Игры с природой: принятие решений в условиях риска. Лекция 6

1.

Лекция 6.
Игры с природой: принятие решений в
условиях риска
16.10.2014
1

2.

6.1. Критерии оптимальности в
условиях риска
6.2. Критерий Ходжа-Лемана
6.3. Критерий Гермейера-Гурвица
2

3.

3.3.Принятие
Принятие
решений
в условиях
6.1
решений
в условиях
риска риска
Критерии оптимальности в условиях
риска:
► критерий Байеса;
► критерий Лапласа;
► критерий максимальной вероятности;
► критерий Гермейера.
3

4.

6.1 Принятие решений в условиях риска
1.1 Критерий Байеса относительно
выигрышей
Предположим, что игроку А известны не только
состояния П1, П2,…Пn в которых случайным образом
может находиться природа, но и вероятности (q1,
q2,…qn) наступления этих состояний, при этом ∑qj = 1.
4

5.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Матрицу выигрышей игрока А и вероятности
состояний природы П можно представить в
виде общей матрицы:
Пj
Аi
А1
А = А2
…
Аm
qj
П1
П2
…
Пn
a11
a21
…
am1
q1
a12
a22
…
am2
q2
…
…
…
…
…
a1n
a2n
…
amn
qn
5

6.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Чистую стратегию Аi можно определить как случайную
величину со следующим законом распределения
Ai
q
ai1
q1
ai2
q2
…
…
ain
qn
Математическое ожидание данной случайной величины
n
Bi q j aij , i 1,2,..., m
j 1
Или средне взвешенное выигрышей i-ой строки матрицы А с
весами (q1, q2,…qn).
6

7.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Критерий Байеса относительно выигрышей
позволяет выбрать максимальный из ожидаемых
элементов матрицы доходности при известной
вероятности возможных состояний природы:
n
B max q j aij
i
j 1
7

8.

6.1 Принятие решений в условиях риска
1.2 Критерий Байеса относительно рисков
Матрицу рисков игрока А и вероятности состояний
природы П можно представить матрицей:
Пj
П1 П2
Аi
А1 r11 r12
R = А2 r21 r22
… … …
Аm rm1 rm2
qj q1 q2
…
Пn
…
…
…
…
…
r1n
r2n
…
rmn
qn
8

9.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Показателем эффективности стратегии Аi по
критерию Байеса относительно рисков
является математическое ожидание рисков,
расположенных в i-ой строке матрицы R.
n
B q j rij , i 1,2,..., m
r
i
j 1
9

10.

7.1 Принятие решений в условиях риска
Критерий Байеса относительно рисков позволяет
выбрать минимальное значение из средних рисков
при известной вероятности возможных состояний
природы:
n
r
B min q j rij
i
j 1
Критерии Байеса относительно выигрышей и
относительно рисков эквивалентны, то есть по обоим
критериям оптимальной будет одна и та же стратегия.
10

11.

6.1 Принятие решений в условиях риска
2.1 Критерий Лапласа относительно
выигрышей
Вероятность состояний природы оценивается
субъективно как равнозначные.
qj = n-1
∑qj = ∑n-1 = 1
Этот принцип называется – принцип недостаточного
основания Лапласа.
11

12.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Имеется игра с природой, в которой игрок А обладает m
чистыми стратегиями Аi, природа П может случайным
образом находиться в одном из n своих состояний Пj, а
матрица выигрышей игрока А задается следующим образом:
Пj
Аi
А=
А1
А2
…
Аm
qj
П1
П2
…
Пn
a11
a21
…
am1
a12
a22
…
am2
…
…
…
…
a1n
a2n
…
amn
…
qn=n-1
q1=n-1 q2=n-1
12

13.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Показателем эффективности чистой стратегии Аi по
критерию Лапласа относительно выигрышей
является среднеарифметическое выигрышей при этой
стратегии.
n
1
Li aij , i 1,2,..., m
n j 1
13

14.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Критерий Лапласа относительно выигрышей
предполагает выбор варианта стратегии с
максимальной ожидаемой доходностью при равной
вероятности наступления возможных стратегий
природы.
L max
n
1
aij , i 1,2,..., m
n j 1
14

15.

