Преобразование Фурье для дискретных сигналов

1.

2.

Преобразование Фурье для дискретных сигналов
Для непрерывных сигналов:
X н ( j ) xн (t ) e
j t
dt
Для дискретных сигналов:
X (e ) x(n) e j n
j
1
1
j
j n
j t
x
(
n
)
X
(
e
)
e
d
xн (t )
X
(
j
)
e
d
н
2
2
т.к. X(ej )=X(ej( +2 k)), k=0, 1, 2…
X(ej ) непрерывная и
периодичная (период 2 )

3.

4.

Свойства ПФ для дискретных сигналов
Последовательность
x(n) y(n)
Преобразование Фурье
X(ej ) Y(ej )
1. Линейность
a x(n)+b y(n)
a X(e )+ b Y(e )
2. Задержка
x(n-n0)
ej n0 X(ej )
3. Частотный сдвиг
ej 0n x(n)
X(ej( - 0))
4. Свертка
x(n) y(n)
X(ej ) Y(ej )
x(n) y(n)
1
j
j ( )
X
(
e
)
Y
(
e
) d
2
Свойство
5. Произведение
j
j

5.

Соотношение между ПФ дискретных и непрерывных сигналов
|Xн(j ) , |X(ej T)|
|
- /T
-fд/2
0
Re[xн(t)]=xн(t)
0+2 /T 3 /T
/T 2 /T- 2 /T
0
fд/2
fд
3fд/2
0
X e
j T
4 /T
2fд
1
2
T x’ T m
m
x(n, 0) , x(n, 0+2 /T) , x(n, 2 /T- 0) , x(nT, 0)
1
0.5
0
-0.5
-1
Цифровая обработка сигналов. Слайд
5
t
T
2T
3T
4T

6.

Эффект наложения спектров (aliasing)
max= д – без наложения
|Xн(j ) , |X(ej T)|
|
0
д/2
д
д/2
д
д/2
Цифровая обработка сигналов. Слайд
6
5 д/2
6 д
3 д/2
2 д
5 д/2
6 д
max = д – без наложения
|Xн(j ) , |X(ej T)|
|
0
2 д
max > д – наложения
|Xн(j ) , |X(ej T)|
|
ФНЧ
0
3 д/2
д
3 д/2
2 д
5 д/2
6 д

7.

Z-преобразование
Применяется для описания, синтеза и анализа ЛПП
Преобразование Лапласа
Z-преобразование
∞