Свойства высот и ортоцентра треугольника

1.

Свойства высот и ортоцентра треугольника
D
∆MKB∾∆ABC
KM
k cos
AC
B
K
B
∆MKD∾∆ADC
M
KM
k cos
AC
cos cos
C
∆MKB∾∆ABC
KM
k cos
AC
M
M
K
A
C
A
C
B
A
K
A
A
K
O
C
H
L
B
∆AHB∾∆LOK
k 2
H
K
A
C
L
B
O
Расстояние от
вершины ∆-ка до
его ортоцентра в
два раза больше
расстояния от
центра описанной
окружности до
стороны,
противолежащей
этой вершине.
AH 2 OL
BH 2 OK
G
E
D
B
AF⊥DE
O
C
F
О- центр описанной вокруг ∆-ка
АВС окружности ,
D, E – основания высот.
AF-диаметр окружности .

2.

E, F, D- основания высот
A
∆AFE∾∆ABC
∆BFD∾∆ABC
∆CDE∾∆ABC
E
F
A
K
∠A=∠1=∠2
∠B=∠3=∠4
∠C=∠5=∠6
D
B
D
E
C
L
B
H
F
∆ABC-остроугольный
A
∠E+∠A=180˚=∠H+∠A
G
∠E=∠H
F
B
H
D
E
C
HD=DE
M
∆EDF∾∆KLM
C

3.

Свойства
высот
и
ортоцентра
треугольника

4.

B
∆MKB∾∆ABC
KM
k cos
AC
M
K
A
C

5.

D
K
B
∆MKD∾∆ADC
M
cos cos
C
A
KM
k cos cos
AC

6.

C
M
B
A
∆MBK∾∆ABC
K
KM
k cos
AC

7.

A
∆AHB∾∆LOK
k 2
K
O
AH 2 OL
BH 2 OK
H
C
L
B
Расстояние от вершины ∆-ка до его
ортоцентра в два раза больше расстояния
от центра описанной окружности до
стороны, противолежащей этой вершине.

8.

H
∆AHB∾∆LOK
K
A
L
B
O
C
k 2
AH 2 OL
BH 2 OK
Расстояние от вершины ∆-ка до его
ортоцентра в два раза больше расстояния
от центра описанной окружности до
стороны, противолежащей этой вершине.

9.

О- центр
описанной вокруг
∆-ка АВС
окружности ,
D, E – основания
высот.
AF-диаметр
окружности
A
G
E
D
B
O
C
F
AF⊥DE

10.

E, F, D- основания высот
A
F
∆AFE∾∆ABC
∆BFD∾∆ABC
∆CDE∾∆ABC
E
C
D
B
∠A=∠1=∠2
∠B=∠3=∠4
∠C=∠5=∠6

11.

∆ABC-остроугольный
∠E+∠A=180˚=∠H+∠A
A
G
∠E=∠H
F
HD=DE
H
B
D
E
C

12.

A
L
K
∆EDF∾∆KLM
D
E
B
H
F
M
C