ТСиСА+_Игры+с+природой_

1.

Принятие решений в условиях
неопределенности
Игры с природой
1

2.

Современный мир – мир потрясений, непредсказуемых
изменений и кризисов. Конфликтная ситуация,
экстремальная, ситуация риска давно заняли свою нишу
в мире научных исследований. Тем не менее,
существует еще много неизученных процессов
человеческой деятельности, и поведение человека в
ситуации
неопределенности
–
тому
пример.
Неопределенность все более становится неотъемлемой
характеристикой жизни в связи с чем очевидна
необходимость понимания поведения человека и
особенностей принимаемых им решений в условиях
неопределенности.

3.

Теория игр — это теория математических моделей принятия
оптимальных решений в условиях наличия неопределенности
и противоположных интересов у различных сторон
конфликта.
Теория игр применяется в вопросах борьбы фирм за рынки, в
явлениях олигополии, в планировании рекламных компаний, при
формировании цен на конкурентных рынках, в обменных и
торговых операциях, в биржевой игре, в анализе коалиционного
поведения и т.д. Теория игр предлагает: четкий язык
формализации ситуаций с неопределенностью, критерии оценки
альтернатив с учетом различного поведения участников игры и
обоснование оптимальности решений, выбираемых интуитивно.
3

4.

Игрой называется упрощенная математическая модель
ситуации (с несовпадающими интересами, конфликтной и
др.), отличающаяся от реальности тем, что ведется по
определенным правилам. Она предполагает, что есть
минимум два игрока, совершающие определенные
действия, и результат игры определяется их
совокупным выбором.
Суть игры в том, что каждый из участников принимает
решения, которые в развивающейся ситуации, как он
полагает, могут обеспечить ему наилучший исход. Исход
игры - это значение некоторой функции, называемой
функцией выигрыша (платежной функцией), которая
может задаваться либо аналитически выражением, либо
таблично (матрицей). В дальнейшем будем рассматривать
только такие игры, в которых выигрыш выражается количественно: стоимостью, баллами и т. д.

5.

Участвующие в ситуации стороны обычно называют
игроками, а решения, которые способны принимать
игроки, - стратегиями (стратегия - совокупность
правил, однозначно определяющих действия игрока в
каждой конкретной ситуации, складывающейся в
процессе игры). Цель игры состоит в поиске
оптимальных стратегий участников с учетом
различных условий (уровень информированности,
число
и
последовательность
разыгрываний,
понимание рациональности поведения и т.д.).

6.

Неопределенность может быть следствием многих влияний
среды, таких, как:
► колебание спроса;
► нестабильность экономической ситуации;
► изменение курса валют;
► колебание уровня инфляции;
► неустойчивая биржевая ситуация;
► изменение политической обстановки;
► форсмажорные обстоятельства;
► погода как природное явление…
6

7.

Существуют ситуации, в которых предполагается логичность (рациональность)
действий игроков, каждый из которых хочет получить для себя максимум
выгоды за счет другого (например, антагонистические игры и игры с
несовпадающими интересами: «семейный спор», «дилемма заключенного»,
«Борьба за рынки» и др.). Другая разновидность, изучаемая здесь, - так
называемые игры с природой. Отличительная особенность игры с
природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из
участников, в большинстве случаев называемый ЛПР (статистик). Второму
игроку (природе) не важен результат, либо он не способен к осмысленным
решениям. Например, условия не зависят от действий игрока, а определяются
внешними факторами: реакция рынка, который не будет вредить одному
конкретному игроку, государственная политика, реальная природа…
Формализация начинается с построения платежной матрицы, что является, по
существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки
в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими
вычислительными методами и приведут к неверному итоговому
результату.

8.

Игра, в которой осознанно действует только один из
игроков, А (он же ЛПР, активный участник, статистик),
называется игрой с природой.
«Природа», П – это обобщенное понятие второго
участника, не преследующего собственных целей и
не стремящегося обратить в свою пользу ошибки
активного игрока.
Природа может реализовать одно из своих
возможных состояний и не имеет целью получение
выигрыша.
8

9.

