Статика. Условие равновесия материальной точки

1.

Статика
© Парфентьева Наталия Андреевна
Зав. Кафедрой общей и прикладной физики НИУ МГСУ, к.ф.-м.н.

2.

В разделе механики «Статика» изучаются условия равновесия тела или системы тел.
Состояние механической системы называется равновесным, если все точки системы
покоятся по отношению к выбранной системе отсчета.
Если система покоится относительно инерциальной системы отсчета, то такое
равновесие называется абсолютным, если система покоится относительно
неинерциальной системы отсчета, то равновесие – относительное.
Среди первых создателей теоретической статики был Архимед (ок. 287–212 до н.э.),
который разработал теорию рычага и сформулировал основной закон гидростатики.
Родоначальником современной статики стал голландец С. Стевин (1548-1620), который
в 1586 сформулировал закон сложения сил (правило параллелограмма), и применил его
в решении ряда задач.

3.

Условие равновесия материальной точки
Первое условие равновесия – равновесие материальной точки.
F 0
i
i
(1)

4.

Задача 1. При каком минимальном коэффициенте трения санки не будут скатываться с
горы. Угол у основания горы равен 30°.
Решение. Условие равновесия санок:
mg N Fтр 0
ОХ : mgsin Fтр 0
ОY : mgcos N 0
Fтр N mgcos
tg 0 ,58
Задача 2. На доске лежит брусок. Поднимаем один из концов доски. Как зависит сила
трения от угла наклона?
Fтр mgsin покой
Fтр mgcos скольжение

5.

Задача 2. Через блок перекинута нить, к одному из концов которой привязан груз
массой m.
Угол у основания наклонной плоскости, на которой лежит груз . Коэффициент
трения между поверхностями груза и плоскости равен . В каких пределах может
изменяться сила, удерживающая груз?
Решение.
Минимальном значении силы F = Т сила трения направлена вверх,
при максимальном сила трения направлена вниз.

6.

Условия равновесия груза (первый случай):
Т min Fтр – mgsinα 0 Т min mg sinα – μсosα
Условия равновесия груза (второй случай):
Т mа x – Fтр – mgsinα 0 Т max mg sinα + μсosα
Т min T Т mа x
Fmin F Fmа x

7.

Задача 3. Человек тянет за веревку, перекинутую через блок, и удерживает на ней
груз массой 20 кг. АВ = 3 м, h = 40 см. Определите силу, с которой веревка тянет
человека вверх.
Решение.
mg T0 0, mg T0
T1 T2 T0 0
T1cos T2cos 0 , T1sin T2sin mg 0
mg 4h 2 l 2
mg
T1 =
380Н
2sin
4h

8.

Момент силы.
Условие равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения
Момент силы – произведение силы на плечо.
M r F M Fd Fr sin F r
Плечо силы – это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия
силы (отрезок d).

9.

M 0
i
i
F2 d 2 – F1d1 – F3d3 0
(2)

10.

Параллельные и антипараллельные силы
Задача 4. На палочке уравновешены две гири массами 1 и 2 кг. Длина палочки 90 см.
Определите положение точки опоры О. Массой палочки пренебречь.
Решение.
N1 Fд1 , N 2 Fд2 ,
N1 m1 g ; N 2 m2 g Fд1 m1g ; Fд2 m2 g
M1 M 2 0
M 1 Fд1l1 против часовой стрелки ,
M 2 – Fд2l2 по часовой стрелке .
m1 gl1 m2 gl2
l1
m2
l2 , l1 l2 l ,
m1
l2
l m1
l m2
60 см, а l1
30 см
m1 m2
m1 m2

11.

Задача 5. Доска, имеющая неподвижную ось вращения О, опирается на тележку.
Угол между доской и тележкой α. Коэффициент трения равен μ. Определите силу
трения, действующую на доску, если тележка движется 1) влево, 2) вправо.
Решение.
1) mg (l / 2)sin Fтрl cos Nl sin 0, Fтр N
mg (l / 2)sin Fтрl cos
Fтр
mg sin
2( cos sin )
Fтр
l sin 0,

12.

2) mg (l / 2)sin Fтрlcos Nl sin 0,
mg (l / 2)sin Fтрl cos
Fтр
mg sin
2(sin cos )
Fтр
l sin 0,

13.

