Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

1.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«РЖЕВСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
ДОКЛАД НА ТЕМУ: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА.
Выполнила:
Студентка 21П
Розовой Екатерины Алексеевны
Преподаватель: Булгаирова Т.В

2.

Метод Гаусса
Метод Гаусса –это классический метод решения системы
линейных алгебраических уравнений. Это метод
последовательного исключения переменных, когда с помощью
элементарных преобазований система уравнений приводится к
равносильной системе.

3.

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим
математиком и его в своё время признали «королём
математики». Хотя название «метод Гаусса» является
общепринятым, Гаусс не является его автором: метод
Гаусса был известен задолго до него.

4.

Преимушества метода:
1.отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
2.есть возможность решать системы уравнений, где:
количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
3.количество определителей не совпадает с количеством неизвестных
переменных;
4.определитель равен нулю.
5.результат выдается при сравнительно небольшом количестве
вычислительных операций.

5.

Основные определения и обозначения.
Рассмотрим систему из p линейных уравнений
с n неизвестными (p может быть равно n):
где - неизвестные переменные, - числа (действительные или
комплексные), - свободные члены.
Если , то система линейных алгебраических уравнений
называется однородной, в противном случае – неоднородной.
Совокупность значения неизвестных переменных , при
которых все уравнения системы обращаются в
тождества, называется решением СЛАУ.

6.

Если в примере приведены десятичные дроби, метод
Гаусса в этом случае также поможет решить систему
линейных алгебраических уравнений. Однако, не
стоит забывать, что следует избегать приближённых
вычислений, так как ответ будет неверным. Лучше
всего использовать десятичные дроби, а от них
переходить к обыкновенным дробям.

7.

8.

Когда мы выражали неизвестные переменные
(сначала x1, на следующем этапе x2) и подставляли их в
остальные уравнения системы, мы тем самым
исключали их. Процесс последовательного исключения
неизвестных называется прямым ходом метода
Гаусса. После завершения прямого хода у нас
появляется возможность вычислить неизвестную
переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее
помощью из предпоследнего уравнения находим
следующую неизвестную переменную. Процесс
последовательного нахождения неизвестных
переменных при движении от последнего уравнения к
первому называется обратным ходом метода Гаусса.

9.

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного
исключения неизвестных.
Обратный ход Гаусса — процесс последовательного
нахождения неизвестных от последнего уравнения к
первому.
Алгоритм метода Гаусса:
Решаем систему из n линейных уравнений
с n неизвестными переменными:
a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+...
+a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn=b3⋯ an1x1+an
2x2+an3x3+...+annxn=bn

10.

Примеры прямого и обратного хода Гаусса

11.

Определитель матрицы не равен нулю.
a11 не равен нулю - всегда можно добиться этого
перестановкой уравнений системы;
исключаем переменную x1 из всех уравнений систему,
начиная со второго;
прибавим ко второму уравнению системы первое, которое
умножено на -a21a11, прибавим к третьему уравнению
первое умноженное на -a21a11 и т.д.

12.

13.

14.

Могу сказать, что метод Гаусса –простой способ
решения систем линейных алгебраических
уравнений. Путём элементарных преобразований
нужно из системы исключать неизвестные
переменные, чтобы систему превратить в
ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что
всегда можно проверить, правильно ли решено
уравнение. Нужно просто подставить найденные
неизвестные в изначальную систему уравнений.

15.

Спасибо за внимание