Квадратные уравнения. Повторение

1.

Квадратные уравнения
с. 308 – 310)

2.

* Квадратным уравнением называется уравнение вида
x2 + x + = 0,
,
,
, , –
где
* Решается по формуле:
b2 – 4ас
=
= b2 – 4ас
D
0
Дискриминант
уравнение имеет
= –b + D
2а
D
D
0
0
– неизвестное
и
= –b – D
уравнение имеет
–b
=
=
2а
уравнение
2а

3.

* Квадратные уравнения, у которых второй коэффициент
– четное число, удобно решать по формуле:
х2 +
х+ =0
2 – ас
=
т
2
т – ас
=
Дискриминант
*Квадратное уравнение вида
называется приведенным.
р2 – 4q
=
(1)
= р2 – 4q
Дискриминант
или
=
(р/2)2 – q

4.

*Если
и
– корни уравнения
справедливы формулы:
+
∙
, то
=
=
Подбором найти корни уравнения
х2 – 5х + 6 = 0
= – 5,
=6
+
=
+
=
+
=
=
∙
=
∙
=
∙
=
=

5.

Квадратное уравнение х2 + х + = 0 называют
неполным, если хотя бы один из коэффициентов,
или , равен нулю.
х2 = 0 , = 0, = 0
х2 + х = 0 , = 0
х2 + = 0 ,
коэффициент
х2 = 0,
=0
не должен быть равен нулю.
х2 –
х = 0,
х2 –
= 0.

6.

х2 = 0
х2 + х = 0
х2 + = 0
х2 = 0,
х2 = 0
х2 – х = 0,
х2 – х = 0
х(х – )= 0
х2 –
= 0.
х2 – = 0
х2 =
Уравнение вида
, где
, имеет два корня:

7.

УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ
К
Уравнение х4 + х2 + = 0, где
называется
,
.
Сводится к решению квадратного уравнения:
Делаем замену: х2 = у, получим:
у2 + у + = 0
Решаем уравнения:
у1, 2 = х2
у1, 2
х1, 2 = ±√у1
х3, 4 = ±√у2

8.

Решить уравнение:
х4 – 10х2 + 9 = 0 , х2 = у
у2 – 10у + 9 = 0
= – 10, = 9
х4 – 4х2 – 5 = 0 , х2 = у
у2 – 4у – 5 = 0
= – 4,
=–5
у2 = 1
у1 = 5
х1, 2 = ±√9
х1= , х2=
х1, 2 = ±√5
х3, 4 = ±√1
х 1= , х 2 =
х3, 4 = ±√–1 решений нет
у1 = 9
,
,
,
.
у2 = –1
√, √

9.

Уравнения, содержащие
х–2
х–1
1
+ 3
=3–х
(х – 1)(х – 2)
х–1
х–2
1
3х – 3 – х2 + х = – х2 + 4х – 3
1 + 3(х – 2) – (3 – х)(х – 1)
=0
(х – 1)(х – 2)
1 + 3х – 6 + х2 – 4х + 3
(х – 1)(х – 2)
х2 – х – 2
(х – 1)(х – 2)
=0
=0

10.

х2 – х – 2
(х – 1)(х – 2)
(х – 1)(х – 2)
х2 – х – 2 = 0
х1 = –1
=0
0
х–1
х
0 их–2
1
х
0
2
х2 = 2
Вывод: при решении уравнения, содержащего
неизвестное в знаменателе дроби, необходима
проверка, так как при умножении уравнения на
выражение, содержащее неизвестное, могут
появиться посторонние корни.

11.

х2
х
6
–
=
х+3
–3–х
х+3
= 1,
х2
х – 6
=0
+
х+3
х+3
х+3
=
х
–3
х1 = 2
х2 = – 3
=–6

12.

575 (
), 576 (
), 577 (
580 (
), 582 (
), 583 (
)
),
) Решить уравнения:
575 (
х(2х – ½)(4 + 3х) = 0
х(х – 1) = 0
х = 0 и (х – 1) = 0
576 (
х = 0 и 2х – ½= 0 и 4 + 3х = 0
3х = – 4
2х = ½
) Решить уравнения:
х2 + 3х = 0
4х + 5х2 = 0
2х2 – 32 =0
(х/2)2 – 1 = 0
х(х + 3) = 0
х(4 + 5х) = 0
х2 – 16 = 0
х2/4 –1=0
х2 – 4 = 0
х2 = 4
х2 = 16

13.

577 (
) Решить уравнения:
2х2 + х – 10 = 0
7х2 –13х – 2 = 0
= 2, = 1, = – 10
= 7, = –13, = – 2
D = b2 – 4ас = 1 – 4 ∙ 2 ∙ (– 10) =
=
D = b2 – 4ас =
=169 – 4· 7· (– 2)=169 – 56 =
=
–1 + 9
=
=
4
13 + 15
=
=
14
–1 – 9
=
=
4
13 – 15 =
=
14

14.

580 (
) Решить уравнения:
3– х =2
|х| = ½
3 – х = 2 или 3 – х = – 2
2,5 – х + 3 = 5
2,5 – х = 5 – 3
2,5 – х = 2
2,5 – х = 2 или 2,5 – х = – 2

15.

582 ( )
Решить уравнение: х4 – 17х2 + 16 = 0
Делаем замену: х2 = у, получим:
у2 – 17у + 16 = 0
= 1,
= – 17,
или по т.Виета:
у1 = 16, у2 = 1
= 16
D = р2 – 4q = (– 17) 2 – 4 ∙ 16 =
= 289 – 64 =
17 + 15
у1 =
= 16 = х2
2
х1, 2 = ±√16
х1= , х2=
17 – 15
у2 =
=1
2
х3, 4 = ±√1
х3= , х4=
= х2
,
.

16.

582 ( )
Решить уравнение: 2х4 – 5х2 – 12 = 0
Делаем замену: х2 = у, получим:
2у2 – 5у – 12 = 0
= 2, = – 5,
= – 12
D = b2 – 4ас =(– 5) 2 – 4 ∙ 2 ∙ (–12) = 25 + 96 =
5 + 11
у1 =
= 4 = х2
4
х1, 2 = ±√4
х 1= , х 2=
5 – 11
у2 =
= – 1,5 = х2 → решений нет
4
.

17.

583 (
) Решить уравнения:
5–х–1 =х
х+1–5 =0
5–х =х+1
х+1 = 5
5 – х = х2 + 2х + 1
х + 1 = 25
х = 25 – 1
D = р2 – 4q = 9 + 16 =
=
7х – 2х + 2 = 5х
7х – 5х = 2х + 2
2х = 2х + 2
4х2 = 2х + 2
D = b2 – 4ас = 1 + 8 =
:2

18.

Домашнее задание:
п.
с.308 – 310),
576 (
), 577 (
),
582 ( ) , 583 (