Неопределенность в игре с природой – это
ситуация, в которой условный противник (среда)
не имеет противоположных интересов, но
выигрыш действующего игрока во многом
зависит от неизвестного заранее состояния
противника.
Причина неопределенности - недостаток
информации о внешних условиях, диктуемых
окружающей средой, и особенностях реализации
решений.
9

10.

Платежная матрица (матрица выигрышей) - это один из методов
отображения информации в ситуации, когда имеется два участника.
Он полезен, когда ЛПР должен установить, какая из его стратегий в
наибольшей мере будет способствовать достижению его цели.
Платеж может выражать величину денежного вознаграждения или
полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в
сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи
представить в форме таблицы (или матрицы), получаем платежную
матрицу. Матрица показывает, что платеж зависит от определенных
событий, которые могут свершиться. Иногда фактически она есть
матрица убытков, отраженных положительными величинами,
что влияет на форму использования критериев принятия
решения!
Элементами платёжной матрицы являются числа, выражающие
выигрыши и проигрыши игроков. Выигрыши и проигрыши могут
также выражаться в баллах, других единицах или быть
безразмерными. В игре с природой ее элементы – результаты
только для ЛПР.

11.

Игра с природой представляется в виде
платежной матрицы, элементы которой
аij– выигрыши игрока А, но они не
являются проигрышами природы П.
Ей безразличен результат.
11

12.

3.2. Принятие решений в условиях неопределенности
Если будет принято i-e решение, а
состояние внешней среды соответствует
j-й ситуации, то лицо, принимающее
решение, получит доход aij
{выбранная стратегия Аi + реализовавшееся
состояние природы Пj} => результат аij
12

13.

Каждый элемент платежной матрицы aij – выигрыш
игрока А при стратегии Ai в состоянии природы Пj
П1
выигрыши игрока А
П2
a11 a12
a21 a22
... ...
am1 am 2
…
Пn
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
A1
A2
Am
природа (П)
13

14.

Пример построения платежной матрицы
(задание, подобное тому, что в лабораторной работе)
Параметры, в зависимости
от которых платежная
функция принимает
конкретный вид
Пока только построим матрицу платежей!

15.

16.

17.

Примеры платежных матриц в лабораторной и контрольной
работах

18.

19.

Обычно, решая игру с природой, ЛПР должен
выбрать
стратегию
с
оптимальным
показателем качества или критерием
оптимальности (таковых стратегий может
оказаться одна или более, но с одинаковой
оценкой критерия качества). Критерии
оптимальности - это правила, позволяющие
указать способ выбора наилучшего для ЛПР
решения с учетом особенностей ситуации и
поведения ЛПР. Ситуацию с комбинированием
стратегий здесь не рассматриваем (хотя
постановка подобных задач и методы их
решения существуют)!

20.

3.2. Принятие решений в условиях неопределенности
Для выбора наиболее эффективного варианта
стратегии ко всем возможным вариантам развития
ситуации рекомендуется применить несколько
критериев. Оптимальной разумно считать ту
стратегию из имеющихся, на которую укажет
большинство критериев
(если таковая
имеется). При наличии нескольких наилучших
вариантов с одинаковой частотой ЛПР может
поставить дополнительные требования (или
«бросить жребий»).
20

21.

Простые (чистые) критерии в играх с
природой
К ним относятся:
1) критерий Вальда;
2) критерий максимакса;
3) критерий Байеса;
4) критерий Лапласа;
5) критерий Сэвиджа.
Замечание: принятие решений в условиях риска
происходит при применении критерия Байеса.
Оценка же самой величины риска дается в критерии
Сэвиджа, а максимальный риск весьма часто имеет
место при применении критерия максимакса.

22.

1) Критерий Вальда (другие названия: критерий
гарантированного
результата,
максиминный
критерий, пессимистический критерий) предполагает,
что природа, как активный участник (враг), стремится
реализовать наихудшее состояние для ЛПР при
выбранной им стратегии. Он рекомендует выбирать
наибольший элемент платежной матрицы из её
минимально возможных элементов:
W = max min a ij ,
i
здесь
j
a ij – элементы платежной матрицы.
22

23.

