Касательная к окружности

1.

Г
О
Р
Д
И
Н
№
8
Касательная к окружности

2.

В окружности проведен диаметр АВ. Прямая,
проходящая через точку А, пересекает в точке
С касательную к окружности, проведенную в
точке В. Отрезок АС делится окружностью
пополам. Найдите угол ВАС.
∠ABC=90˚(свойство касательной)
∠ADB=90˚, т. к. опирается на
диаметр;
8.1
C
D
AD=DC (условие)
∆ABC-равнобедренный
∠BAC=45˚
A
φ
B

3.

Две прямые касаются окружности с центром О в
точках А и В и пересекаются в точке С. ∠АВО=40° 8.2
Найдите угол между этими прямыми.
∆AOB-равнобедренный⇒∠AOB=100˚
∠CAO=∠CBO=90˚
A
(свойство касательных)
С
φ
100˚ О
40˚
В 4-хугольнике ACBO
∠ACB=180˚−100˚= 80˚
B

4.

В большей из двух
концентрических
окружностей проведена
хорда, равная 32 и
касающаяся меньшей
окружности.
Найдите радиусы
окружностей, если
ширина кольца 8.
Радиус, ⊥-й хорде,
делит её пополам
r 8 r 16
2
2
ИЛИ
C
А
16
8.3
8
16
M
В
r
О
AM=16
2
D
OM ⊥ AB
(свойство касательной)
CM MD AM MB 8 2r 8 16
2
12; 20

5.

8.4 Две прямые, проходящие через точку М, лежащую
вне окружности с центром в точке О, касаются
окружности в точках А и В. Отрезок ОМ делится
окружностью пополам. В каком отношении
отрезок ОМ делится прямой АВ ?
ОP
=?
PМ
М
2a К
А
Р
a
a
В
О
ОP 1
=
PМ 3

6.

8.5 Из одной точки проведены к окружности две
касательные. Длина каждой из них равна 12, а
расстояние между точками касания равно 14,4.
Найдите радиус окружности.
7,2 3
В ABM : sin
12 5
4
7,2
cos sin
5
R
A
α
7,2 5
R
9
4
B
7,2
M
7,2
C
R
β
R
O

7.

8.6 Прямая,
проходящая через точку М,
удаленную от центра окружности радиуса
10 на расстояние, равное 26, касается
окружности в точке А. Найдите АМ.
AM 26 2 10 2
AM
А
26 10 26 10
М
26
AM 16 36 4 6 24
О

8.

8.7
Окружности радиусов R и r (R>r) касаются
некоторой прямой. Линия центров пересекает
эту прямую под углом 30˚. Найдите расстояние
между центрами окружностей.
O1
M
30
r
K
O2
O2
R
R
L
K
r
M 30
L
O1
2(R-r)
2(R+r)

9.

8.8 Из точки М проведены касательные МА и МВ к
окружности с центром О (А и В - точки касания).
Найдите радиус окружности, если
∠AMB=α, AB=a.
A
a 2
sin 90
2 R
α
M
a