Интегрирование. Лекция №4

1.

Интегрирование
Рассмотрим функцию одной переменной.
F x ,
f x F x .
найти производную
Задача:
задана
Это операция – дифференцирование.

2.

Интегрирование
Рассмотрим функцию одной переменной.
F x ,
f x F x .
найти производную
Задача:
задана
Это операция – дифференцирование.
Обратная задача (операция):
f (x), найти функцию,
производная от которой равна f (x),
т.е. F x .
Задана производная.

3.

Интегрирование
Рассмотрим функцию одной переменной.
F x ,
f x F x .
найти производную
Задача:
задана
Это операция – дифференцирование.
Обратная задача (операция):
f (x), найти функцию,
производная от которой равна f (x),
т.е. F x .
Задана производная.
Эта обратная операция –интегрирование.

4.

Первообразная функции
Определение. Пусть функция f x
задана на промежутке
X
.

5.

Первообразная функции
Определение. Пусть функция f x
задана на промежутке
X
f x
и на этом промежутке
есть производная от функции F x
.

6.

Первообразная функции
Определение. Пусть функция f x
задана на промежутке
X
f x
и на этом промежутке
есть производная от функции F x
F x f x
.

7.

Первообразная функции
Определение. Пусть функция f x
задана на промежутке
X
f x
и на этом промежутке
есть производная от функции F x
F x f x
F x
.
называется первообразной функцией для
f x на промежутке X

8.

Примеры первообразных
1.
f x 2x,
X , .

9.

Примеры первообразных
1.
f x 2x,
X , .
2
F x x ,
2
G x x 6.

10.

Примеры первообразных
f x 2x,
X , .
2
F x x ,
2
G x x 6.
2. f x cos x
X ,
1.

11.

Примеры первообразных
f x 2x,
X , .
2
F x x ,
2
G x x 6.
2. f x cos x
X ,
F x sin x
G x sin x 5
1.

12.

Утверждения:
промежутке X
- первообразная f
1. Пусть на
F x
x .

13.

Утверждения:
промежутке X
- первообразная f
1. Пусть на
F x
Тогда функция
x .
G x F x C ,
C - произвольная константа,
тоже первообразная f x .
где

14.

Утверждения:
промежутке X
- первообразная f
1. Пусть на
F x
Тогда функция
x .
G x F x C ,
C - произвольная константа,
тоже первообразная f x .
где
.
Док-во:
G x F x C F x f x .

15.

2. Если
F x и G x
первообразные одной функции
то
G x F x C.
f x ,

16.

2. Если
F x и G x
первообразные одной функции
то
f x ,
G x F x C.
Док-во:
(G x F x ) G x F x 0.

17.

2. Если
F x и G x
первообразные одной функции
то
f x ,
G x F x C.
Док-во:
(G x F x ) G x F x 0.
Производная разности функций равна 0 –
разность функций равна const.
Вывод: общий вид всех первообразных
F x C.

18.

Неопределенный интеграл
Множество всех первообразных для функции f
на промежутке
x
X называется неопределенным
интегралом и обозначается
.

19.

Неопределенный интеграл
Множество всех первообразных для функции f
на промежутке
x
X называется неопределенным
интегралом и обозначается
f x dx F x C
.

20.

Неопределенный интеграл
Множество всех первообразных для функции f
на промежутке
X называется неопределенным
интегралом и обозначается
f x dx F x C
f x
- подынтегральная функция, а
f x dx
x
.
- подынтегральное выражение

21.

Слайд № 21
Пример
f x x

22.

Слайд № 22
Пример
f x x
2
x
- первообразная, ( F x x );
F x
2
2
x
xdx C - неопределенный интеграл
2

23.

Стандартные интегралы
1 dx x C
x 1
;

24.

Стандартные интегралы
x 1
1 dx x C
a
x dx
a
1
x
a 1
C
a 1
;

25.

Стандартные интегралы
x 1
1 dx x C
a
x dx
a
1
x
a 1
C
a 1
x a 1 a 1 x a 1 1
a
x
a 1
a
1
;

26.

1
x dx ln | x | C

27.

1
x dx ln | x | C
1
ln x ,
x
1
ln ( x)
x

28.