Критерий Вальда предназначен для выбора из рассматриваемых
вариантов
стратегий
варианта
с
наибольшим
показателем
эффективности из минимально возможных показателей для каждого из
этих вариантов (принцип: «лучшее их худших»).
Данный критерий обеспечивает максимизацию минимального
выигрыша, который может быть получен при реализации каждого из
вариантов стратегий. Критерий ориентирует лицо, принимающее
решение, на осторожную линию поведения, направленную на
получение дохода и минимизацию возможных рисков одновременно.
Применение критерия Вальда оправдано, если ситуация, в которой
принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
о вероятности наступления того или иного состояния природы
ничего не известно;
требуется максимально снизить риск и гарантировать
неуменьшаемый результат;
реализуется малое количество решений (в идеале: решение
принимается один раз).
23

24.

Тип товара
П1
20
16
13
А1
А2
А3
Спрос
П2
15
12
18
П3
10
14
15
В строках платежной матрицы выделены наименьшие платежи, из
которых ЛПР разумно предпочтет наибольший.
W max min aij max( 10;12;13) 13
i
j
Обычно минимальные элементы строк записывают в
добавочный столбец платежной матрицы. Полученный
результат соответствует стратегии А3 .
24

25.

Замечание. Для случая, когда А - матрица убытков,
применение критерия Вальда имеет особенности
(т.н. минимаксный критерий)

26.

27.

2) Критерий крайнего оптимизма (критерий максимакса)
рекомендует ЛПР для выбора ту ее стратегию, которая
содержит в соответствующей строке платежной матрицы
наибольший элемент из всех её максимально возможных в
каждой строке элементов:
M = max max a ij ,
i
j
Данный критерий предполагает, что развитие ситуации будет
максимально благоприятным для лица, принимающего
решение (природа – «друг» ЛПР, она реализует самую
выгодную ему стратегию). Вследствие этого, оптимальным
выбором будет вариант с наибольшим значением показателя
эффективности в матрице доходности.
27

28.

Тип товара
А1
А2
А3
П1
Спрос
П2
П3
20
16
13
15
12
18
10
14
15
Выделены наибольшие элементы каждой строки. ЛПР
предпочитает ту строку (стратегию), где стоит максимум.
28

29.

M max max aij max( 20;16;18) 20
i
j
Полученный результат соответствует
стратегии А1
Замечание: минимальный платеж (10) также стоит в первой
строке, поэтому выбирая первую стратегию, игрок рискует как
максимально выиграть, так и максимально проиграть. Критерий
максимакса – часто самый рискованный. Насколько силен
(вероятен) риск, зависит от вероятностей состояний природы,
но про них ничего пока не известно.
29

30.

Построение матрицы рисков:
Предположим, необходимо провести оценку риска в
условиях, когда реальная ситуация неизвестна. Если
игрок знал бы точно, что осуществится именно j-е
состояние природы, то выбрал бы наилучшее для этого
состояния решение, то есть ту стратегию, которая
принесет наибольший выигрыш при фиксированном j.
Таким образом, выбираются наилучшие результаты в
каждом столбце
bj = max(aij),
i = 1, 2, …, n
и далее будут найдены отклонения от них, составляющие
величины рисков.
30

31.

Принимая i-e решение, игрок А рискует получить не bj, а только aij, то
есть, если игрок примет i-е решение, а в природе реализуется j-е
состояние, то произойдет недополучение дохода в размере:
rij b j aij a max j aij
(по сравнению с тем, как если бы игрок знал точно, что реализуется j-е
состояние природы, и выбрал бы решение, приносящее наибольший доход
bj = max(aij), j = 1, 2, …, n)
amax j
– значение показателя доходности варианта стратегии с
максимальной доходностью из имеющихся i-ых вариантов при наступлении
j-ого сценария развития событий (т.е. наибольший элемент j-го столбца);
aij - значение показателя доходности i-ого варианта стратегии при
наступлении
j-ого сценария развития событий (элемент платежной
матрицы).
31

32.

R=
где
r11
...
r
i1
...
r
m1
... r1 j
... ...
... rij
... ...
rmj
... r1n
... ...
... rin
... ...
rmn
Матрица рисков отражает
риск (упущенную выгоду) от
реализации вариантов
стратегии
для каждой альтернативы
развития событий, т.е. риск
выбора определенного
варианта стратегии.
Ее особенность: любой ее
элемент больше или равен
нулю.
rij b j aij a max j aij
32

33.

3) Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска
Сэвиджа) предписывает выбирать минимальный из
максимальных элементов по строкам матрицы рисков:
S = min max r ij ,
i
j
Здесь и нужна
матрица рисков,
чье определение
дано на сл. 30-32.
Среди элементов матрицы рисков сначала выбирается
максимальный риск, соответствующий каждой стратегии, а
затем из них выбирается наименьший. Пессимистично
настроенный игрок предполагает, что состояние природы будет
таковым, что для любой его стратегии риск будет наибольшим, а
стратегию выбирает такую, чтобы этот риск минимизировать.
33

34.

Тип товара
А1
А2
А3
П1
Спрос
П2
П3
20
16
13
15
12
18
10
14
15
Сначала, для использования критерия, необходимо
получить матрицу рисков. Для этого в каждом столбце из
его наибольшего элемента (соответственно, 20, 18 и 15)
вычитаем элементы этого столбца.
34

35.

Применяя формулу rij = amaxj - aij, построим матрицу рисков R:
R=
Спрос
Тип
товара
А1
А2
А3
П1
П2
П3
0
4
7
3
6
0
5
1
0
S min max rij min( 5 ;6 ;7 ) 5
i
j
Полученный результат соответствует выбору стратегии А1.
Данный критерий ориентирует ЛПР на более благоприятное развитие
ситуации по сравнению с наихудшим состоянием, на которое то рассчитывало
вначале. Критерий имеет сходство с критерием Вальда (пессимизм), но в
некоторых случаях эти критерии указывают на различные оптимальные
стратегии.
35

36.

4) Критерий Байеса (в некоторых источниках – критерий
Байеса-Лапласа) отступает от условий полной
неопределенности. Он предполагает, что возможным
состояниям природы можно приписать (узнать, собрав
статистику)
определенную
вероятность
их
наступления и, определив математическое ожидание
выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое
обеспечивает наибольшее значение выигрыша с учетом
этих вероятностей. То есть, основываясь на
предыдущих наблюдениях, ЛПР может прогнозировать
будущее состояние природы (статистический принцип).
Вероятности наступления состояний природы Пj
обозначим qj (сумма qj должна быть равна 1!).

37.

Правило, в соответствии с которым принимается
решение:
В скобках стоит мат.ожидание М(Аi)
H = max max a ij+ 1 min a ij ,
i
j
j
Фактически, ЛПР ориентируется
на максимальное
математическое ожидание платежей, соответствующих
стратегиям Аi, учитывая все возможные состояния природы.
37

38.

3.2. Принятие решений в условиях неопределенности
Критерий Байеса
предъявляет к ситуации,
принимается решение, следующие требования:
в
которой
– вероятности qj появления состояний Пj известны и не зависят от
времени;
– решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
– для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.
При достаточно большом количестве реализаций среднее значение
постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной)
реализации какой-либо риск исключён. Исходная позиция
применяющего – критерий оптимистичнее, чем в случае критерия
Вальда, однако она предполагает более высокий уровень
информированности ЛПР и достаточно длинные реализации.
Недостаток: трудности могут возникнуть при сборе и оценке
статистических данных. Это один из критериев, требующий от ЛПР
повышенной информированности.
38

39.

Пусть вероятности состояний природы (спроса) следующие:
Находим математические ожидания по элементам строк:
Замечание.
Обычно
вероятности
больше для
средних
состояний
природы, и
меньше – для
крайних. В
последнем
столбце стоят
суммы
произведений
элементов строк
на
соответствующие
вероятности.
По результатам расчетов рекомендуется выбрать третью стратегию как
оптимальную.
39

40.

3.2. Принятие решений в условиях неопределенности
5)Критерий Лапласа.
В ряде случаев представляется правдоподобным следующее
рассуждение: если информации о вероятностях состояний
природы
нет,
состояния
природы
можно
считать
равновероятными. Этот предположение называют «принципом
недостаточного основания» Лапласа. ЛПР как бы искусственно
добавляет статистику появлений Пj, тем самым увеличивая
риск, если эта статистика далека от истины.
40

41.

