Векторные функции

1.

Векторные функции
Пусть
m
и
n
– евклидовы пространства с расстояниями m и n .
A
Говорят, что на множестве
(отображение
m
в
n
m
, оператор)
задана векторная функция
f x : A
n
, если каждому
x x1 , , xm A поставлен в соответствие вектор
T
f x f1 x ,
, fn x
T
n
.
Задание такого отображения f x равносильно заданию n функций:
fi x : A
, i 1, n ,
Функцию fi x называют i -й компонентой отображения f x .
Отображение f x :
m
n
x
Отображение f x : A
n
называется постоянным, если
m
f x y0
, A
если x , y A f x f y x y .
m
n
.
называется взаимно однозначным,
1

2.

Непрерывность
Пусть A
m
– открытое множество, f x : A
n
, x0 A.
Непрерывность в точке
Определение по Коши: Отображение f называется непрерывным в точке x 0 , если
0 0 x A m x, x 0 n f x , f x 0 ;
Определение по Гейне: Отображение f является непрерывным в точке x 0 , если
для любой посл-ти x k , такой, что lim x k x 0 , x k A , x k x 0 имеет место
k
lim f x k f x 0 .
k
Непрерывность на множестве
Отображение f называется:
– непрерывным на множестве A , если оно непрерывно в каждой точке мн-ва A ;
– равномерно непрерывным на множестве A , если
0 0 x, y A m x, y n f x , f y .
2

3.

Теорема. Отображение f x : A
n
, A
непрерывно в точке x 0 A
m
тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны все его компоненты
fi x : A , i 1, n .
Утверждение следует из эквивалентности покоординатной и поточечной
сходимостей в евклидовом пространстве.
Теорема о непрерывности композиции. Пусть
f : A
n
, A
m
и g:D
k
, f A D .
Если отображение f непрерывно в точке x 0 A , а g непрерывно в точке f x 0 ,
также непрерывна в точке x .
то композиция g f
0
3

4.

Если отображение f : A
n
, A
m
взаимно однозначно и
непрерывно на множестве A и, кроме того, обратное отображение f 1
непрерывно на множестве f A
n
, то f называют гомеоморфным
отображением или гомеоморфизмом, а множество f A называют
гомеоморфным образом множества A .
Лемма. Если f – гомеоморфизм множества A , то f 1 является
гомеоморфизмом множества f A .
Если для множеств A m и B n существует гомеоморфизм,
отображающий A на B , то множества A и B называются
гомеоморфными.
4

5.

Линейные отображения (операторы)
Отображение f x : m n называется линейным (линейным однородным),
если
x1 , x 2 m ,
f x1 x 2 f x1 f x 2 .
Теорема. «Отображение f линейно»
« матрица D dij in 1 mj 1 с действительными элементами d ij такая, что
x
m
f x Dx ».
называется матрицей линейного отображения f ,
Замечание. D D f
а её элементы определяются как коэффициенты разложения образов координатных векторов e j , j 1, m пространства
пространства
n
m
по координатным векторам i , i 1, n
:
f e j dij i .
n
i 1
6

6.

Теорема. Пусть f :
m
n
и g:
m
и D g соответственно. Тогда
n
– линейные отображения с матрицами
D f
– ,
отображение h x f x g x линейно и D h D f D g ;
– суперпозиция h :
m
k
, h x g f x – линейное отображение с матрицей
D h D g D f .
Теорема. Всякое линейное отображение непрерывно.
Все компоненты линейного отображения непрерывны, т.к. являются линейными функциями.
Теорема. Если f :
m
m
такой,
– линейное отображение с матрицей D f
что det D f 0 , то отображение f является взаимно однозначным, а обратное отобра-
жение f 1 – линейным с матрицей D 1 f .
7

7.

Дифференцируемые отображения
Пусть A
m
– открытое множество, f x : A
n
, x0 A.
Отображение f называется дифференцируемым в точке x 0 , если существует
линейное отображение L x :
m
n
с матрицей D такое, что
f x 0 a f x 0 L a o a при a 0 .
Линейный оператор L x называют дифференциалом отображения f в точке x 0
и обозначают df x 0 или D f x 0 , а саму матрицу D называют производной
отображения f в точке x 0 и обозначают f x 0 .
Если для евклидовых пространств ввести выражения вида o x так, что
x o x , :
m
n
при x x 0
x x x , :
m
, где lim0 x 0 ,
x x
то определение дифференцируемости в точке x 0 можно переписать в более
привычном виде:
f x 0 a f x 0 L a o a , a 0, a m .
8

8.

Теорема. Отображение f x : A
n
,A
m
дифференцируемо в точке x A
тогда и только тогда, когда все его компоненты f i x : A
в этой точке, при этом
f x 0
ij
fi x 0
x j
0
, i 1, n дифференцируемы
, i 1, n, j 1, m .
Следствие (достаточное условие дифференцируемости). Для дифференцируемости отображения f в некоторой точке достаточно, чтобы все частные производные его
компонент f i , i 1, n были непрерывны в этой точке.
Отображение
f
называется дифференцируемым отображением множества
A R m , если оно дифференцируемо в каждой точке множества A R m ;
C1 A – класс непрерывно дифференцируемых отображений,
Ck A – класс непрерывно k раз дифференцируемых отображений.
f x Ck A i 1, n f i x Ck A .
9

9.

Если все компоненты отображения дифференцируемы на некотором
множестве A , то на этом множестве определена векторная функция df x :
f1 x
dx1 x1
df x f x
dx f x
m n
x
1
Матрицу
f x
f1 x
xm dx1 df1 x
,
f n x dxm df m x
xm
x A.
называют матрицей Якоби. Если матрица Якоби
квадратная m n , то ее определитель называют определителем Якоби или
якобианом отображения и обозначают:
f1 ,
x1 ,
, fn
det f x .
, xn
Точку, в которой det f x 0 , обычно называют точкой вырождения.
10

10.

Теорема о дифференцировании композиции отображений.
Пусть f : A n , A m и g : B k , f A B . Пусть отображение f
дифференцируемо в точке x 0 A , а g дифференцируемо в точке y 0 f x 0 . Тогда
отображение h g f : A R k дифференцируема в точке x 0 , причем
h x 0 g f x 0 f x 0 g y 0 f x 0 .
Следствие. Если m n k , то из теоремы и правила вычисления определителя
произведения матриц получим следующее утверждение для якобианов:
h1 , , hm g1 , , g m f1 , , f m
.
x1 , , xm f1 , , f m x1 , , xm
Теорема о дифференцировании обратного отображения.
Пусть f : A
m
, A
m
, x 0 A и y 0 f x 0 . Если f C A , det f x 0 0 ,
1
то существует некоторое открытое множество Ox A , содержащее точку x 0 , и
некоторое открытое множество Oy , содержащее точку y 0 , такие, что:
1) отображение f : Ox Oy есть гомеоморфизм;
2) обратная к f функция g f 1 : Oy Ox такова, что g C Oy ;
1
3) y Oy g y f x
1
f g y
.
1
11

11.

Биективное отображение
f : A A1 ,
A1 f A
m
,
A
m
называется регулярным или диффеоморфизмом, если f C1 A и
f1 ,
якобиан
x1 ,
, fm
не обращается в нуль на A .
, xm
Свойства регулярного отображения
1) отображение f 1 : A1 A регулярно,
2) если D A , то внутренние точки множества D переходят во
внутренние точки множества f D , граничные точки D – в граничные
f D , и, следовательно, образ открытого множества – открытое
множество, образ замкнутого – замкнутое.
12