1
x dx ln | x | C
1
ln x ,
x
1
ln | x |
x
1
ln ( x)
x

29.

1
x dx ln | x | C
1
ln x ,
x
x
x
e dx e C
1
ln | x |
x
1
ln ( x)
x
e
x
x
e

30.

1
x dx ln | x | C
1
ln x ,
x
1
ln ( x)
x
x
x
e dx e C
x
a dx
1
ln | x |
x
x
a
ln a
C
e
x
x
e
ax
ax
ln a

31.

cos xdx sin x C
sin x cos x
sin
xdx
cos
x
C
cos x sin x
,

32.

cos xdx sin x C
sin x cos x
sin
xdx
cos
x
C
cos x sin x
1
2
cos x
,
dx tg x C
tg x
1
2
cos x

33.

cos xdx sin x C
sin x cos x
sin
xdx
cos
x
C
cos x sin x
dx tg x C
tg x
dx ctg x C
ctg x
1
2
cos x
1
2
sin x
,
1
2
cos x
1
2
sin x

34.

.
1
2
1 x
dx arctg x C
arctg x
1
2
1 x

35.

1
2
1 x
dx arctg x C
1
2
1 x
arctg x
1
2
1 x
dx arcsin x C
arcsin x
.
1
2
1 x

36.

Свойства интегралов
Из определения неопределенного интеграла
f x dx F x C
F x f x

37.

Свойства интегралов
Из определения неопределенного интеграла
F x f x
f x dx F x C
f x dx f x
Следует

38.

Свойства интегралов
Из определения неопределенного интеграла
F x f x
f x dx F x C
f x dx f x
Следует
1.
d f x dx f x dx

39.

Свойства интегралов
Из определения неопределенного интеграла
F x f x
f x dx F x C
f x dx f x
Следует
1.
d f x dx f x dx
Т.к. d f x dx f x dx dx f x dx

40.

Свойства интегралов
Из определения неопределенного интеграла
F x f x
f x dx F x C
f x dx f x
Следует
1.
d f x dx f x dx
Т.к. d f x dx f x dx dx f x dx
2. dF x F x C

41.

Свойства интегралов
Из определения неопределенного интеграла
F x f x
f x dx F x C
f x dx f x
Следует
1.
d f x dx f x dx
Т.к. d f x dx f x dx dx f x dx
2. dF x F x C
3. af x dx a f x dx

42.

Свойства интегралов
Из определения неопределенного интеграла
F x f x
f x dx F x C
f x dx f x
Следует
1.
d f x dx f x dx
Т.к. d f x dx f x dx dx f x dx
2. dF x F x C
3. af x dx a f x dx
4. f x g x dx f x dx g x dx

43.

Пример 1
.
2
x
( x 3 cos x 4e )dx

44.

Пример 1
.
2
x
( x 3 cos x 4e )dx
2
x
x dx 3 cos xdx 4 e dx

45.

Пример 1
.
2
x
( x 3 cos x 4e )dx
2
x
x dx 3 cos xdx 4 e dx
3
x
3
x
3 sin x 4e C

46.

.
Пример 2
4
x 5x 4
dx
2
x

47.

.
Пример 2
4
5 4
x 5x 4
2
(
x
)
dx
dx
2
2
x
x
x

48.

.
Пример 2
4
5 4
x 5x 4
2
(
x
)
dx
dx
2
2
x
x
x
x3
5ln x ( 4 x 2 )dx
3

49.

.
Пример 2
4
5 4
x 5x 4
2
(
x
)
dx
dx
2
2
x
x
x
x3
5ln x ( 4 x 2 )dx
3
x3
4 3
5ln x x C
3
3

50.

Пример 3
x2
2 dx
x 1

51.

Пример 3
2 1 1
x2
x
dx
2 dx 2
x 1
x 1

52.

Пример 3
2 1 1
x2
x
dx
2 dx 2
x 1
x 1
1
(1 2 )dx
x 1

53.

Пример 3
2 1 1
x2
x
dx
2 dx 2
x 1
x 1
1
(1 2 )dx x arctgx C
x 1

54.

Метод замены переменной.
Введение под знак дифференциала
Утверждение:
если известно
f t dt F (t ) C

55.

Метод замены переменной.
Введение под знак дифференциала
Утверждение:
если известно
f t dt F (t ) C
( F (t ) f (t ) )

56.