все qj = 1/3, ищем
Полученный результат соответствует стратегии А3
Заметим, что гипотеза о равновероятности состояний природы является
довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться
лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что
состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий
Байеса, если это возможно.
41

42.

Вывод: по совокупности чистых критериев рекомендуется
выбрать стратегию А3 – товар третьего типа.
Замечание. Большое число критериев, используемых в «играх с природой» при
принятии решений (в отличии от антагонистических и биматричных игр, где
главное – максимизировать выигрыш или минимизировать убыток) – не
недостаток Теории игр. Оно объясняется различными типами поведения ЛПР и
особенностями состояний природы (склонность к риску, информированность,
число разыгрываний).

43.

Производные (составные) критерии
в играх с природой
К ним относятся:
1) критерий Гурвица;
2) критерий Ходжа-Лемана;
3) критерий Гермейера;
4) критерий произведений.

44.

Предположим, ЛПР не может сделать окончательный выбор между ситуациями
оптимизма и пессимизма. Представляется логичным, что при выборе решения
вместо одной из двух крайностей в оценке ситуации разумно придерживаться
некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как
наихудшего, так и наилучшего, благоприятного поведения природы. Такой
компромиссный вариант и был предложен Гурвицем.
Критерий Гурвица ориентирован на установление баланса между случаями
крайнего пессимизма и крайнего оптимизма при выборе стратегии путем
взвешивания обоих исходов с помощью коэффициента оптимизма. Он
позволяет избежать пограничных состояний при принятии решения –
неоправданного оптимизма и крайнего пессимизма и выбрать наиболее
вероятный вариант стратегии, обеспечивающий наилучшую эффективность.
Леонид Абрамович Гурвич (21 августа 1917-24 июня 2008) американский экономист российско-еврейского происхождения,
почётный профессор Университета Миннесоты. Работал в Комиссии
Коулса, лауреат премии по экономике памяти Альфреда Нобеля за 2007
год за работу совместно с Эриком Маскиным и Роджером Майерсоном
над теорией оптимальных механизмов. Старейший экономист,
получивший премию памяти Альфреда Нобеля (это произошло в 90
лет).

45.

Величину λ называют коэффициентом оптимизма, а также коэффициентом доверия или коэффициентом пессимизма.

46.

Критерий
Гурвица
как
бы
«взвешивает»
пессимистический и оптимистический подходы к
анализу неопределенной ситуации. Он предназначен
для выбора некоторого среднего элемента матрицы
доходности, отличающегося от крайних состояний –
от минимального и максимального элементов:
(это одна из 2-х возможных его форм)
где
λ – коэффициент оптимизма, 0 1

47.

Коэффициент
λ
выражает
количественно
«меру
оптимизма» игрока А при выборе стратегии и
определяется им из субъективных соображений на основе
статистических исследований результатов принятия
решений или личного опыта лица принимающего решение
в схожих ситуациях.
47

48.

Найти оптимальную стратегию по критерию
Гурвица при λ = 0,5.
48

49.

49

50.

Замечания
При использовании данного критерия ЛПР фактически
учитывает только информацию о наилучшем и
наихудшем результатах при выборе каждой из
стратегий. Остальные элементы платежной матрицы
никак не используются. Таким образом, часть
информации при принятии решения игнорируется.
Применение критерия оправдано, если ситуация, в
которой он используется, характеризуется следующими
обстоятельствами:
- о вероятностях появления состояний природы Пj
ничего не известно;
- фактически достаточно знать влияние наилучшего и
наихудшего из них;
- решение принимается один раз и допускается
некоторый риск.

51.

2. Критерий Ходжа-Лемана

52.

Оптимальная
стратегия
по
критерию
Ходжа-Лемана
определяется как та, на которой реализуется максимум
выражения:
Замечание. Иногда, если вероятности состояний природы не известны,
используют предположение о равновероятных состояниях, как в критерии
Лапласа. Риск при этом увеличивается.
52

53.

54.

Замечание: здесь вероятности состояний природы несколько
другие, чем в кр. Байеса на сл.55.

55.

