ (102…103)/Pfj .
~
b
Требуется определить вероятность отказа деревянной балки
~ σ
~ σ
~ при q~ q~ q~
по условию прочности σ
c
s ~
0
u
~
~ – max
2
~
~
( qc – постоянная нагрузка, q
снеговая).
σ q l /(8W )
s
0
qc 6 кН/м; qˆc 0,48 кН/м; qs 5 кН/м; qˆ s 1,6 кН/м ( Aqc 0,08 ; Aqc 0,32) ;
b 0,15 м; bˆ 0,0006 м; h 0,3 м; hˆ 0,0015 м; ( Ab 0,004 ; Ah 0,005) ;
~ ~ ~
σu 18 МПа; Aσu 0,15) .
S σ
u σ0
nc x ns
Pf
S , МПа
Sˆ, МПа
Вариант 1 – все расчётные параметры
нормально распределённые
n0 = 5000
n0 = 50000
n0 = 500000
Для сравнения – по методу
статистической линеаризации:
S 8,222 МПа Sˆ 3,083 МПа Pf 0,00367
400 x 5
8,218
3,028
0,002
1000 x 5
8,229
3,095
0,004
2000 x 5
8,256
3,040
0,003
104 x 5
8,233
3,082
0,00376
2 x 104 x 5
8,215
3,065
0,00374
105 x 5
8,224
3,079
0,003782
2 x 105 x 5
8,219
3,081
0,003766

8.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
Определение вероятности отказа
методом статистических испытаний:
по результатам n0 расчётов системы при различных случайных
реализациях входных расчётных параметров выявляется
количество испытаний nf j , в которых получено Qj > Rj ( Sj < 0 ) ,
Pf j = nfj / n0 .
тогда
Пример
q~
~
h
l = 4 м ( ~ детерм.)
Ориентировочно n0 ~ (102…103)/Pfj .
~
b
Требуется определить вероятность отказа деревянной балки
~ σ
~ σ
~ при q~ q~ q~
по условию прочности σ
c
s ~
0
u
~
~ – max
2
~
~
( qc – постоянная нагрузка, q
снеговая).
σ q l /(8W )
s
0
qc 6 кН/м; qˆc 0,48 кН/м; qs 5 кН/м; qˆ s 1,6 кН/м ( Aqc 0,08 ; Aqc 0,32) ;
b 0,15 м; bˆ 0,0006 м; h 0,3 м; hˆ 0,0015 м; ( Ab 0,004 ; Ah 0,005) ;
~ ~ ~
σu 18 МПа; Aσu 0,15) .
S σ
u σ0
n0 x ns
Pf
S , МПа
Sˆ, МПа
Вариант 2 – для снеговой
400 x 5
8,201
3,124
0,003
нагрузки – распределение
Гумбеля, остальные параметры нормально распределённые
n0 = 5000
n0 = 50000
qs , МН/м
n0 =
= 500000
1000 x 5
8,257
3,130
0,0052
2000 x 5
8,223
3,087
0,0058
104 x 5
8,222
3,099
0,0057
2 x 104 x 5
8,196
3,112
0,00576
105 x 5
8,199
3,109
0,00601
2 x 105 x 5
8,213
3,111
0,00599

9.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
Надёжность по комплексу критериев безотказности
(при нескольких альтернативных критериях)
Ps Ps прочн Ps устойч Ps жёстк Ps друг
При m условиях расчётных предельных состояний
по всем используемым критериям безотказности
m
m
j 1
j 1
Ps Psj 1 Pfj
Вероятность отказа
m
m
j 1
j 1
Pf 1 Ps 1 Psj 1 (1 Pfj )
Приближённо
при Pf j << 1/m:
m
Pf Pfj
j 1

10.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
Элементы
Построение «дерева отказов (рисков)» и анализ рисков
Узлов,
сечений
Сжатие
в ослабленных
сечениях
Узлов,
сечений,
точек
Л ПРС ?
Особые
требования
Отказ

11.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
ТИПЫ ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАДЁЖНОСТИ
► прямая (поверочная) задача – ПЗТН
► обратная (проектная) задача – ОЗТН
► оптимизационная задача
– ОптЗТН
П З Т Н: при известных (заданных) функциональных или числовых характеристиках
вероятностных свойств расчётных параметров и обозначенных критериях / условиях
безотказности определить надёжность системы (сооружения, конструкции) Ps и / или
вероятность её отказа Pf = 1 – Ps .
О З Т Н: определить область допустимых значений (ОДЗ)*) вероятностных характеристик указанной группы случайных расчётных параметров, обеспечивающих надёжность системы не менее требуемой [ Ps ] или вероятность отказа не более допустимой [ Pf ] , при известных стохастических описаниях остальных расчётных величин и
обозначенных критериях / условиях безотказности.
.
*) Иначе
–
–
–
–
– доверительную область значений (ДОЗ).
Варианты ОЗТН – определение ОДЗ вероятностных характеристик
геометрических параметров сечений конструктивных элементов – подбор сечений;
воздействий (нагрузок);
физико-механических свойств материалов;
группы разнотипных расчётных параметров.
О п т З Т Н: найти стохастические расчётные параметры системы, оптимальной по
некоторому критерию, с учётом требований надёжности или обладающей наибольшей возможной надёжностью.
Примечание: некоторые заданные или подлежащие определению расчётные параметры
системы могут быть детерминированными (или квазидетерминированными) величинами.