Метод замены переменной.
Введение под знак дифференциала
Утверждение:
если известно
f t dt F (t ) C
( F (t ) f (t ) )
то тогда
f x x dx F ( ( x)) C

57.

Метод замены переменной.
Введение под знак дифференциала
Утверждение:
если известно
f t dt F (t ) C
( F (t ) f (t ) )
то тогда
f x x dx F ( ( x)) C
Функции
f (t ), ( x), ( x)
предполагаются непрерывными.

58.

F (t ) f (t )
Док-во:
По правилу дифференцирования сложной функции
F ( ( x)) F ( ( x)) ( x)

59.

F (t ) f (t )
Док-во:
По правилу дифференцирования сложной функции
F ( ( x)) F ( ( x)) ( x)
f ( ( x)) ( x)

60.

F (t ) f (t )
Док-во:
По правилу дифференцирования сложной функции
F ( ( x)) F ( ( x)) ( x)
f ( ( x)) ( x)
Т.е.
f x x dx F ( ( x))dx F ( ( x)) C

61.

Почему замена переменной?
Можно вводить (заменять) новую переменную

62.

Почему замена переменной?
Можно вводить (заменять) новую переменную
f x x dx

63.

Почему замена переменной?
Можно вводить (заменять) новую переменную
f x x dx
{ t x , dt x dx }

64.

Почему замена переменной?
Можно вводить (заменять) новую переменную
f x x dx
{ t x , dt x dx }
f t dt F (t ) C F ( ( x)) C

65.

Пример:
3
sin x cos x dx
,

66.

Пример:
3
sin x cos x dx
t sin x , dt t ( x) dx ,

67.

Пример:
3
sin x cos x dx
t sin x , dt t ( x) dx , dt cos x dx

68.

Пример:
3
sin x cos x dx
t sin x , dt t ( x) dx , dt cos x dx
3
t dt

69.

Пример:
3
sin x cos x dx
t sin x , dt t ( x) dx , dt cos x dx
3
t dt
4
t
4
C
4
sin x
4
C

70.

Введение под знак дифференциала
f x x dx f x d x
F ( ( x)) C

71.

Введение под знак дифференциала
f x x dx f x d x
F ( ( x)) C
Пример
3
sin x cos x dx

72.

Введение под знак дифференциала
f x x dx f x d x
F ( ( x)) C
Пример
3
sin x cos x dx
{ cos x dx d sin x }

73.

Введение под знак дифференциала
f x x dx f x d x
F ( ( x)) C
Пример
3
sin x cos x dx
3
sin x d sin x
{ cos x dx d sin x }

74.

Введение под знак дифференциала
f x x dx f x d x
F ( ( x)) C
Пример
3
sin x cos x dx
{ cos x dx d sin x }
4
sin x
3
sin x d sin x
C
4

75.

Примеры
,
,
10
( x 10) dx

76.

Примеры
,
,
10
( x 10) dx
t x 10
dt t dx, dt dx

77.

Примеры
,
10
( x 10) dx
,
10
t dt
11
t
11
t x 10
dt t dx, dt dx
C

78.

Примеры
,
10
( x 10) dx
,
10
t dt
11
t
11
t x 10
dt t dx, dt dx
C
11
( x 10)
11
C

79.

Примеры
,
10
( x 10) dx
,
10
t dt
11
t
11
t x 10
dt t dx, dt dx
C
11
( x 10)
11
C
10
10
( x 10) dx ( x 10) d ( x 10)

80.

Примеры
,
10
( x 10) dx
,
10
t dt
11
t
11
t x 10
dt t dx, dt dx
C
11
( x 10)
11
C
10
10
( x 10) dx ( x 10) d ( x 10)
11
( x 10)
11
C

81.

Пример:
cos( 2 x)dx

82.

Пример:
cos( 2 x)dx t 2 x

83.

Пример:
cos( 2 x)dx t 2 x
dt t ( x) dx,

84.

Пример:
cos( 2 x)dx t 2 x
dt
dt 2dx, dx
2
dt t ( x) dx,

85.

Пример:
cos( 2 x)dx t 2 x
dt t ( x) dx,
1
1
dt
cos t dt sin t C
dt 2dx, dx
2
2
2

86.

