Язык уравнений

1.

Язык уравнений
МОУ «Гимназия №10» г. Тверь
Учитель математики Горшкова И.А.

2. «Мне приходилось делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по − моему, гораздо важнее. Политика существует

только для данного
момента, а уравнения будут
существовать вечно.»
( А. Эйнштейн)

3.

Упростите выражения:
I вариант
II вариант
a ) 6m 5m 4n 4m 3n m; а ) 2m 5n 4n 6m 3n m;
б ) 7 m 6n 5n 8m 3n m; б ) 3m 2n 5n 4m 7 n m;
в ) 6 x 3 y 8 y 4 x 7;
в ) 7 x 8 y 9 y 5 x 6;
г ) 5 x 7 y 5 y 2 x 4;
г ) 3 x 5 y 7 y 2 x 4;
д) 5(2 x 3 y ) 2(15 y 3 x);
д) 3(2 x 3 y ) 9( y 4 x);
е) 4(2 x 3 y ) 8( x 2 y ).
е) 7(2 x 3 y ) 3(4 x 2 y );

4.

Проверь себя!
I вариант
a) 8m-n;
б) 4n;
в) 2x + y + 6;
г) x + 2y + 4;
д) – 30x;
е) 2x – 27y.
II вариант
a) – 3m + 4n;
б) – 2m + 4n;
в) 2x + 5y + 7;
г) 3x – 2y + 4;
д) 4x + 15y;
е) – 28y.

5.

Из заданных выражений составьте уравнения с
одной переменной и решите их:
3х-1
4y 5
2
7z+9
3а+1
z+4
b-9
х+1
2y 2
3
c 1
2
2
b-9
1 2c
3
3а-1

6.

Проверь себя!
а) 3х-1=х+1
б) 3а+1=3а-1
2х=2
0а=-2
х=1
Ответ:
Ответ: 1
Решений нет

7.

Проверь себя!
в) z+4=7z+9
г) в-9=в-9
-6z=5
0b=0
5
z= 6
Ответ:
5
Ответ: 6
b-любое число

8.

Проверь себя!
д)
4y 5 2y 2
2
3
12y+15=4y+4
12y-4y=4-15
8y=-11
3
y= 1
3
8
1
Ответ:
8
е) c 1
1 2c
2
2
3
(c-1)∙3+12=2(1-2c)
3c-3+12=2-4c
7c=-7
c =-1
Ответ: -1

9.

• Что значит решить уравнение?
• Что называют корнем уравнения?
• Какое равенство называют уравнением?
Сколько корней в уравнении?
Решить уравнение это значит найти все его
корни или убедиться, что это уравнение не
имеет ни одного корня.
Корнем уравнения называют то значение
неизвестного, при котором это уравнение
обращается в верное равенство.
Уравнением называют равенство, содержащее
букву, значение которой надо найти.

10.

Попробуй сделать сам!
Задание 1. Проверьте, является ли число 7 корнем
уравнений х - 3=4 и 5·(х - 3)=20.
Какой вывод можно сделать?
Задание 2. Решить уравнение: х + 8 = - 15.
Решите данное уравнение другим x + 8 – 8 = – 15 – 8
способом, используя то, что сумма
x = – 23
противоположных чисел равна 0.
Задание 3. Решить уравнения:
а) 6х = 6х + 9;
г) |2x+5|=1;
б) 3х - 18 = 2(1,5х – 9); д) |1-7x|=-9.
в)(9-0,1х)(5+3х)=0.

11. Линейные уравнения.

«Алгебра дает общую «отмычку», которой открываются
любые задачные «замки», тогда как арифметика
подбирает к каждой задаче свой ключ.» (И.К. Андронов)
Линейным уравнением с одним неизвестным
называют уравнение которое можно привести к
виду ах=в, где а≠0.
a
Если а≠0, то x
, в уравнении один корень.
в
Если а=0, в≠0, то 0х=в и уравнение не имеет
корней.
Если а=0, в=0, то 0х=0 и уравнение имеет
бесконечное число корней, х-любое число.

12.

Модулем числа а называют расстояние
(в единичных отрезках) от начала
координат до точки А(а).
Модуль отрицательного числа есть
положительное число, ему
противоположное.
Модуль положительного числа равен самому
числу;
Модуль нуля равен нулю.