6.1 Принятие решений в условиях риска
2.2 Критерий Лапласа относительно рисков
Матрицу рисков игрока А и вероятности состояний
природы П при критерии Лапласа относительно
рисков можно представить матрицей:
Аi
R=
Пj
А1
А2
…
Аm
qj
П1
П2
r11
r12
r21
r22
…
…
rm1
rm2
q1=n-1 q2=n-1
…
Пn
…
…
…
…
…
r1n
r2n
…
rmn
qn=n-1
15

16.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Показателем неэффективности чистой
стратегии Аi по критерию Лапласа
относительно рисков является
среднеарифметическое рисков при этой
стратегии.
n
1
L rij , i 1,2,..., m
n j 1
r
i
16

17.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Критерий Лапласа относительно рисков
предполагает выбор варианта стратегии с
минимальным риском при равной вероятности
наступления возможных состояний природы.
L min
r
1 n
rij , i 1,2,..., m
n j 1
17

18.

6.1 Принятие решений в условиях риска
3. Критерий максимальной вероятности
Рассмотрим игру с природой размера
m x n, где m ≥ 2 и n ≥ 2.
Известны вероятности qj состояний природы Пj
Максимальная вероятность обозначается
следующим образом:
q
max
max q j
1 j 1
18

19.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Максимальную вероятность может иметь не
одно состояние природы. А также
максимальное значение может быть у всех
состояний природы при равных вероятностях
qj = n-1.
Предположим, что состояния природы
Пjκ, κ = 1,2,…σ,
где σ – это номер состояний природы
(столбцы), имеющих максимальную
вероятность.
19

20.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Показателем эффективности чистой стратегии Аi по
критерию максимальной вероятности относительно
выигрышей, является наибольший выигрыш из
выигрышей при этой стратегии и при состояниях природы
Пjκ κ = 1,2,…σ, имеющих максимальную вероятность qmax.
Qi max aij , i 1,2,...m
p
1
20

21.

6.1 Принятие решений в условиях риска
В связи с этим рассматривается матрица m x σ, которая
получается путем исключения тех столбцов, у которых
вероятности ниже максимального значения.
Пj
Аi
А=
А1
А2
…
Аm
qjκ
Пj1
Пj2
…
Пjσ
a1j1
a2j1
…
amj1
a1j2
a2j2
…
amj2
…
…
…
…
a1jσ
a2jσ
…
amjσ
Q1p
Q2p
…
qjσ= qmax
Qmp
qj1= qmax qj2= qmax
…
Qi p
21

22.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Ценой игры (Qp) по критерию максимальной
вероятности относительно выигрышей
будет наибольший элемент из показателей
p
эффективности Qi
Q max Qi
p
p
1 i m
22

23.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Пример:
Тип
товара
А1
А2
А3
П1
Спрос
П2
П3
20
16
13
15
12
18
10
14
15
Найти оптимальную стратегию по критерию
максимальной вероятности относительно выигрышей
при вероятностях состояний природы
q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,5.
23

24.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Решение:
max
q
max q j
Находим максимальную вероятность
1 j 1
q max (0,2;0,3;0,5) 0,5
Максимальной вероятности соответствует состояние природы
П3, следовательно матрица примет следующий вид
Тип товара
А1
А2
А3
qj
П3
10
14
15
0,5
Qi p
10
14
15
Qp = 15
Ответ: оптимальной стратегией по критерию максимальной
вероятности относительно выигрышей является стратегия А3
24

25.

6.1 Принятие решений в условиях риска
4. Критерий Гермейера относительно
выигрышей
Рассмотрим игру с природой размера (m ≥ 2) и (n ≥ 2) с
матрицей выигрышей А
Пj
Аi
А1
А = А2
…
Аm
qj
П1
П2
…
Пn
a11
a21
…
am1
q1
a12
a22
…
am2
q2
…
…
…
…
…
a1n
a2n
…
amn
qn
25

26.

