Лекция_9_ТВ_4

1.

Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 9
Схема Бернулли.
Теоремы Лапласа.
Формула Пуассона.

2.

Повторение испытаний
Рассмотрим единичный эксперимент, в результате
которого может произойти некоторое событие А. Если
событие А произошло, говорим, что произошел успех.
Пусть этот эксперимент проводится несколько раз.
Основные вопросы:
1.
Вероятность для некоторого числа появлений
события А;
2. Вероятность для числа проведенных испытаний до
первого появления события А или некоторого
фиксированного числа появлений А.

3.

Типы испытаний:
1. Вероятность успеха постоянна в каждом испытании;
2. Вероятность успеха меняется.

4.

Схема Бернулли (биномиальная)
Пусть производится n независимых испытаний.
Пусть P(А)=p в каждом испытании и q = 1 – p.
Найти
Pn (k )- в n испытаниях событие А наступит k раз

5.

Вероятность события - в n испытаниях А наступит k раз и
не наступит n – k раз равна
k
p q
Число таких событий равно
n k
k
n
C .
Так как эти события несовместны и равновероятны,
получаем формулу:
Pn (k ) C p q
k
n
k
n k
n!
k n k
p q .
k !(n k )!
Данную формулу называют формулой Бернулли.

6.

7.

8.

9.

Схема Пуассона — это предельный случай биномиального
распределения, применяемый для моделирования редких
событий. Она используется, когда вероятность события p мала,
а количество испытаний n велико, при этом произведение n⋅p
остаётся конечной величиной.
Пусть вероятность успеха при фиксированном числе
испытаний n постоянна и мала, уменьшается с ростом n,
однако np постоянна.

10.

Формула Пуассона
e
P(k )
k!
k

11.

12.

13.

14.

Геометрическая схема
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из
которых вероятность появления события А равна р
(0<p<1) и q = 1 – p.
Испытания проводятся до первого появления события А.
Пусть в первых k – 1 испытаниях событие А не
наступило, а в k-м испытании появилось. Тогда:
P( k ) q
k 1
p.

15.

16.

17.

Формулы Пуассона и Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли
значениях n достаточно трудно.
при
больших

18.

e
Pn (k )
,где np
k!
k

19.

20.

21.

Локальная теорема Лапласа
Если вероятность р появления события А в каждом испытании
постоянна, отлична от нуля и единицы и npq >9, то
Pn ( m)
m np
1
npq npq

22.

Функция
1
( x)
e
2
x2
2
называется
функцией Гаусса.
Свойства функции Гаусса:
1. Четность
x x
2. Асимптотичность
x 0, x 4

23.

24.

25.

Интегральная теорема Лапласа
Как вычислить вероятность
Pn (k1 , k 2 )
того, что событие А появится в n испытаниях не менее k 2 и не
более k 1 раз?
Pn (k1 , k2 ) 0 x2 0 x1
k1 np
x1
npq
k2 np
x2
.
npq

26.

Функция Лапласа
0 x
x
1
e
2 0
z2
2
dz
Свойства функции Лапласа
1. Нечетность 0 ( x) 0 ( x).
2. Асимптотичность
0 x 0,5; x 5