Теория вероятностей и математическая статистика. Практическое занятие

1.

Практическое занятие
по дисциплине
«Теория вероятностей и
математическая статистика»

2.

Классическое определение вероятности.
• Вероятностью события А называется отношение числа
• благоприятствующих этому событию исходов m
• к общему числу всех равновозможных несовместных исходов n,
m
• образующих полную группу:
Р( A )
n

3.

Элементы комбинаторики
Перестановками называются комбинации, состоящие из
одних и тех же n различных элементов и отличающиеся порядком
их следования.
Число перестановок из n различных элементов определяется
Рn n! , где n! 1 2 3 ... n , 0! 1 , 1! 1 .
по формуле:
Размещения – это комбинации, состоящие из m элементов,
выбранных из n различных элементов, различающихся как
составом, так и порядком следования элементов.
• Их число определятся по формуле:
n!
m
или
Аn
Аnm n n 1 ... n m 1
n m !
m

4.

Сочетания – это комбинации, состоящие из m элементов,
выбранных из n различных элементов, которые отличаются хотя бы
одним элементом. (т.е. составом).
При этом порядок следования элементов роли не играет.
Число сочетаний определяется по формуле:
С nm
n!
m ! n m !

5.

Пример. Найти число комбинаций, составленных из: а) двух цифр;
б) трех цифр.
1 способ) Так как имеем дело с перестановками, то а) n=2! , б) n=3!
2б) Видно, что первым может оказаться любое из трех заданных чисел, то
есть имеется 3 варианта расположения первого числа. Рассмотрим один из них.
Например, пусть выбрана единица. Тогда выбор следующего числа
ограничивается двумя числами (2 и 3). Наконец для третьего числа остается
только один вариант. В итоге общее число комбинаций будет равно
.
3б) Простой перебор
1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1.

6.

Пример. В лифт семиэтажного дома зашли три незнакомых друг
другу человека. Найти вероятность того, что пассажиры выйдут а) на
седьмом этаже (событие А) б) на одном этаже (событие В) в) на разных
этажах (событие С).
n 63 216
а) m=1,
1
P( A )
216
б) m=6,
6
1
P( B )
216 36
в)
m A63 6 5 4 120,
120 5
P( C )
.
216 9

7.

Пример 3. В коробке находятся 13 шаров: 5 черных и 8 синих. Какова
вероятность, что среди взятых наугад четырех шаров будет 2 синих и 2
черных?
13!
4
n C13
715
4!9!
8 7 6! 5 4 3!
2 2
m C8 C5
280
2!6!
2!3!
Пример. В партии готовой продукции, состоящей из 20 изделий, 4
бракованные. Найти вероятность того, что при случайном выборе
4-х изделий число бракованных и не бракованных изделий
окажется поровну.

8.

9.

Пример 2. Найти вероятность того, что, заполнив карточку спортлото «5
из 36», мы угадаем: а) 5 чисел (событие А); б) 4 числа (событие В); в) 3 числа
(событие С).

10.

а) m=1,
5
n C36
36! 36 35 34 33 32 31!
376992
5! 31!
5 4 3 2 1 31!
1
P( A)
2,65 10 6
376992
б)
1
2
3
4
m1 C54
5
6
7
8
5 4!
5
4! ( 5 4 )!
…
36

11.

12.

б)
m m1 m2 C C 5 31 155
4
5
1
m2 C31
P( B )
в)
2
m C53 C31
1
31
155
0,0004
376992
5!
31!
10 465 4650
3! 2! 2! 29!
4650
P(C )
0,012
376992

13.

Пример 4. Три станции независимо друг от друга передают по
одному сообщению. Вероятности приема этих сообщений
четвертой станцией равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти
вероятность того, что будет принято одно сообщение.
Пусть событие Аi – принято сообщение i-ой станции ( i 1,3 ).
Вероятности этих событий известны и равны Р(А1)=0,7; Р(А2)=0,8;
Р(А3)=0,9. "Неизвестное" событие – В (принято одно сообщение).
B А1 А2 А3 А1 A2 А3 А1 А2 A3
P( B ) P( А1 ) P( А2 ) P( А3 ) P( А1 ) P( A2 ) P( А3 )
P( А1 ) P( А2 ) P( A3 )
0,7 0,2 0,1 0,3 0,8 0,1 0,3 0,2 0,9 0,092.

14.

1
2
3
• Пример 5. Телевизионный сигнал последовательно передается
через три ретрансляционные станции. Вероятность того, сигнал
будет передан без искажений каждой станцией, равна 0,9. Найти
вероятность того, что сигнал пройдет по линии без искажений
• Аi – исправная работа i-той станции ( i 1,3 ). В – сигнал пройдет
по линии без искажений. По условию примера Р(Аi)=0,9 .
B A1 A2 A3
• P(B)=P(A1·A2·A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0,93=0,729.

15.

Пример 6. Вероятность прохождения сигнала через каждый
элемент равна 0,9. Найти вероятность того, что сигнал пройдет
через цепь, содержащую три параллельных элемента.
В А1 А2 А3
В A1 А2 А3
Р В P( А1 А2 А3 ) P( А1 ) P( А2 ) P( А3 ) 1 0,9 0,13 0,001
3
Р В 1 Р В 1 0 ,001 0,999

16.

