Свойства прямоугольного треугольника. Задачи

1.

2.

А
Треугольник – это геометрическая фигура,
состоящая из трёх точек, не лежащих на одной
прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки.
Если один из углов треугольника прямой,
то треугольник называется прямоугольным.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая
против прямого угла, называется гипотенузой,
а две другие – катетами.
С
В

3.

Свойства прямоугольного
треугольника
A
α+β=
α
β
С
B
0
90

4.

A
1
AC AB
2
300
C
B

5.

Медиана отсекает равнобедренные
треугольники
A
CM = AM = BM = r
r
M
C
B

6.

Признаки равенства
прямоугольных треугольников
1.Если катеты одного
прямоугольного треугольника равны
катетам другого, то эти треугольники
равны.
E
B
BC ED
AC DF
C
A
D
F

7.

2.Если катет и прилежащий к нему
острый угол одного
прямоугольного треугольника
соответственно равны катету и
прилежащему к нему острому углу
другого , то эти треугольники
равны.
B
C
E
A
D
A F
BC ED
F

8.

3. Если гипотенуза и острый угол
одного прямоугольного
треугольника соответственно
равны гипотенузе и острому углу
другого, то эти треугольники
равны.
BA EF
B
C
A
E
A F
D
F

9.

4.Если гипотенуза и катет одного
прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе
и катету другого, то эти
треугольники равны
B
C
E
A
D
BA EF
BС ED
F

10.

11.

Квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
с a b
2
c
a
b
2
2
c a b
2
2

12.

1.Синусом острого угла в прямоугольном
треугольнике называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе.
A
BC
sin A
AB
C
B

13.

2.Косинусом острого угла в
прямоугольном треугольнике
называется отношение прилежащего
катета к гипотенузе
A
AC
cos A
AB
C
B

14.

3.Тангенсом острого угла в прямоугольном
треугольнике называется отношение
противолежащего катета к прилежащему
A
C
BC
tgA
AC
B

15.

4.Котангенсом острого угла в
прямоугольном треугольнике
называется отношение прилежащего
катета к противолежащему.
A
C
AC
ctgA
BC
B

16.

00
300 450 600 900
sin
0
1
2
cos
1
tg
0
3
2
1
3
ctg
-
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
0
1
3
-
1
1
3
0

17.

Задачи по готовым чертежам
В
А
В
370
?
?
С
Ответ:53
В
А
?
700
D
Ответ:50
С
300
А
С
Ответ:8
В
С
?
?
А
Ответ:30;60
?
8,4 см
В
1200
С
4 см
А
D Ответ:8

18.

1.В прямоугольном треугольнике АВС, угол С
равен 900 ,АВ=55, cos B=0.8.Найдите АС.
Решение
А
1) cos B
ВС
АВ
BC
55
CB 0.8 * 55
0,8
С
В
CB 44
2) AB 2 AC 2 CB 2 ( по т.Пифагора)
552 AC 2 44 2
AC 2 552 44 2
AC 2 (55 44)(55 44)
AC 2 11* 99 11*11* 9 112 * 9
Ответ:33
AC 11* 3 33

19.

2.Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см. и
42 см.Найдите радиусы описанной и вписанной
окружностей.
Решение
B
AC * BC 40 * 42
840см 2
2
2
2) АВ 2 АС 2 BC 2 (по т.Пифагора)
1) S ABC
AB 1600 1764 3364 58см
42
C
40
A
BC * AC * AB
3) S
4R
BC * AC * AB 40 * 42 * 58
R
29см
4S
4 * 840
4) S p * r
AB BC AC 40 42 58 140
70
2
2
2
S 840
r
12см
p 70
p
Ответ:29;12

20.

3.В прямоугольном треугольнике ABC,
угол А= 900, АВ=20 см, высота AD=12 см.
Найти АС и cosC?
Решение
1) ABD
B
BD 2 AB 2 AD 2
BD
400 144
256
BD 16
2) ABC DBA
D
20
A
C
BD
AB
AB
CB
16
20
20
CB
20 * 20
CB
25
16
3) ABC
AC 2 BC 2 AB 2
AC
625 400
225
AC 15
Ответ:15; 0,6
4) cos C
15
3
0. 6
25
5