Схема Бернулли

1. Схема Бернулли

1.
2.
3.
Проводится n независимых испытаний.
Каждое испытание имеет два исхода: произошло
событие А; не произошло событие А.
Вероятность наступления события в каждом
испытании одинаковая Р(А) = р, при этом
вероятность противоположного для А события
равна q.

2. Классификация задач в схеме Бернулли

1.
2.
3.
Классификация задач в схеме Бернулли
Найти вероятность Рn(m) того, что при n
независимых испытаниях, удовлетворяющих
схеме Бернулли событие А произойдет ровно
m раз.
Найти вероятность Pn(a<m<b) того, что при
n независимых испытаниях,
удовлетворяющих схеме Бернулли событие
А произойдет от a до b раз
Задачи, связанные с наивероятнейшим
числом появления события А

3. Задачи первого типа: найти Рn(m)

Если число испытаний n <10, то используют формулу
Бернулли
…..(1)
m m n m
Pn (m) Cn p q
Если число испытаний n >10, но λ= np<10, то
m
используют формулу Пуассона
...(2)
Pn (m)
e
m!
Если число испытаний n >10, но np>10, то используют
локальную формулу Лапласа
1
.... (3)
m np
Pn (m)
( x)
x
где
npq
npq
φ(х) – функция Гаусса, значение которой находят по
таблице, учитывая, что эта функция четная

4. Задачи второго типа: найти Pn(a ≤ m ≤ b)

Если интервал [a,b] мал (от 2 до 5 точек), то
b
Pn ( a m b) Pn ( m)
m a
где Рn(m) находятся по одной из формул (1) – (3)
Если интервал [a,b] большой, то
Pn (a m b) (t2 ) (t1 )
где
t1
a np
npq
t2
b np
npq
Φ(t) – интегральная функция Лапласа, значения
которой находят по таблице.

5. Задачи третьего типа

Наивероятнейшим числом появлений события А в n
независимых испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли,
называется число m0 появлений события А, вероятность
которого наибольшая.
Наивероятнейшее число это целое число, удовлетворяющее
неравенству
np q m np p
……(4)
где n – число испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли;
m – число появлений события А в этих испытаниях;
р – вероятность появления события А в каждом испытании;
q – вероятность противоположного для А события.

6.

m0 имеет два значения: np – q и np + p, если эти числа
целые;
m0 равно единственному целому числу, лежащему
между np – q и np + p, если эти числа дробные.
Используя неравенство (4) можно решать задачи:
Известно число испытаний n и вероятность
появления события А в каждом испытании р; найти
наивероятнейшее число m0;
Известно наивероятнейшее число m0 и число
испытаний n; найти вероятность р появления события
А в каждом испытании;
Известно наивероятнейшее число m0 и вероятность р
появления события А в каждом испытании; найти n
число проведенных испытаний

7. Литература

Гмурман
В.Е. Теория вероятностей и
математическая статистика. – М., 1998
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач
по теории вероятностей и математической
статистике. – М., 1998
Дворянкина
Е.К. Теория вероятностей:
Учебно-методическое
пособие.
–
Хабаровск, 2005