Условия равновесия свободного твердого тела
Задача 6. Лестница прислонена к стенке. При каком минимальном угле
наклона к поверхности пола она не будет падать? Коэффициент трения
между лестницей и стеной 1, между лестницей и полом 2.
Решение.
Fтр1 1 N1 , Fтр 2 2 N 2
mg N1 Fтр1 N 2 Fтр2 0
– N1l sin min – Fтр1l cos min mg
tgα min
Fтр1
N1
mg
2
l
cos min 0,
2

14.

N1 – Fтр2 0,
Fтр1 – mg N 2 0,
N1 2 N 2 ,
2 mg
1 N1 – mg N 2 0, N1
,
1 1 2
mg μ1μ 2 mg
1 μ1μ 2
2
1 μ1μ 2
tgα min
(1 μ1μ 2 )
,
μ 2 mg
2μ 2
α min = arctg
1 μ1μ 2
2μ 2

15.

Задача 7. К вертикальной гладкой стене в точке A на веревке длиной l подвешен шар
массой m. Какова сила натяжения веревки T и сила давления шара на стену Fд, если
его радиус равен R? Трением о стенку пренебречь.
Решение.
mg N T 0
На ось OX : N – T sin 0,
на ось OY : T cos – mg 0.

16.

l 2 2lR
R
sin α
, cos
,
l R
l R
mg l R
TR
N
, T
.
l R
l l 2R
N
mgR
l l 2R
Fд N , Fд
.
mgR
l l 2R
.

17.

Задача 8. К вертикальной стене на веревке подвесили шар, причем точка
подвеса находится на одной вертикали с центром тяжести. При каких значениях
коэффициента трения возможен такой подвес?
Решение.
mg N T Fтр 0.
–Fтр R NR 0, Fтр N ,
1.

18.

Задача 9. На нити длиной 1 м висит шар радиусом 5 см, опирающийся на
вертикальную стенку. Нить образует со стенкой угол 30 и касается шара в точке C.
Определить коэффициент трения шара об стенку.
Решение.
mg N T Fтр 0
N
sin α
mg T cos α Fтр 0
N T sin α 0 T
N
mg
cos α μN mg N
sin α
μ + ctgα
μ Nl sin α mgR cos α NR sin α 0
N μl sin α R sin α mgR cos α
cos 2 α
μ l sin α R cos α R
sin α
sin α
R
μ
0, 22
2
l sin α – R / 2 sin 2α

19.

Задача 10. Балка длиной 2 м закреплена в стене, как показано на рисунке.
A B = 0,5 м. На конце балки подвешен груз m = 100 кг, а масса балки 50 кг.
Найдите силы, действующие на балку в точках А и В.
Решение.
Mg FA FB T 0,
Mg mg FA – FB 0,
mg BD Mg BC FA A B 0,
m BD M BC
g 4000 H.
A B
FB m M g FA 5500 H.
FA

20.

Определение центра тяжести и центра масс
Центр тяжести – это точка приложения результирующей всех сил
тяжести, действующих на каждую частицу (элементарную массу) тела
при любом его положении.
Любое тело можно представить состоящим из множества частиц массой mi,
где i – номер частицы.
Центр масс – это точка твердого тела или системы тел, которая
движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе
тела или системы и на которую действует та же результирующая сила,
что и на твердое тело (систему тел).
Теорема о центре масс:
maцм Fi

21.

Положение центра масс всей системы или всего тела можно определить по формулам:
m1 x1 m2 x2 ...
xц.м.
m1 m2 ...
yц.м.
m1 y1 m2 y2 ...
m1 m2 ...
m x
i i
i
,
m
m y
i
i
i
,
m
mz
m z m z ...
i i
zц.м.
1 1
2 2
m1 m2 ...
i
m
.

22.

Задача об определении смещения плота.
xц.м.
Ml
2 M m
,
l
m l x M x
2
,
xц.м.
M m
, xцм
xц.м. xц.м.
ml
.
m M

23.

Центр тяжести симметричных тел
Центр тяжести треугольной пластины

24.

Задача 11. Определите центр тяжести четырех шаров массами 1 кг, 2 кг, 3 кг и 4 кг,
закрепленных на невесомом стержне. Расстояния между центрами шаров равны 30 см.
Решение.
m1 gxцт m2 g xцт – l – m3 g 2l – xцт – m4 g 3l – xцт
0 xцт xцм
2lm3 3lm4 m2l
m1 m2 m3 m4
Замечание
xцм
m2l m3 2l m4 3l
m1 m2 m3 m4
2l
2l

25.