Он применяется для задач принятия решений в
условиях риска, для решения задач выбора стратегии с
целью оптимизации величины потерь или затрат.
Такие задачи довольно часто встречаются в
хозяйственной практике.
Предполагается, как и в критерии Ходжа-Лемана, что
ЛПР обладает дополнительной информацией о
вероятностях состояний природы.
Юрий Борисович Гермейер (18 июля 1918-24 июня 1975) советский учёный, специалист в области прикладной математики,
исследования операций и теории игр. Основатель кафедры
исследования операций на факультете вычислительной математики
и кибернетики МГУ.
55

56.

3.1. Понятие игры с природой
Условия применимости :
- элементы платежной матрицы ≤ 0;
- вероятности появления состояний Пj известны;
- с появлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе, необходимо
считаться;
- допускается некоторый риск.
56

57.

Пусть вероятности состояний спроса те же, что в предыдущем
случае:
57

58.

Условие отрицательности компонент матрицы платежей не
выполнено!!!
Поэтому, чтобы использовать данный критерий, переходим к другой
матрице А’, эквивалентной А, вычитая из каждого элемента исходной
матрицы А наибольший элемент А, увеличенный на 1. Можно вычесть
и другое положительное число, но, желательно, чтобы получившиеся
элементы не были очень большими.
В примере вычли 21. Новая матрица платежей имеет вид:

59.

Расчеты к примеру:
Наиболь
шее из
минима
льных
произве
дений с
учетом
вероятн
ости
спроса
Полученный результат соответствует стратегии А3
Замечание.
Критерий Гермейера в чем-то похож и на критерий Вальда и на критерий
Байеса. На первый – в том, что ЛПР также действует по принципу
«лучшее из худших», но объективнее оценивает результат. Сходство со
вторым - в необходимости знать вероятности состояний природы.

60.

4. Критерий произведений
Критерий произведений основан на максимизации величины
Матрица решений дополняется новым столбцом,
содержащим произведения всех компонент каждой строки
при условии, что все aij > 0. Выбираются те варианты, в
строках которых находятся наибольшие значения этого
столбца.
60

61.

Применение
этого
критерия
обусловлено
следующими
обстоятельствами:
1) вероятности появления состояний природы неизвестны;
2) с появлением каждого из состояний необходимо считаться;
3) допускается малое число реализаций решения;
4) возможен некоторый риск.
Если условие положительности элементов платежной матрицы
нарушено, то выполняем сдвиг aij + a с некоторой константой a > 0.
Если же никакая константа не может быть признана имеющей
смысл, то критерий произведений неприменим.
Если среди элементов некоторой строки платежной матрицы
имеется элемент, положительный, но очень близкий к нулю, а
остальные элементы не сильно отличаются друг от друга,
использование критерия произведений наверняка приведет к
«невыбору» (обесцениванию) соответствующей стратегии. Таким
образом, снижается риск получить решение, для которого
существует результат в виде почти нулевой выгоды при одном
из состояний природы.
61

62.

Здесь ВСЕ компоненты положительны. Если бы это было не так,
нужно было бы к каждому добавить одно и то же число, например,
равное максимуму модуля из всех отрицательных элементов,
увеличенному на единицу.
62

63.

Расчеты к примеру:
Наибольшее
из
произведен
ий
элементов
строк
Полученный результат соответствует
стратегии А3
63

64.

Замечание.
Выбор
оптимального
решения
согласно
данному
критерию
оказывается менее пессимистическим, чем,
например,
выбор в соответствии с максиминным
критерием
Вальда.
В
результате
применения
критерия
происходит некоторое выравнивание между
большими и малыми
значениями выигрышей aij, и,
устанавливая оптимальный вариант решения, мы можем
при фиксированных состояниях Пj получить большую
выгоду, чем при использовании критерия гарантированного
результата,
но
при
этом
должна
учитываться
возможность появления и худших результатов. Следует
отметить, что при использовании этого критерия ни число
реализаций, ни информация о распределении вероятностей
не принимаются во внимание. При этом критерий
произведений реально задействует при получении оценок
ВСЕ элементы матрицы!

65.

3.2. Принятие решений в условиях неопределенности
Общий вывод по четырем
составным критериям:
Стратегия
А3 является безоговорочным
лидером и рекомендуется к окончательному
выбору.
65