Пример:
cos( 2 x)dx t 2 x
dt t ( x) dx,
1
1
dt
cos t dt sin t C
dt 2dx, dx
2
2
2
1
sin( 2 x) C
2

87.

Пример:
cos( 2 x)dx t 2 x
dt t ( x) dx,
1
1
dt
cos t dt sin t C
dt 2dx, dx
2
2
2
1
sin( 2 x) C
2
cos( 2 x)dx

88.

Пример:
cos( 2 x)dx t 2 x
dt t ( x) dx,
1
1
dt
cos t dt sin t C
dt 2dx, dx
2
2
2
1
sin( 2 x) C
2
2
1
cos( 2 x)dx 2 cos 2 xdx 2 cos 2 xd (2 x)

89.

Пример:
cos( 2 x)dx t 2 x
dt t ( x) dx,
1
1
dt
cos t dt sin t C
dt 2dx, dx
2
2
2
1
sin( 2 x) C
2
2
1
cos( 2 x)dx 2 cos 2 xdx 2 cos 2 xd (2 x)
1
sin( 2 x) C
2

90.

Пример:
cos(2 x 3)dx

91.

Пример:
cos(2 x 3)dx t 2 x 3 dt t ( x) dx,

92.

Пример:
cos(2 x 3)dx t 2 x 3 dt t ( x) dx,
dt
dt 2dx, dx
2

93.

Пример:
cos(2 x 3)dx t 2 x 3 dt t ( x) dx,
dt
1
1
dt 2dx, dx
cos t dt sin t C
2
2
2

94.

Пример:
cos(2 x 3)dx t 2 x 3 dt t ( x) dx,
dt
1
1
dt 2dx, dx
cos t dt sin t C
2
2
2
1
sin(2 x 3) C
2

95.

Замена переменной. Примеры
dx
f ln x x f t dt
1
t ln x, dt t dx dt dx
x

96.

Замена переменной. Примеры
dx
f ln x x f t dt
1
t ln x, dt t dx dt dx
x
ln
x
t
2
ln x
t
x dx dx dt tdt C
2
x

97.

Замена переменной. Примеры
dx
f ln x x f t dt
1
t ln x, dt t dx dt dx
x
ln
x
t
2
ln x
t
x dx dx dt tdt C
2
x
2
ln x
C
2

98.

Замена переменной. Примеры
x
f e dx
f t
t dt

99.

Замена переменной. Примеры
x
f e dx
f t
t dt
dt
x
x
t e , dt t dx dt e dx, dx
t

100.

Замена переменной. Примеры
x
f e dx
f t
t dt
dt
x
x
t e , dt t dx dt e dx, dx
t
x
e
1 e2 x
dx

101.

Замена переменной. Примеры
x
f e dx
f t
t dt
dt
x
x
t e , dt t dx dt e dx, dx
t
t ex,
dx 2 x 2
e t
1 e2 x
x
e
dt e xdx,

102.

Замена переменной. Примеры
x
f e dx
f t
t dt
dt
x
x
t e , dt t dx dt e dx, dx
t
t ex,
dx 2 x 2
e t
1 e2 x
dt
2
1 t
x
e
dt e xdx,

103.

Замена переменной. Примеры
x
f e dx
f t
t dt
dt
x
x
t e , dt t dx dt e dx, dx
t
t e x , dt e xdx,
dx
2
x
2
2
x
e t
1 e
dt
arctg t C arctg e x C
2
1 t
x
e

104.

Стандартные интегралы
dx
1
dx
2 2 2 x 2
x a
a 1
a

105.

Стандартные интегралы
x
d
dx
1
dx
1
1 dt
a
2 2
2
2 x 2
2
x a
a 1 a x 1 a t 1
a
a

106.

Стандартные интегралы
x
d
dx
1
dx
1
1 dt
a
2 2
2
2 x 2
2
x a
a 1 a x 1 a t 1
a
a
1
1
arctg t C arctg ax C
a
a

107.

Стандартные интегралы
x
d
dx
1
dx
1
1 dt
a
2 2
2
2 x 2
2
x a
a 1 a x 1 a t 1
a
a
1
1
arctg t C arctg ax C
a
a
dx
1
dx
2 2
a 1 x 2
a x
a

108.

