Поступательное и вращательное движения твёрдого

1.

Тема 11.
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО
ТЕЛА.
11.1. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ.
Поступательным называется такое движение
твердого тела, при котором любая прямая,
проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь
параллельной своему начальному направлению.
Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным.
При поступательном движении тела траектории его точек могут быть
любыми кривыми линиями.
При поступательном движении все точки тела
описывают одинаковые (при наложении
совпадающие) траектории и имеют в каждый
момент времени одинаковые по модулю и
направлению скорости и ускорения.

2.

11.1. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ.
Поступательное движение твёрдого тела вполне
определяется движением какой-нибудь одной его
точки.
•Следовательно, изучение поступательного движения тела
сводится к задаче кинематики движения одной точки, нами
уже рассмотренной.
•При поступательном движении общую для всех точек тела
скорость называют скоростью поступательного
движения тела, а ускорение а - ускорением
поступательного движения тела.
•Векторы и а можно изображать приложенными к любой
точке тела.
•Заметим, что понятия о скорости и ускорении тела
имеют смысл только при поступательном
2
движении.

3.

11.2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И
УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ.
Вращательным движением твердого тела вокруг
неподвижной оси называется такое его движение, при
котором какие-нибудь две точки, принадлежащие
телу (или неизменно с ним связанные), остаются во
время движения неподвижными.
Проходящая через неподвижные точки А и В прямая
АВ называется осью вращения.
Так как расстояния между точками твердого
тела должны оставаться неизменными, то при
вращательном движении все точки, принадлежащие
оси вращения, будут неподвижны, а все остальные
точки тела будут описывать окружности, плоскости
которых перпендикулярны оси вращения, а центры
лежат на этой оси.
3

4.

11.2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И
УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ.
Положение тела в любой момент времени
однозначно определится взятым с
соответствующим знаком углом между
этими полуплоскостями, который назовем
углом поворота тела.
Угол положительным, если он отложен от
неподвижной плоскости в направлении против хода
часовой, и отрицательным, если по ходу часовой
стрелки.
Измерять угол будем всегда в радианах.
Чтобы знать положение тела в любой момент времени,
надо знать зависимость угла поворота от времени
Это уравнение называется
f t .
законом вращательного движения твердого тела
вокруг неподвижной оси

5.

11.2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И
УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ.
Числовое значение угловой скорости тела в данный
момент времени равно первой производной от угла
поворота по времени.
d
,
dt
• Если вращение материальной точки происходит против хода
часовой стрелки, > 0.
• Если вращение материальной точки происходит по ходу часовой
стрелки, то < 0.
Угловую скорость тела можно изобразить в
виде вектора , который направлен вдоль
оси вращения тела в ту сторону, откуда
вращение видно происходящим против хода
часовой стрелки (см. рисунок).
5

6.

11.2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И
УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ.
Угловое ускорение тела в данный момент времени
равно первой производной от угловой скорости или
второй производной от угла поворота тела по
времени.
d d 2
2 , .
dt
dt
• Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение
тела называется ускоренным.
• Если модуль угловой скорости со временем убывает, вращение
тела называется замедленным.
Направление совпадает с направлением
, когда тело вращается ускоренно (рис. а),
и противоположно при замедленном
вращении (рис. б).
6

7.

11.3. РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ВРАЩЕНИЯ.
Если угловая скорость тела остается во все время
движения постоянной ( = const), то вращение тела
называется равномерным.
Из определения угловой скорости d dt .
В начальный момент времени t = 0 и 0 , интегрируя
выражение выше, получим
закон равномерного вращения, который имеет вид:
0 t
При равномерном вращении, когда 0 = 0 .
t

8.

11.3. РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ВРАЩЕНИЯ.
Если угловое ускорение тела во все время движения
остается постоянным ( = const), то вращение
называется равнопеременным.
Из определения углового ускорения d dt .
Интегрируя обе части этого уравнения, получим закон
изменения угловой скорости со временем
0 t
Учитывая, что t , можем записать:
d
0 t , d 0 dt tdt
dt
Интегрируя обе части этого равенства, получим:
0 0t
t2
2
.
8

9.

