Similar presentations:
Метод_врщений
1.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ. МЕТОД ВРАЩЕНИЯ.
2.
Как и в методе Гаусса, целью прямого ходапреобразований в методе вращений является
приведение системы линейных уравнений к
треугольному виду методичным обнулением
поддиагональных элементов сначала 1-го
столбца, далее 2-го и так далее.
3.
Допустим с1 и s1 – ненулевые числа.Умножаем 1-е уравнение системы на с1, 2-е
на s1 и складываем их; уравнением, которое
мы
получили,
заменяем
1-е
уравнение
системы. Далее 1-е уравнение начальной
системы нужно умножить на – s1, 2-е – на c1 и
итогом этого заменяем 2-е уравнение. Т.о.,
первые 2 уравнения заменяем уравнениями:
4.
На параметры с1 и s1 наложим 2 условия:- условие исключения х1 из второго уравнения
и
- условие нормировки
Получаем:
5.
Этичисла
можно
истолковать
как cos и sin некоторого угла α1 (все шаги этого
преобразования
рассматриваются
как
вращение расширенной матрицы системы в
плоскости индекса, который обнуляется).
После преобразований получаем систему:
6.
7.
Теперь 1-е уравнение системы заменяемполученным, результатом сложения итогов
умножения
1-го
и
3-го
уравнений
соответственно на:
8.
а 3-е – уравнением, которое получим после сложениярезультатов умножения уравнений соответственно на –
s2 и с2. Получаем систему:
9.
Выполняя преобразование m-1 раз, приходим ксистеме:
10.
11.
Вид системы, которую мы получили, такой же, каки после 1-го этапа преобразований методом Гаусса.
У этой системы следующие свойства: длина всех
векторов-столбцов расширенной матрицы остается
такая же, как у исходной матрицы. То есть, при
выполнении преобразований не роста элементов нет.
Далее, по этому же алгоритму преобразуем
матрицу:
12.
13.
и так далее.В итоге m-1 этапов прямого хода система
приведется к треугольному виду:
14.
Определение неизвестных такое же как и вобратном ходе метода Гаусса.
Треугольная, или, трапециевидная структура
последней системы дает нам поочередно 1 за
другим вычислить значения неизвестных,
начиная с последнего: