Касательная к окружности

1.

Выполнила презентацию:
Учитель математики
Кузнецова Алла Анатольевна
МАОУ «СОШ с.Чапаево»
2019

2.

Взаимное расположение
прямой и окружности
B
d
r
d
d
A
r
a
r
r
A
d a
c
b
d b
d c
d – расстояние от центра окружности до прямой.
d>r
a - прямая
d=r
b - касательная
А – точка касания
d< r
c - секущая

3.

Назови: радиус, диаметр, хорду, касательную, секущую
S
F
Q
A
C
M
O
R
X
N
B
D
T
K

4.

Касательная к окружности
Определение. Прямая, имеющая с окружностью одну общую
точку, называется касательной.
О
r
A
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к
радиусу, проведённому в точку касания.
Дано: Окр.(О;r), р – касательная,
А – точка касания.
Доказать: р ОА.
Доказательство:
А – точка касания, О – центр окружности, значит, ОА – радиус.
р
Пусть касательная р не перпендикулярна ОА, тогда
радиус ОА является наклонной к прямой р.
Тогда перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р,
меньше наклонной ОА, т. е. расстояние от центра окружности
меньше радиуса.
Значит, прямая р и окружность будут иметь две общих точки, но это
противоречит условию: р – касательная, т. е. она имеет с окружностью одну
общую точку.
Следовательно, предположение, что р не перпендикулярна ОА неверно.
Значит, р ОА.

5.

Дано:
АВ – касательная,
ВС – диаметр.
С
А
В
Определи вид треугольника АВС.

6.

тест
1. Сколько касательных можно провести через данную точку
на окружности ?
а) одну;
б) две;
в) бесконечно много.
а
2. Сколько касательных можно провести через точку, не лежащую
. на окружности ?
а) одну;
б) две;
в) бесконечно много.
б

7.

тест
3. Сколько окружностей можно провести, касающихся данной
прямой ?
а) одну;
б) две;
в) бесконечно много.
в

8.

тест
4. Сколько окружностей можно провести, касающихся
данной прямой в данной точке ?
а) одну;
б) две;
в) бесконечно много.
в

9.

тест
5. Сколько окружностей данного радиуса можно провести,
касающихся данной прямой в данной точке ?
а) одну;
б) две;
в) бесконечно много.
б

10.

Решим задачи
1.
2.
C
O
r
Дано:
Окр.(О;3см),
МК – касательная,
ОМ = ОК = 5см.
O
A
Найти: МК.
b
D
Доказать: ОС = ОD.
M
A
K

11.

Важное свойство
A
С
Отрезки касательных к окружности, проведённые из
одной точки, равны и составляют равные углы с
прямой, проходящей через эту точку и центр
окружности.
r
О
В
r
Дано: Окр.(О; r), АВ и АС – касательные.
Доказать: АВ = АС,
ОАВ =
ОАС.
A
Дополнительные свойства:
С
1. АО – биссектриса ВАС.
К
r
О
r
В
2. ОА ВС.
3. СК = ВК.

12.

Решим задачу
С
A
Найти ВАС,
если ОА = 2r.
В
600

13.

Решим задачу
В
А
Дано:
АВ, АН, АС – касательные.
Сравнить отрезки АВ и АС.
Н
С
АВ = АС

14.

Решим задачу
K
O1
A
M
O
C
Доказать: АВ = СК, М є ОО1
B

15.

Решим задачу
М
А
О1
О
С
В
Е
Доказать: АМ = ВЕ, С є ОО1

16.

Решим задачу
A
В каком отношении
делит точка К
отрезок АВ ?
K
C
B
1:1

17.

Признак касательной
(теорема, обратная к свойству касательной)
Если прямая проходит через конец радиуса,
лежащий на окружности, и перпендикулярна
к этому радиусу, то она является касательной.
Дано: Окр.(О; r), ОА = r, АВ
ОА.
Доказать: АВ – касательная.
О
r
A
В
Доказательство:
По условию ОА = r, ОА АВ, значит,
расстояние от центра окружности равно радиусу,
и, следовательно, прямая и окружность имеют
только одну общую точку.
По определению касательной и будет прямая АВ.

18.

Реши задачу
А
К
С
М
О
В
Н
Доказать, что все стороны треугольника КНМ касаются окружности.