11.4. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.
11.4.1. Скорости точек тела.
Числовое значение скорости точки вращающегося
твердого тела равно произведению угловой
скорости тела на расстояние от этой точки до
оси вращения h.
- Скорость направлена по
касательной к описываемой
точкой окружности и
перпендикулярна плоскости, проходящей через ось
вращения и точку М;
- для всех точек тела имеет в данный момент
времени дно и то же значение;
- скорости точек вращающегося тела
пропорциональны их расстояниям от оси
ращения;
- поле скоростей точек вращающегося твердого
тела имеет вид, показанный на рисунке слева.
ds
d
h
h
dt
dt

10.

11.4. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.
11.4.2. Ускорения точек тела.
Для нахождения ускорения точки М воспользуемся
формулами
d
2
a
dt
; an
h
.
Так как h , то можно записать для составляющих
ускорения:
2 2
d
h
a h
h , an
h 2 .
dt
h
- Касательная составляющая ускорения а
направлена по касательной к траектории (в сторону
движения при ускоренном вращении тела и в
обратную сторону при замедленном).
- Нормальная оставляющая аn всегда направлена по
радиусу МС к оси вращения
Полное ускорение точки М будет: a a 2 an2 h 2 4 .

11.

11.4. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.
11.4.2. Ускорения точек тела.
Отклонение вектора полного ускорения от радиуса
описываемой точкой окружности определяется углом ,
который вычисляется по формуле tg a / an .
2
a
h
,
a
h
,
С учётом того, что
n
можем записать для :
tg 2 .
Так как и имеют в данный момент времени для всех
точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек
вращающегося твердого тела пропорциональны их
расстояниям от оси вращения и образуют в данный
момент времени один и тот же угол с радиусами
описываемых ими окружностей.
Поле ускорений точек вращающегося
твердого тела имеет вид, показанный
на рисунке справа.

12.

11.4. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.
11.4.3. Векторы скорости и ускорения точек тела.
Исходя из геометрии рисунка справа, для
вектора скорости можно записать
следующее соотношение:
h r sin .
Это соотношение эквивалентно модулю
векторного произведения:
r .
Вектор скорости любой точки вращающегося тела
равен векторному произведению угловой скорости
тела на радиус-вектор этой точки.
Эту формулу называют формулой Эйлера.
12

13.

11.4. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.
11.4.3. Векторы скорости и ускорения точек тела.
Продифференцируем по времени обе части уравнения
Эйлера, получим:
d d
dr
r или a r .
dt dt
dt
Зная, что полное ускорение a a an , можем заключить:
r a и an .
Вектор a касательного (тангенциального)
ускорения направлен по касательной к
траектории точки М.
Вектор an центростремительного
(нормального) ускорения направлен
по нормали к траектории точки М, вдоль
Направления МС.
13

14.

11.4. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.
11.4.4. Пример решения задачи.
Груз В приводит во вращение вал радиусом r и
сидящую на одной оси с валом шестерню 1 радиусом r1 .
Движение груза начинается из состояния покоя и происходит
с постоянным ускорением а.
Определить, по какому закону будет при этом
вращаться находящаяся в зацеплении с шестерней 1
шестерня 2 радиусом r2.
Решение:
1. Найдём скорость груза В, который
начинает двигаться из состояния покоя.
Груз движется линейно с ускорением а,
следовательно
B at.
Эту скорость будут иметь и точки обода
14
вала.

15.

11.4. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.
11.4.4. Пример решения задачи.
Решение:
С другой стороны скорости точек на ободе вала 1 можно найти через
угловую скорость вращения вала
B 1r.
Тогда можно записать, что
at
1r at 1 .
r
2. Теперь найдём угловую скорость 2. В точке С значения скоростей
обоих валов одинаковы, значит
С 1r1 2 r2 .
Следовательно:
r1
r1a
2 1
t.
r2
r2 r
Из этой формулы видим, что угловая
скорость второго вала растёт
пропорционально времени.

16.

11.4. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.
11.4.4. Пример решения задачи.
Решение:
d
d dt.
По определению
dt
r1a
Тогда
d 2
tdt .
r2 r
r1a 2
Интегрируя обе части уравнения выше,
2
t .
и считая, что при t = 0, 2 = 0, получим
2r r
2
16