Системы уравнений. Методы решения

1.

Системы
уравнений
Методы
решения

2.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С
ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Решением системы уравнений с двумя
переменными называется пара значений
переменных, обращающая каждое
уравнение системы в верное равенство.
Решить систему уравнений – значит найти
все её решения или доказать, что
решений нет.

3.

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ:
Способ подстановки
Способ сложения
Графический способ
Способ замены

4.

Равносильными являются методы:
1. Метод подстановки
2. Метод сложения
3. Метод замены или введения новой переменной
Методы, приводящие к уравнениям –
следствиям:
1. Возведение в квадрат обеих частей уравнения
2. Умножение уравнений системы
3. Преобразования, расширяющие область определения

5.

СПОСОБ
ПОДСТАНОВКИ
1.
2.
3.
4.
Выразить из какого-нибудь уравнения
системы одну переменную через другую.
Подставить в другое уравнение системы
вместо этой переменной полученное
выражение.
Решить получившееся уравнение с одной
переменной.
Найти соответствующее значение второй
переменной.

6.

ПРИМЕР:
3 x y 7 1
2 y 5 x 3
Решим систему уравнений:
1.Выразим из первого уравнения y через x: y=7-3x.
2.Подставив во второе уравнение вместо y выражение
3x y 7
7-3х, получим систему:
2
2(7 3x) 5 x 3
3.В системе (2) второе уравнение содержит только одну
переменную. Решим это уравнение: 14-6х-5х=3,
-11х= -11,
х=1.
4.Подставим в равенство у=7-3х вместо х число 1,
найдём соответствующее значение у: у=7-3 1,
у=4.
Пара (1;4) – решение системы (1).

7.

РЕШИТЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ:
1.
3.
x
y
х 2 у 7 2.
1
5
15
2
х
3
у
5
2 x 5 y 0
7 x 2 y 0
x 5y 6
4.
2
4 y 9 x 10
x
3y 4
x y 35
6.
x y 5
3
5.
3
5 y 8( x 3 y ) 7 x 12
9 x 3( x 9 y ) 11y 46
№ 59.1, 59.2

8.

СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ
1.
2.
3.
4.
Умножьте почленно уравнения системы,
подбирая множители так, чтобы
коэффициенты при одной из переменных
стали противоположными числами.
Сложите почленно левые и правые части
уравнений системы.
Решите получившееся уравнение с одной
переменной.
Найдите соответствующее значение
второй переменной.

9.

:
Решим систему:
5 х 11 у 8
10 х 7 у 74
1.Умножим все члены первого уравнения на -2:
уравнение
х 22 у без
16 изменений, то коэффициенты при
10оставим
в полученных
будут противоположными
74
10 х 7 ууравнениях
числи:
2.ТПочленно сложим и получим уравнение с одной переменной:
-29у=58.
3.Из этого уравнения находим, что
у=58/(-29)= -2.
4.Подставив во второе уравнение вместо у число -2,
Найдём значение х:
10х-7*(-2)=74,
10х=60,
х=6.
Ответ: х=6, у= -2

10.

РЕШИТЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ СЛОЖЕНИЯ:
1. 5 х 2 у 9
2. 9 у 8 х 2
7 х 3 у 1
0,5 0,2 у 7
3. 1
1
х
у 0
10
3
3х 4 у 7
5.
1 3 х 4 2 у
4 3
5 х 4 у 11
4.
х у 1
0
5 3 3
4 х 5 у 10 0
4(2 х у 3) 3( х 2 у ) 57
6. 3(3х 4 у 3) 4(4 х 2 у) 84
№ 59.3, 59.4

11.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ
РАБОТА

12.

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ
1.
2.
3.
Построить график функции, заданной
первым уравнением системы.
Построить график функции, заданной
вторым уравнением системы.
Определить координаты точек
пересечения графиков функций.

13.

ПРИМЕР:
2 х 3 у 5
3х у 9
Решим систему уравнений:
1.Построим график линейной функции
2х+3у=5, 3y=5-2x / :3 .
Её графиком является прямая АВ.
2.Построим график линейной
функции 3х-у=-9, y=9+3x.
A
Её графиком является прямая СD.
К
3.Графики пересекаются в точке
К(-2;3). Значит, система имеет
C
-2
Единственное решение:
х= -2, у=3
y
D
3
x
0
B

14.

РЕШИТЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ:
1. 3 x y 7
2. у 2 х 1
3.
4.
2 y 5 x 3
5.
7 х у 1
у 2х 4
9 х 4 у 10
7 х 2 у 0
6 х 2 у 7
6.
2 х 3 у 1
4 у 3 х 0
2( х у) 16 3( у 7)
6 х ( х 5) 8 ( у 1)
№ 59.9, 59.10 а

15.

СПОСОБ ЗАМЕНЫ ИЛИ
ВВЕДЕНИЯ НОВОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
1. Ввести одну или две новые переменные.
2. Записать новое уравнение или систему
уравнений.
3. Решить новое уравнение или систему
уравнений и найти значения введённых
переменных.
4. Сделать обратную замену и найти значения
переменных из условия.
5. Записать ответ.

16.

3 х 3 у 4
Пример: Решим систему
х у 28
3
3
Сделаем замену: х а, у b
a b 4
Получим систему: a 3 b3 28
Разложим левую часть второго уравнения на множители:
a 3 b3 (a b) (a 2 ab b 2 ) - и подставим в него из первого уравнения
a b 4
a b 4 . Тогда получим систему, равносильную второй: 2
2
a ab b 7
Подставляя во второе уравнение значение b, найденное из первого b 4 a
приходим к уравнению a 2 a(4 a) (4 a) 2 7 , т.е. a 2 4a 3 0
Полученное квадратное уравнение имеет два корня: a1 1и a2 3 .
Соответствующие значения b таковы: b1 3 и b2 1.
Переходим к переменным х и у. Получаем: 3 x a1 , т.е. x1 a13 1 ,
3
3
3
,
,
y
b
y b 27 x2 a2 27
2
2 1.
1
1
Ответ:(1;27), (27;1).

17.

РЕШИТЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
ВВЕДЕНИЯ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ:
1.
2 х у 5
х у 3
х у 6
2.
х у 12
1
4
1
3. 6 х 3 3 у 4 10 4.
3
х
у
ху 9
4 3 у 4 5 6 х 6
3
5. х 3 у 3 6.
3 х у х 3 у 12
ху 8
ху 64
№ 59.5, 59.6

18.

СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Пример: Решим систему уравнений
2 х 2 у 12
2 х у
3
3
Из второго уравнения системы находим 2х-у=1, откуда у=2х-1.
Подставляя вместо у в первое уравнение выражение 2х-1
1
х
2х
х
2 х 1
2
2
12 .
получим 2 2
12 , откуда
2
х
Обозначим 2 а , получим квадратное уравнение
2
а 2а 24 0 . Находим корни этого уравнения:
а1 6; а2 . 4
Уравнение замены 2 х 6 решений не имеет. Корнем
х
уравнения 2 4 является число х=2.
Соответствующее значение у=3.
Ответ:(2;3).

19.

РЕШИТЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ:
1. х у 9
х
у
2 2 16
4 х у
25
2. (1 / 5)
9 х 2
7
7
3.
4.
5.
х у
216
6
х
у
3 3 12
4 4 63
у х
4 4 64
х
у
6.
1
2
х у
25 ( 5 )
6 у 1 х
2 3 17
х 2
у 1
3 5
2
х
у

20.

СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
lg( y x) lg 2
Пример: Решим систему уравнений log x 4 log 3 log y
2
2
2
Первое уравнение системы равносильно уравнению у-х=2, а
х 3
, причём х>0 и у>0. Подставляя
второе – уравнению
16 у
х
3
у=х+2 в уравнение
, получим х(х+2)=48, откуда
16
у
х 2 2 х 48 0 ,т.е. х= -8 или х=6.Но так как х>0, то х=6 и
тогда у=8. Итак, данная система уравнений имеет одно
решение: х=6, у=8.
Ответ: (6;8).

21.

РЕШИТЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ:
1. х у 34
2. log 4 ( х у ) 2
3.
4.
log 2 x log 2 y 6
5.
log 13 ( х у ) 2
log 3 ( х у ) 2
log 3 х log 3 у 2 log 3 7
6.
log 9 х log 3 у 0
2
2
х 5 у 4 0
log 2 у 2 log 4 х 4 lg( х у ) 1 lg 13
2
2
lg( х у) lg( х у) lg 8
log
(
х
у
)
5
2
2
2