Стандартные интегралы
x
d
dx
1
dx
1
1 dt
a
2 2
2
2 x 2
2
x a
a 1 a x 1 a t 1
a
a
1
1
arctg t C arctg ax C
a
a
x
d
dx
1
dx
a
2 2
2
a 1 x 2
a x
x
1 a
a

109.

Стандартные интегралы
x
d
dx
1
dx
1
1 dt
a
2 2
2
2 x 2
2
x a
a 1 a x 1 a t 1
a
a
1
1
arctg t C arctg ax C
a
a
x
d
dx
1
dx
a
2 2
2
a 1 x 2
a x
x
1 a
a
dt
1 t
2
arcsin t C arcsin ax C

110.

Интегрирование по частям
Пусть функции u (x) и v (x )
дифференцируемые и u ( x )v ( x )
имеет первообразную, тогда u ( x )v ( x )
тоже имеет первообразную, причем
uv dx uv u vdx
(x ) опускаем

111.

Док-во.
uv u v uv uv uv u v

112.

Док-во.
uv u v uv uv uv u v
Из последнего равенства следует
uv dx uv dx u vdx

113.

Док-во.
uv u v uv uv uv u v
Из последнего равенства следует
uv dx uv dx u vdx
По определению
uv dx uv C

114.

Док-во.
uv u v uv uv uv u v
Из последнего равенства следует
uv dx uv dx u vdx
По определению
uv dx uv C
Следовательно
uv dx uv u vdx
ч.т.д.

115.

uv dx uv u vdx
Так как
,
v dx dv u dx du

116.

uv dx uv u vdx
Так как
,
v dx dv u dx du
udv uv vdu

117.

uv dx uv u vdx
Так как
,
v dx dv u dx du
udv uv vdu
du u dx, v dv

118.

udv uv vdu
Интегралы
вида
Pn ( x) f ( x)dx

119.

udv uv vdu
Интегралы
вида
Pn ( x) f ( x)dx
kx ,
1 Pn x - многочлен, а f x e

120.

udv uv vdu
Интегралы
вида
Pn ( x) f ( x)dx
kx ,
1 Pn x - многочлен, а f x e
f x coskx , или f x sin kx , тогда

121.

udv uv vdu
Интегралы
вида
Pn ( x) f ( x)dx
kx ,
1 Pn x - многочлен, а f x e
f x coskx , или f x sin kx , тогда
u Pn x , а dv f x dx

122.

udv uv vdu
Интегралы
вида
Pn ( x) f ( x)dx
kx ,
1 Pn x - многочлен, а f x e
f x coskx , или f x sin kx , тогда
u Pn x , а dv f x dx

123.

udv uv vdu
Интегралы
вида
Pn ( x) f ( x)dx
kx ,
1 Pn x - многочлен, а f x e
f x coskx , или f x sin kx , тогда
u Pn x , а dv f x dx
Пример.
u x
x cos 2 x dx dv cos 2 x dx

124.

udv uv vdu
Интегралы
вида
Pn ( x) f ( x)dx
kx ,
1 Pn x - многочлен, а f x e
f x coskx , или f x sin kx , тогда
u Pn x , а dv f x dx
Пример.
u x
du dx
x cos 2 x dx dv cos 2 x dx v 1 sin 2 x
2

125.

udv uv vdu
Пример.
u x
du dx
x cos 2 x dx dv cos 2 x dx v 1 sin 2 x
2

126.

udv uv vdu
Пример.
u x
du dx
x cos 2 x dx dv cos 2 x dx v 1 sin 2 x
2
1
1
x sin 2 x sin 2 x dx
2
2

127.

udv uv vdu
Пример.
u x
du dx
x cos 2 x dx dv cos 2 x dx v 1 sin 2 x
2
1
1
x sin 2 x sin 2 x dx
2
2
1
1 1
x sin 2 x ( cos 2 x) C
2
2 2

128.

udv uv vdu
Пример.
u x
du dx
x cos 2 x dx dv cos 2 x dx v 1 sin 2 x
2
1
1
x sin 2 x sin 2 x dx
2
2
1
1 1
x sin 2 x ( cos 2 x) C
2
2 2
1
1
x sin 2 x cos 2 x C
2
4