3.3.Принятие
6.1
Принятие
решений
решений
в условиях
в условиях
риска риска
По критерию Гермейера (АG) эффективность чистых
стратегий определяется следующим образом:
Выбрав чистую стратегию Ai, игрок А может получить
выигрыш aij, если природа окажется в состоянии Пj. Но
при этом природа может оказаться в этом состоянии с
вероятностью qj = p(Пj). Поэтому игрок А может получить
свой выигрыш (aij) только с вероятностью qj.
В связи с этим рассматривается так называемый
элемент Гермейера для этого выигрыша – aij qj.
26

27.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Матрица Гермейера состоит из элементов
Гермейера и выглядит следующим образом:
Пj
П1
П2
…
Пn
a11 q1
a12 q2
…
a1n qn
А2
a21 q1
a22 q2
…
a2n qn
…
…
am2 q2
…
Аm
…
am q1
…
…
amn qn
qj
q1
q2
…
qn
Аi
А1
АG =
27

28.

6.1 Принятие решений в условиях риска
При выборе стратегии игрок А предполагает, что природа будет
находиться в самом неблагоприятном для него состоянии,
при котором элемент Гермейера будет являться самым
минимальным среди всех элементов матрицы Гермейера
соответствующие выбранной стратегии.
Этот элемент называется показателем эффективности
чистой стратегии Аi по критерию Гермейера относительно
выигрышей:
Gi min (aij q j ), i 1,2,...m
1 j n
28

29.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию
Гермейера относительно выигрышей является
максимальное значение среди показателей
эффективности чистой стратегии Аi по критерию
Гермейера относительно выигрышей:
G max Gi
1 i m
29

30.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Так же ценой игры в чистых стратегиях по
критерию Гермейера относительно
выигрышей можно назвать максимином
матрицы Гермейера относительно
выигрышей:
G max min (aij q j )
1 i m 1 j n
30

31.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Пример:
Тип
товара
А1
А2
А3
П1
Спрос
П2
П3
20
16
13
15
12
18
10
14
15
Найти оптимальную стратегию по критерию Гермейера
относительно выигрышей при вероятностях состояний
природы
q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,5.
31

32.

6.1 Принятие решений в условиях риска
Решение:
Строим матрицу Гермейера с элементами aij qj
Тип товара
А1
А2
А3
П1
Спрос
П2
П3
4
3,2
2,6
4,5
3,6
5,4
5
7
7,5
Находим минимальный выигрыш игрока А по всем стратегиям по формуле
Gi min (aij q j )
1 j n
G1 = min (4; 4,5; 5) = 4;
G2 = min (3,2; 3,6; 7) = 3,2;
G3 = min (2,6; 5,4; 7,5) = 2,6.
G max min (aij q j ) max( 4;3,2;2,6) 4
1 i m 1 j n
Ответ: оптимальной стратегией по критерию Гермейера относительно
выигрышей является стратегия А3
32

33.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей
Пj
П1
П2
Аi
А1 a11 a12
А = А2 a21 a22
…
…
…
Аm am1 am2
qj q1 q2
…
Пn
…
…
…
…
…
a1n
a2n
…
amn
qn
Критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей
опирается одновременно на критерий Вальда и критерий
Байеса.
33

34.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
При определении оптимальной стратегии по этому
критерию вводится параметр (λ) достоверности
информации о распределении вероятностей состояний
природы q = (q1, q2,…,qn), значение, которого находится в
интервале [0, 1].
Если степень достоверности велика, то доминирует
критерий Байеса, в противном случае критерий Вальда.
34

35.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Показателем эффективности чистой стратегии
Аi по критерию Ходжа-Лемана относительно
выигрышей (HL) является:
HLi = λBi(q) + (1 – λ)Wi, i = 1,2,…,m
35

36.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
где
Bi(q) – показатель эффективности стратегии Аi по критерию
Байеса относительно выигрышей с вектором q = (q1, q2,…,qn)
распределения вероятностей состояний природы, который
определяется по формуле:
n
Bi q j aij , i 1,2,..., m
j 1
Wi – показатель эффективности стратегии Аi по
критерию Вальда, который определяется по
формуле:
Wi min aij
j
36

37.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
При любом показателе 0,1 доверия игрока А
распределению вероятностей q = (q1, q2,…,qn)
состояний природы показатель эффективности
стратегии Аi по критерию Ходжа-Лемана (HLi):
HLi ≥ Wi
HLi ≤ Bi
37

38.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана
относительно выигрышей является максимальное значение
среди показателей эффективности чистой стратегии Аi по
критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей:
HL max( HLi ) max( Bi ( q ) ( 1 )Wi )
1 i m
38