12.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
Математическая модель ПЗТН:
~ ~
~
заданы { X } и ограничения Q j R j ( j
найти
Ps Pf 1 Ps .
1, m ) ;
Анализ и ввод исходной
статистической информации
Алгоритм
решения ПЗТН
Выбор критериев
и формирование комплекса
условий безотказности
МСЛ
Выбор метода
вероятностного
расчёта
Цикл по j = 1,…, m
Вычисление
Вар. 2
Q j , Qˆ j , R j , Rˆ j
Вар. 1
S j , Sˆ j
β j S j / Sˆ j
ξ j Q j / Rj
МСИ
Генерирование
репрезентативной
выборки
случайных
значений Sj
AQj , ARj
βj
Pfj
1 ξ j
A (ξ j AQj )
2
Rj
n fj
n0 j
m
Pf 1 (1 Pfj )
j 1
P
2
Определение Pfj
по принятой модели pSj (Sj)
m
Ps 1 Pj 1 Pfj
j 1
m
j 1
fj
К

13.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
Математическая модель ОЗТН:
заданы: требуемая [ Ps ] или допустимая [ Pf ],
~
~ ~
часть расчётных параметров { X 0 } и ограничения Q j R j ( j
1, m ) ;
найти область допустимых значений (ОДЗ) входных параметров.
В общей постановке:
Ps X 0 , AX [Ps]
где
X и A
0
X
или
Pf X 0 , AX [Pf ]
(а)
– векторы искомых МО и КВ расчётных параметров
(в них могут присутствовать и детерминированные величины с КВ, равными 0).
Взятые со знаком равенства требования (а) определяют граничную
гиперповерхность искомой ОДЗ в 2nX -мерном пространстве характеристик
(nX – размерность векторов).
Применение достаточно удачных аппроксимаций позволяет получить
из (а) уравнение границы ОДЗ расчётных параметров в пространстве
частных индексов надёжности, например
m
(б)
lg 10 j ( β j ) lg [P ] 0.
j 1
f
Если нормируется не надёжность или вероятность отказа, а общий
индекс надёжности [ b0 ], то в (б): lg [Pf ] = (0,23[ β0 ]2 0,8)

14.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
Математическая модель ОЗТН:
заданы: требуемая [ Ps ] или допустимая [ Pf ],
~
~ ~
часть расчётных параметров { X 0 } и ограничения Q j R j ( j
1, m ) ;
найти область допустимых значений (ОДЗ) входных параметров.
Ввод исходных
~
данных { X 0 } и [ Ps ] ~ [ Pf ]
Выбор критериев
и формирование комплекса
условий безотказности
Назначение коэффициентов
распределения вероятности
отказа pfj = Pfj / Pf0 ( j = 1,…, m)
Вычисление допустимых
вероятностей отказов
[ Pfj ] = pfj [ Pf ] / S pfj ( j = 1,…, m)
Да Есть локальные
Цикл по j для
локальных условий
условия
безотказности?
Нет
Алгоритм
решения ОЗТН
Цикл по j для общих условий
Определение
ОДЗ группы расчётных
параметров по общему
условию безотказности
Определение
[ bj ] по [ Pfj ]
Вычисление фактической
вероятности отказа Pfj
Нахождение
ОДЗ части
расчётных
параметров
Корректировка допустимых
вероятностей отказов [ Pfj ]
по оставшимся условиям
безотказности
Вычисление фактической
общей вероятности отказа
Pf
Нет
Да
Проверка
выполнения условия
Pf < [ Pf ]?
Уточнение ОДЗ расчётных
параметров
К

15.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
А л г о р и т м (вариант):
1) по известной [ Pf ] определяется требуемое значение частного
индекса надёжности в предположении наиболее невыгодного по общей
надёжности, но выигрышного по расходу материала случая равной
вероятности отказов по всем m условиям работоспособности:
[ β j ] 2,085 lg [Pf ] 0,8 lg m
[ β0]2 4,348 lg m ;
2) выбирается одно из условий, содержащее либо одну из подлежащих
определению расчётных величин, либо несколько взаимосвязанных
(например, площадь и моменты сопротивления сечения стержневого
конструктивного элемента в условии прочности при пространственной
деформации в упругой стадии); из равенства b j = [ bj ] получается
уравнение, связывающее МО и КВ искомых расчётных параметров,
решаемое, как правило, подбором – последовательными приближениями,
причём КВ сначала могут назначаться ориентировочно;
удобно использовать заданный по смыслу коэффициент AQ j
( AR j обычно известен ), откуда решением квадратного уравнения
находится коэффициент нагруженности x j , далее по x j находятся
комбинации искомых МО параметров при соответствующих их КВ;
3) последовательно аналогичным образом используются все расчётные
условия безотказности, причём в каждом последующем учитываются
уже ранее найденные параметры.

16.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
При переходе к расчёту по очередному условию безотказности
целесообразно уточнять [ bj ] с учётом вероятностей отказов Pfj по
уже рассмотренным условиям:
mp
[ β j ] 2,085 lg [Pf ] Pfj 0,8 lg (m mp) ,
j 1
где mp – количество ранее использованных условий.