Формула полной вероятности
Формулы Бейеса
Р A P ( H i ) P ( A H i )
n
i 1
P( H k ) P( A H k )
Р H k A n
k 1,n
P( H i ) P( A H i )
i 1
Пример 7. При передаче сообщений в двоичном коде сигналы "0" и "1"
встречаются в соотношении 3:2. Определить вероятность того, что
сигнал искажен, если из-за помех искажается в среднем 4% сигналов "0"
и 2% сигналов "1".
Соб. А - принятый сигнал искажен. Н1 передавался сигнал "0".
Обозначим эту гипотезу через. Н2 передавался сигнал "1".
P( H1 ) 3 / 5 0,6; P( H 2 ) 2 / 5 0,4. P( A H1 ) 0,04
P(A)=0,6 0,04+0,4
0,02=0,032.
P( A H 2 ) 0,02

17.

Пример 8. Известно, что 5% мужчин и 0,25% женщин страдают
дальтонизмом. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником.
Найти вероятность того, что это мужчина, если считать число
женщин и мужчин одинаковым.
Событие A – выбран дальтоник, гипотеза H1 – выбран мужчина,
гипотеза H2 – выбрана женщина.
1
1
Р Н1
Р Н 2
Р А Н1 0,05 Р А Н 2 0,0025
2
2
0,5 0,05
Р Н1 A
0,95
0,5 0,05 0,5 0,0025

18.

Формула Бернулли (p=const, q=1-p).
Pn(m) - вероятность того, что событие наступит m раз в n
опытах (n невелико)
n!
m
m
m
n m
C
Pn ( m ) Cn p q
n
m!(n m)!
Пример 9. Монета подбрасывается 5 раз подряд. Какова вероятность, что в результате 5 бросаний выпадут 3 герба?
3
2
5! 1 1 5
1 1
P5 (3) C35
3!2! 8 4 16
2 2
Пример 10. В среднем 90% студентов первого курса продолжают
дальнейшее обучение в ВУЗе. Какова вероятность того, что из 800
студентов первого курса перейдут на второй курс ровно 720
человек?
800!=?

19.

Локальная теорема Лапласа (Муавра-Лапласа)
1
1
Pn (k )
e
npq 2
x2
2
1
( x)
npq
k np
x
npq
n=800, k=720, p=0,9, q=0,1.
720 800 0,9
1
P800 (720)
800 0,9 0,1 800 0,9 0,1
1
(0) 0,1179 0,3989 0,047
72
( x)
1
e
2
x2
2

20.

. Интегральная теорема Лапласа
Р n k1 k k 2 Ф( x 2 ) Ф( x 2 )
k np
x1 1
npq
x2
k 2 np
npq
Ф( х)
x
1
e
2 0
z2
2 dz
Функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х)= - Ф(х).
Пример 11. Из партии, нестандартные изделия в которой
составляют 20%, отобрано 400 единиц. Определить вероятность
того, что среди отобранных окажется от 60 до 90 нестандартных
изделий.
n=400, k1=60, k2=90, p=0,2, q=0,8.
90 80
x2
1,25;
8
60 0,2 400
20
x1
2,5
8
400 0,2 0 ,8
P400 ( 60 k 90 ) Ф( 1,25 ) Ф( 2,5 ) Ф( 1,25 ) Ф( 2,5 )
0,3944 0,4938 0,8882.

21.

Пример 12. Кубик брошен три раза. Составить ряд распределения
случайной величины Х – числа выпадения цифры шесть при трех бросках.
Вычислить М(Х).
1
2
3
0
1 5 125
P3( 0 ) C30
216
6 6
0
3
75
1 5
P3( 1 ) C31
216
6 6
2
1
1
1 5
P3 (3) C33
216
6 6
Х
0
1
2
3
Р
125
216
75
216
15
216
1
216
15
1 5
P3 (2) C32
216
6 6
125
75
15
1 108 1
M( X ) 0
1
2
3
.
216
216
216
216 216 2

22.

Пример 13. Непрерывная случайная величина Х задана функцией
распределения:
, x 0,
0
Найти среднее квадратическое отклонение (X ) .
0 , x 0
f ( x ) F ' ( x ) 2 x , 0 x 1
0 , x 1
2
F ( x ) x ,0 x 1,
1
, x 1.
1
1
2x
M ( X ) x f ( x)dx 2 x dx
3
0
0
2
D( X ) M( X ) ( M( X )) x f ( x )dx xf ( x )dx
2
1
2
2
4 1
2
2
2 x
2 1 4 1
D( X ) x 2 2 xdx
2 0 3 2 9 18
3
0
1
( X ) D( X )
0,24
18
2
3 1
2
3
0

23.

Пример 14. Случайная величина X распределена по нормальному
закону с математическим ожиданием a=20 и средним
квадратическим отклонением σ=10. Найти вероятность того, что
она попадет в интервал от 10 до 40.
a
a
P( X ) Ф
Ф
40 20
10 20
P( 10 X 40 ) Ф
Ф
Ф 2 Ф 1
10
10
Ф 2 Ф 1 0,4772 0,3413 0,8185.

24.

Пример 15. В результате проверки точности прибора установлено,
что 80% ошибок не вышло за пределы ± 20 м. Известно, что
прибор не имеет систематических ошибок. Найти процент ошибок,
не выходящих за пределы ± 5 м, полагая, что ошибки распределены
по нормальному закону.
P X 2Ф
20
2Ф 0,8
20
Ф
0, 4
По таблице значений функции Лапласа (см. приложение 2)
находим
20
20
5 1,28
1,28
P X 5 2Ф
2Ф(0,32).
1, 28
Ф 0,32 0,1255
20
P X 5 0,251