Задача 12. Определите положение центра тяжести однородной плоской квадратной
пластины, со стороной 10 см, из которой вырезано круглое отверстие радиусом 2 см.
Центр отверстия находится на диагонали квадрата на расстоянии 3 см от центра
квадрата.
Решение.

26.

1 способ.
Рисунок, где mпл = ha2, mотв = h r2,
– плотность, h – толщина пластинки.
– (mпл – 2mотв ) xцт mотв (l – xцт ) 0
xцт
mотвl
mпл mотв
πr 2l
a 2 πr 2
2 способ.
mпл gxцт – mотв g ( xцт l ) 0
πr 2l
xцт
2
0, 43 см.
2
mпл mотв a πr
mотвl

27.

Типы равновесия тела
Положение равновесия называется безразличным, если при малом смещении тело
остается в новом положении.
Устойчивым положением равновесия называется положение, при малом отклонении
от которого тело возвращается в исходное положение под действием сил, действующих
на него.
Неустойчивым положением равновесия называется такое положение тела, при малом
отклонении от которого, оно будет и дальше от него отклоняться под действием сил,
что показано на рисунке.

28.

Положение равновесия устойчиво, если центр тяжести тела находится
ниже точки подвеса.
Устойчивое положение равновесия соответствует минимальному
значению потенциальной энергии.
kx 2
Eп mgx
,
2
Eп 0 mg kx x р
mg
.
k

29.

Задача 13. На доске стоит цилиндр высотой h и диаметром d (d = h). Доску начинают
медленно поднимать. Что произойдет раньше: цилиндр начнет скользить или он
опрокинется? Коэффициент трения между поверхностями цилиндра и доски равен 0,4.
Решение.
mg sin 1 μmg cos 1 tgα1
tgα 2 d / 2h 0,5
α2 > α1 → начнет скользить.

30.

Задача 14. Определите максимальную длину образующей цилиндра,
при которой он не упадет.
Решение.
tgα h / 2r
l h / sinα
1
1
sinα
2
1
2r
1 2
1
tg α
h
2r
l h 1
h
2

31.

Задача 15. Укладываются 4 кирпича один на другой таким образом, чтобы верхний
кирпич был максимально сдвинут относительно нижнего. Определите этот сдвиг.
Решение.
l
l
2mgx mg x 0 x
6
2
l l l 11
x l
2 4 6 12

32.

Задача 16. Прямой тонкий стержень длиной l помещен в полусферический резервуар
диаметром l. Определите угол, который образует стержень в положении равновесия.
Трением пренебречь.
Решение.
1 способ.
OE AO sin φ,
AO l cos φ
l
1
1
l cos φ , OE l cos φ sin φ.
2
2
2
1
(OE ) l sin 2 φ cos 2 φ cos φ 0,
2
1
1 33
2 cos 2 φ cos φ 1 0, cos φ
φ 32 .
2
8

33.

2 способ
l
N 2l cos φ mg cos φ 0,
2
N 2 N1 sin φ mg cos φ 0,
N1 cos φ mg sin φ,
1
sin φ
N 2 mg , N1 mg
.
2
cos φ
1
sin φ
mg mg
mg cos φ 0,
2
cos φ
1
2 cos 2 φ cos φ 1 0,
2
1 33
cos φ
φ 32 .
8

34.

Задача 17. Чтобы сдвинуть контейнер влево, к центру его правой стороны, перпендикулярно
ей, необходимо приложить силу F1=100Н, а чтобы сдвинуть его вправо, нужно приложить
к центру левой стороны, перпендикулярно ей, силу F2=150 Н (рис.). Найти массу контейнера.
Левые опоры, в отличие от правых, сделаны на роликах, обеспечивающих пренебрежимо
малое трение. Размеры опор малы. Контейнер считать однородным кубом.
Решение: Записывая моменты сил относительно точки А (рис.), получаем
F1 N1
F2 N 2
mga / 2 F1a / 2 N1a 0 mg / 2 F1 / 2 F1 / 0
N 2 a F1a / 2 mga / 2 0 F2 / F2 / 2 mg / 2 0
F1 F2 / F2 F1 / 2
2 F1 F2
F2 F1

35.

Спасибо за внимание