Повторение испытаний

1. «Повторение испытаний»

2. План

I.
II.
III.
IV.
Формула Бернулли
Локальная теорема Лапласа
Интегральная теорема Лапласа
Вероятность отклонения
относительной частоты от
постоянной вероятности в
независимых испытаниях

3. I.

Стоит задача, вычислить вероятность того,
что при n испытаниях событие А
осуществится ровно k раз и,
следовательно, не осуществится (n – k)
раз. Важно подчеркнуть, что не требуется,
чтобы событие А повторялось ровно k раз
в определенной последовательности.
Искомую вероятность обозначим Pn(k)
(#P5(3)).
Задачу можно решить с помощью формулы
Бернулли

4.

Pn (k ) Cnk p k q n k
n!
Pn (k )
p k q n k
k !( n k ) !
Легко видеть, что пользоваться
формулой Бернулли при больших
значениях n достаточно сложно, т.к.
формула требует выполнения
действий над громадными числами.
(# P50(30))

5. II.

Естественно возникает вопрос:
нельзя ли вычислить
интересующую нас вероятность,
не прибегая к формуле
Бернулли? Оказывается, можно.
Локальная теорема Лапласа дает
формулу, которая позволяет
приближенно найти вероятность
появления событий ровно k раз в
n испытаниях, если число
испытаний достаточно велико.

6. Th:

Если вероятность р появления
события А в каждом испытании
постоянна и отлична от нуля и
единицы, то вероятность Pn(k) того,
что событие А появится в n
испытаниях ровно k раз
приближенно равна (тем точнее,
чем больше n) значению функции

7.

y
1
1
x2 / 2
e
npq
2
при
x (k np ) / npq
1
( x)
npq
1 x2 / 2
e
( x 0) - локальная функция
( x)
2
Лапласа
Функция φ(x) четная, т.е. φ(-x) = φ(x)
1
Pn (k )
( x)
npq

8. #.

Найти приближенно вероятность
того, что при 400 испытаниях
событие наступит ровно 104 раза,
если вероятность его появления в
каждом испытании равна 0,2.
n = 400
k = 104
p = 0,2 ,
q = 0,8

9.

104 80
1
P400 (104)
400 0,2 0,8 400 0,2 0,8
1 24 1
1
(3) 0,0044 0,00055
8 8 8
8
P400 (104) 0,0006

10. III. Интегральная теорема Лапласа

Th: Если вероятность р наступления
события А в каждом испытании постоянна
и отлична от нуля и единицы, то
вероятность Pn(k1, k2) того, что событие А,
появится в n испытаниях от k1 до k2 раз,
приближенно равна определенному
интегралу.
x
1
x2 / 2
Pn (k1 , k2 )
e
dz,
2 x
x (k1 np) / npq и k (k2 np) / npq

11.

При решении задач пользуются
специальной таблицей.
x
2
1
z
/2
Таблица для интегралаФ( х)
e dz, x 0
2
0
для х < 0 пользуемся той же
таблицей, т.к. Ф(х) нечетная, т.е. Ф(х) = - Ф(х).
В таблице приведены значения до x
= 5 для х > 5 можно принять Ф(х) =
0,5
Ф(х) – функция Лапласа.

12.

1
Pn (k1 , k 2 )
2
1
2
x
e
0
z2 / 2
0
e
z2 / 2
x
1
dz
2
x
1
z2 / 2
dz
e
dz
2 0
x
e
z2 / 2
dz Ф( х ) Ф( х )
0
Итак, вероятность того, что событие
А появиться в независимых
испытаниях от k1 до k2 раз,
Pn (k1 , k2 ) Ф( х ) Ф( х )

13. #

Вероятность поражения мишени
стрелком при одном выстреле равна
0,75. Найти вероятность того, что
при 100 выстрелах мишень будет
поражена не менее 70 и не более
80 раз.
p = 0,75, q = 0,25
n = 100
k1 = 70, k2 = 80

14.

70 75
80 75
Ф
P100 (70, 80) Ф
75 0,25
25
,
0
75
5
2
2Ф 2Ф(1,15)
2Ф
3
0,5 5 3
2 0,3749 0,7498

15. IV.

Поставим перед собой задачу найти
вероятность того, что отклонение
относительной частоты m/n от
постоянной вероятности p по
абсолютной величине не превышает
заданного числа E > 0. Другими
словами, найдем вероятность
осуществления неравенства
|m/n – p| ≤ E

16.

Эту вероятность будем обозначать
так:
P(| m / n p | E) 2Ф( E n /( pq) )
Итак, вероятность осуществления
неравенства |m/n – p| ≤ E
приближенно равна значению
удвоенной функции Лапласа
n
2Ф(х) при х E
pq

17. #

Вероятность появления события в
каждом из 10 000 независимых
испытаний р = 0,75. Найти
вероятность того, что
относительная частота появления
события отклонится от его
вероятности по абсциссе величине
не более чем на 0,001

18. #

Вероятность появления события в
каждом из независимых испытаний
равна 0,2. Найти, какое отклонение
относительной частоты появления
события от его вероятности можно
ожидать с вероятностью 0,9128 при
5000 испытаниях.