В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, в вершина C принадлежит стороне FK. Найти сторону ромба, если AF=21 см, AK=24 см.

2.73M

Category: $mathematics$ mathematics

Задачи на подобие треугольника

1. Запомнить ситуацию

2. ПОДОБИЕ

№2
C
A
D
ACB∞
ADC∞
B
CDB
AC= AB∙AD
Катет есть среднее пропорциональное
гипотенузы и проекции этого катета на
гипотенузу
CD= AD∙DB
Высота прямоугольного треугольника,
опущенная из прямого угла есть
среднее пропорциональное проекций
катетов на гипотенузу

6. Доказательство 1

Пусть АВС – исходный прямоугольный
треугольник с вершиной прямого угла С.
CD - высота.
Тогда
ВС = АВ * sin A BD = BC * sin A = AB * sin²A
Таким образом AB * BD = BC²
№2
A
C
D
B

7. Доказательство 2

№2
A
C
D
B
Высота в прямоугольном треугольнике есть среднее
ADC∞ CDB
пропорциональное между отрезкамиACB∞
гипотенузы.
Рассмотрим треугольники АСD и ВСD.
Они
оба
подобны
Катет
есть
среднее
пропорциональ
гипотенузы
и проекции этого кате
AB∙AD между
треугольнику АВС, а значит AC=
подобны
собой
гипотенузу
Запишем отношения сторон
ВD/СD=СD/АD Высота прямоугольного треугольн
CD= AD∙DB
СD2=АD*ВD.
опущенная из прямого угла есть
среднее пропорциональное проекци
катетов на гипотенузу

8.

9. 10. ПОДОБИЕ

11.

№3
A
D
C
E
F
ACB∞ ADE∞ EFB
B

12. 13. В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, в вершина C принадлежит стороне FK. Найти сторону ромба, если AF=21 см, AK=24 см.

Решение.
Доказываем подобие треугольников AFK и BFC. Из трех соотношений
выбираем те, в которых нам что-либо известно:
Примем сторону ромба за x:
Тогда BF=AF-AB=21-x см. Отсюда
Разделив обе части уравнения на 3, получаем:
Ответ: 11,2 см.

14.

№4
C
E
D
A
B
ACB∞
ECD

15.

16.

17.

B
№5
D
E
F
A
C
ADF CEF

18.

B
№6
D
E
F
A
AEB
C
ADF CEF CDB

19.

• Файл 35 - углы в окружности
• Файл 36 – вписанные многоугольники

20.

B
№7
D
E
F
A
C
H
AFC
DFE

21.

B
№8
D
E
F
H
ABC EBD
BE
k=
= cos B
AB
C

22.

№9
Две пересекающиеся
хорды образуют
AED CEB
подобные треугольники
C
B
AE DE AD
= =
CE BE CB
E
A
AE∙BE=DE∙CE
Произведения отрезков двух
пересекающихся хорд равны
D

23.

№10
Теорема о касательной и секущей,
выходящих из одной точки
BA- касательная
BC- секущая
A
B
D
BAD
BCA
C
BA2=BD∙BC
Квадрат отрезка касательной равен
произведению отрезков секущей,
выходящих из одной точки

24. 25. Окружность

B
E
D
A
F
О
P
EBF=2AB
C

26.

A
C
B
О1
Т
О2

27.

A
C
B
О1
Т
О2

28.

2
(R+r) -(R-r)2 B
A
r
r
О1
r
Т
C
R-r
R
О2

29.

D
A
B
C

30.

При непересечении окружностей у них имеется четыре общих касательных

31. Биссектриса

биссектрисы углов параллелограмма и трапеции, прилежащих к боковой
стороне, пересекаются под прямым углом
D
G
Р
H
F
K
B
E
C
A

32.

биссектриса угла параллелограмма и трапеции, отсекает равнобедренный треугольник
K
D
F
G
B
K
L
E
C
A

33.

B
C
О
A
D

34. Вписанная окружность

B
b
b
C
a
О
c
A
c
AB=p-c
BC=p-a
AC=p-b
a

35. Дополнительные построения трапеция

a- меньшее основание, b- большее основание
В
A
С
P
К
ВК AD
СP≠ AD
КP=a
D