13. Алгоритм решения уравнений:

1) сначала уравнение упрости, если это возможно
(раскрой скобки, приведи подобные слагаемые);
2) затем перенеси слагаемые, содержащие
неизвестное, в одну часть уравнения, а
остальные слагаемые – в другую часть
уравнения, изменив при этом их знаки на
противоположные;
3) приведи подобные члены;
4) найди корни уравнения или докажи, что их нет.

14.

Попробуй сделать сам!
1. Решить уравнения:
а) 8х + 5,9 = 7х + 20;
б) 6х - 8 = -5х - 1,6;
8x - 7x = 20 - 5,9
6x + 5x = 8 - 1,6
x = 14,1
Ответ: x = 14,1
11x = 6,4
x = 6,4 : 11
32
x=
55
32
Ответ: x =
55

15.

Попробуй сделать сам!
2. Найти корни уравнений:
7
2
a) x 3 x 5;
9
3
2
1
1
б ) у у 2 у 3.
3
2
4
8y - 6y + 24 = 3y - 36
8y - 6y -3y = - 36 - 24
-y = - 60
y = 60
Ответ: y = 60
7x + 27 = 6x + 45
7x - 6x = 45 - 27
x = 18
Ответ: x = 18
х 3 7 x
в)
.
6
3
3(x- 3) = 6(7 - x)
3x - 9 = 42 -6x
3x + 6x = 42 + 9
9x = 51
2
x =5
;
3
2
Ответ: x = 5
3

16. Уравнения с параметром.

Задание 1. Найдите значение коэффициента а,
при котором уравнение ах=-5:
1)Имеет один корень. Найдите этот корень.
2)Имеет один корень, равный 0.
3)Не имеет корней.
4)Имеет в качестве корня любое число.
а∙х= -5
Таких
значений
нет
а≠0,
5
x
2
Таких
значений
нет
а=0

17.

Задание 2. Найдите все возможные решения
уравнения ах = в, где х - переменная, а и в –
некоторые числа.
а∙х= в
а≠0,
b
x
a
а=0; в ≠ 0
0∙х = в;
а=0; в=0
0∙х=0;
х – любое число.
Корней нет

18.

Задание 3. Решите уравнения, где х переменная, a, b, m, n – некоторые числа.
a )ax 2 3ax 4;
б )ax 3(1 x) 5;
в )ax b 1;
г )mx 2 x n;
mx 4 2mx n
.
д)
5
2

19.

Проверь себя!
a )ax 2 3ax 4
3ax ax 2 4
2ax 6
3
x
a
Ответ : при а 0, корней нет;
3
при а 0, х .
а

20.

Проверь себя!
б )ax 3(1 x) 5
ax 3 3 x 5
x(a 3) 8
8
x
a 3
8
Ответ : при а 3, х
;
а 3
при а 3, корней нет.

21.

Проверь себя!
в )ax b 1
b 1
x
a
1.a 0;
2.a 0, b 1 0 0 x 0;
b 1
3.a 0, b 1
0 x b 1.
в 1
Ответ : при а 0, х
;
а
при а 0, в 1, корней нет;
при а 0, в 1, х любое.

22.

Проверь себя!
г )mx 2 x n
( m 2) x n
n
x
m 2
n
1.m 2, x
;
m 2
2.m 2, n 0, 0 x 0;
3.m 2, n 0, 0 x n.
n
Ответ : при m 2, x
;
m 2
при m 2, n 0, x любое;
при m 2, n 0, корней нет.

23.

Проверь себя!
mx 4 2mx n
д)
2
5
5(mx 4) 2(2mx n)
5mx 20 4mx 2n
mx 20 2n
20 2n
x
m
20 2n
;
m
2. m 0, n 10, 0 x 20 2n;
1. m 0, x
3. m 0, n 10, 0 x 0.
20 2n
Ответ : при m 0, x
;
m
при m 0, n 10, корней нет;
при m 0, n 10, х любое.

24.

Попробуй сделать сам № 123 (1); 125(1,3)
ax 2 3 ax
№125№(1125
) (32)x 3( x a ) 3 a
№123(1) 5 x 72 5 x 4a
2
x
3
x
3
a
3
a
2
ax
2
3
ax
5x 5x 7 a
x
3
a
3
a
2
ax
ax
3
2
0x 7 a
хx3ax
2
5a 3
Ответ : если а 7, то х любое.
5
xx
3 2a
3a
Ответ : х 3 2а при 5любом а.
Ответ : при а 0, х
3а
.