39.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Критерий Ходжа-Лемана применим в следующих
случаях:
► имеется информация о вероятностях состояний
окружающей среды, однако эта информация получена на
основе относительно небольшого числа наблюдений и
может измениться;
► принятое решение теоретически допускает бесконечно
много реализаций;
► при малом числе реализации допускается некоторый
риск.
39

40.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Пример:
Тип
товара
А1
А2
А3
П1
Спрос
П2
П3
20
16
13
15
12
18
10
14
15
Найти оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана
относительно выигрышей при λ = 0,6 и при вероятностях
состояний природы
q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,5.
40

41.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Решение:
Вычислим средние выигрыши по критерию Байеса
B1 (20 0,2) (15 0,3) (10 0,5) 13,5
B2 (16 0,2) (12 0,3) (14 0,5) 13,8
B3 (13 0,2) (18 0,3) (15 0,5) 15,5
По критерию Вальда (Wi)
W1 = 10; W2 = 12; W3 = 13
Найдем оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана по формуле
HLi = λBi(q) + (1 – λ)Wi, i = 1,2,…,m
HL1= (0,6 13,5) + (1 - 0,6) 10 = 8,1 + 4 = 12,1
HL2 = (0,6 13,8) + (1 – 0,6) 12 = 8,28 + 4,8 = 13,08
HL3 = (0,6 15,5) + (1 – 0,6) 13 = 9,3 + 5,2 = 14,5
HL =max( λBi(q) + (1 – λ)Wi) = max(12,1; 13,08; 14,5) = 14,5
Ответ: оптимальной стратегией по критерию Ходжа-Лемана
относительно выигрышей является стратегия А3
41

42.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Критерий Ходжа-Лемана относительно рисков
Пj
Аi
А1
R (HL) = А2
…
Аm
qj
П1
П2
…
Пn
r11
r21
…
rm
q1
r12
r22
…
rm2
q2
…
…
…
…
…
r1n
r2n
…
rmn
qn
Критерий Ходжа-Лемана относительно рисков опирается
одновременно на критерий Байеса и критерий Сэвиджа.
42

43.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Показателем неэффективности чистой стратегии Аi по
критерию Ходжа-Лемана относительно рисков (HLr)
является:
HL B (q) (1 ) S i , i 1,2,..., m
r
i
r
i
43

44.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
где
Bi(q) – показатель неэффективности стратегии Аi по критерию
Байеса относительно рисков с вектором q = (q1, q2,…,qn)
распределения вероятностей состояний природы, который
определяется по формуле:
n
Bir q j rij
j 1
Si – показатель неэффективности стратегии Аi по критерию
Сэвиджа с вектором q = (q1, q2,…,qn) распределения вероятностей
состояний природы, который определяется по формуле:
Si max rij
j
44

45.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана
относительно рисков является минимальное значение среди
показателей неэффективности чистой стратегии Аi по критерию
Ходжа-Лемана относительно рисков:
HL min( HL ) min( B (q) (1 ) Si )
r
r
i
r
i
45

46.

5.1. Критерий Ходжа-Лемана
Критерии оптимальности
чистых стратегий по
критерию Ходжа-Лемана
относительно выигрышей
и относительно рисков
не эквивалентны.
46

47.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Пример:
Тип
товара
А1
А2
А3
П1
Спрос
П2
П3
20
16
13
15
12
18
10
14
15
Найти оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана
относительно рисков при λ = 0,6 и при вероятностях
состояний природы
q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,5.
47

48.

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Решение:
Построим матрицу рисков.
Тип товара
А1
А2
А3
П1
0
4
7
Спрос
П2
3
6
0
П3
5
1
0
Найдем критерий Байеса относительно рисков
B1r (0 0,2) (3 0,3) (5 0,5) 3,4
B3r (7 0,2) (0 0,3) (0 0,5) 1,4
B2r (4 0,2) (6 0,3) (1 0,5) 3,1
Найдем критерий Сэвиджа
S1 = 5; S2 = 6; S3 = 7
Найдем оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков:
HLr 1 = (0,6 3,4) + (1 – 0,6) 5 = 2,04 + 2 = 4,04
HLr 2 = (0,6 3,1) + (1 – 0,6) 6 = 1,86 + 2,4 = 4,26
HLr 3 = (0,6 1,4) + (1 – 0,6) 7 = 0,84 + 2,8 = 3,64
HLr = min (4,04; 4,26; 3,64) = 3,64
Ответ: оптимальной стратегией по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков
является стратегия А3
48

49.

