(7.1) 9_Nonstationary_Eq_Sch_General_solution (2)

1.

Нестационарное уравнение Шрёдингера
Вопрос: если мы приготовили данное состояние системы в некоторый момент времени,
а приступили к измерениям интересующей нас величины позже, то с какой вероятностью
мы будем измерять то или иное значение этой величины? Для ответа на этот вопрос нам
необходимо знать волновую функцию системы в момент измерения.
Постулат. Эволюция волновой функции системы описывается нестационарным
уравнением Шрёдингера:
( x, t ) ˆ
i
H ( x, t )
t
Начальное условие
( x, t 0) 0 ( x)
Решим нестационарное уравнение Шрёдингера для свободной частицы

2.

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы
2
2
ˆ
ˆ
p
(
x
,
t
)
p
Hˆ
i
( x, t )
2m
t
2m
Начальная волновая функция описывает состояние частицы с заданным импульсом
( x, t 0) p ( x)
Учитывая, что начальная волновая функция является собственной для гамильтониан
2
p
Hˆ p ( x)
p ( x)
2m
будем искать решение в следующем виде
( x, t ) f t p ( x )
Найти
f t ?

3.

Решение
df t p 2
f t p ( x) 0
i
dt
2m
Уравнение должно выполняться тождественно при любых значениях координаты и в любой
Момент времени. Собственная функция оператора импульса отлична от нуля, поэтому
p2
i f t
f t
2m
f t ?

4.

Волновые функции свободной частицы с определённым значением энергии
iE p t
ip 2t
( x, t ) p ( x) exp
E p ( x) exp
2m

5.

Уравнение Шрёдингера для частицы в потенциале
2
ˆ
( x, t ) ˆ
p
i
H ( x, t ), Hˆ
U x
t
2m
Предположим, что возможные значения энергии образуют дискретный спектр и известно
решение стационарного уравнения Шрёдингера
Hˆ n ( x) En n ( x)
Начальное состояние системы описывается волновой функцией с определённым значением
энергии
x, t 0 n ( x)
Как и в случае свободной частицы, будем искать решение в следующем виде
( x, t ) f t n ( x)
Найти
f t ?

6.

Решение
df t
En f t n ( x) 0
i
dt
Уравнение должно выполняться тождественно при любых значениях координаты и в любой
Момент времени. Собственная функция гамильтониана отлична от нуля, поэтому
i
df t
dt
En f t
f t ?

7.

Волновые функции частицы с определённым значением энергии
iEnt
( x, t ) n ( x) exp
Терминология
Волновая функция частицы с определённым значением энергии зависит от времени, а
плотность вероятности - нет
( x) ( x, t ) n ( x)
2
2
Поэтому состояния с определённым значением энергии принято называть стационарными.

8.

Общее решение нестационарного уравнения Шрёдингера для частицы в потенциале
2
ˆ
( x, t ) ˆ
p
i
H ( x, t ), Hˆ
U x
t
2m
Как и прежде, предположим, что возможные значения энергии образуют дискретный
спектр и известно решение стационарного уравнения Шрёдингера
Hˆ n ( x) En n ( x)
Но начальное состояние системы теперь описывается произвольной волновой функцией
x, t 0 ( x )
В этом случае решение надо искать в виде разложения по собственным функциям
гамильтониана
iEnt
( x, t ) an t n ( x)exp
n
Подставим разложение для волновой функции в уравнение Шрёдингера?

9.

Результат
iEnt
iEnt
n i an t En an t n ( x)exp n En an t n ( x)exp
Или
iEnt
n an t n ( x)exp 0
Произведём операцию
dx
m x
и воспользуемся условием ортогональности. Результат?

10.

Результат
am t 0
Решение нестационарного уравнения Шрёдингера
iEnt
( x, t ) an n ( x)exp
n
Как определить коэффициенты разложения?

11.

Коэффициенты разложения определяются из начального условия
( x, t 0) ( x) an n ( x)
n
an ?
Указание: вспомнить принцип суперпозиции.

12.

Коэффициенты разложения
an dx n x x
Общее решение нестационарного уравнения Шрёдингера
iEnt
( x, t ) dx n x x n ( x)exp
n