6.3. Критерий Гермейера-Гурвица
Критерий Гермейера-Гурвица относительно выигрышей
Данный критерий представляет собой критерий Гурвица
относительно матрицы Гермейера.
Пj
АG =
П1
П2
…
Пn
Аi
А1
a11 q1 a12 q2
…
a1n qn
А2
…
Аm
qj
a21 q1 a22 q2
…
…
am q1 am2 q2
q1
q2
…
…
…
…
a2n qn
…
amn qn
qn
При этом если 0 ≤ λ ≤ 1, то λ это показатель оптимизма игрока А, тогда
показателем пессимизма игрока будет 0 ≤ (1 – λ) ≤ 1.
49

50.

6.3. Критерий Гермейера-Гурвица
Показателем эффективности чистой стратегии Аi
по критерию Гермейера-Гурвица относительно
выигрышей (GH) является:
GHi = (1 – λ) Gi + λ Mi, i = 1,2,…,m
50

51.

6.3. Критерий Гермейера-Гурвица
где
Gi – показатель эффективности стратегии Аi по критерию
Гермейера относительно выигрышей с вектором q = (q1,
q2,…,qn) распределения вероятностей состояний природы,
который определяется по формуле:
Gi min (aij q j )
1 j n
Mi – показатель эффективности стратегии Аi по критерию
Гурвица, относительно матрицы Гермейера, который
определяется по формуле:
M i max (aij q j )
1 j n
51

52.

6.3. Критерий Гермейера-Гурвица
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию
Гермейера-Гурвица относительно выигрышей
является максимальное значение среди
показателей эффективности чистой стратегии Аi по
критерию Гермейера-Гурвица относительно
выигрышей:
GH = max ((1 – λ) Gi + λ Mi), i = 1,2,…,m
52

53.

6.3. Критерий Гермейера-Гурвица
Пример:
Тип
товара
А1
А2
А3
П1
Спрос
П2
П3
20
16
13
15
12
18
10
14
15
Найти оптимальную стратегию по критерию ГермейераГурвица относительно выигрышей при λ = 0,6 и при
вероятностях состояний природы
q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,5.
53

54.

6.3. Критерий Гермейера-Гурвица
Решение:
Строим матрицу Гермейера с элементами aij qj
Тип товара
А1
А2
А3
П1
4
3,2
2,6
Спрос
П2
4,5
3,6
5,4
П3
5
7
7,5
Находим минимальный выигрыш игрока А по всем стратегиям по
формуле
G1 = min (4; 4,5; 5) = 4;
G2 = min (3,2; 3,6; 7) = 3,2;
G3 = min (2,6; 5,4; 7,5) = 2,6.
Gi min (aij q j )
1 j n
Находим максимальный выигрыш игрока А по всем стратегиям по формуле
М1 = max (4; 4,5; 5) = 5
М2 = max (3,2; 3,6; 7) = 7
М3 = max (2,6; 5,4; 7,5) = 7,5
M i max (aij q j )
1 j n
54

55.

6.3. Критерий Гермейера-Гурвица
Найдем критерии Гермейера-Гурвица относительно выигрышей по каждой
стратегии по формуле:
GHi = (1 – λ) Gi + λ Mi
GH1 = (1 – 0,6) 4 + 0,6 5 = 1,6 + 3 = 4,6
GH2 = (1 – 0,6) 3,2 + 0,6 7 = 1,28 + 4,2 = 5,48
GH3 = (1 – 0,6) 2,6 + 0,6 7,5 = 5,54
Найдем критерий Гермейера-Гурвица для данной задачи
GH = max ((1 – λ) Gi + λ Mi)
GH = max (4,6; 5,48; 5,54) = 5,54
Ответ: оптимальной стратегией по критерию ГермейераГурвица относительно выигрышей является стратегия А3
55

56.

Критерий Байеса
n
B max q j aij
i
j 1
Критерий Лапласа
1 n
L max aij
n j 1
q
max
max q j
1 j 1