Взаимное расположение прямой и окружности

1. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

В
О
А
26.03.24

2. Прямая и окружность Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность?

О

3. Элементы окружности

B
D
Окружность (О, r)
О
A
r
r – радиус
С
АВ – хорда
CD - диаметр

4. Взаимное расположение прямой и окружности Первый случай:

А
Н
В
d
d<r
r
О
две общие точки
АВ – секущая
d – расстояние от центра окружности до прямой

5. Взаимное расположение прямой и окружности Второй случай:

d=r
одна общая точка
Н
d
r
О
d – расстояние от центра окружности до прямой

6. Взаимное расположение прямой и окружности Третий случай:

Взаимное расположение
прямой и окружности
H Третий случай:
d>r
d
r
О
не имеют общих точек
d – расстояние от центра окружности до прямой

7. Взаимное расположение прямой и окружности

H
А
Н
В
d
d
r
О
d<r
две общие
точки
Если расстояние от
центра окружности
до прямой меньше
радиуса
окружности, то
прямая и
окружность имеют
две общие точки.
d
r
О
d=r
одна общая
точка
Если расстояние
от центра
окружности до
прямой равно
радиусу
окружности, то
прямая и
окружность
имеют только одну
общую точку.
r
О
d>r
не имеют
общих точек
Если расстояние от
центра окружности до
прямой больше радиуса
окружности, то прямая
и окружность не имеют
общих точек.

8. Касательная к окружности

Определение: Прямая
m, имеющая с
окружностью только
одну общую точку M,
называется
касательной к
окружности, а их
общая точка
называется точкой
касания прямой и
окружности.
M
m
d=r
O

9. Задание Каково взаимное расположение прямой и окружности, если:

• r = 3,9 см, d = 2см • пересекаются (2 общие точки)
• r = 7 см, d = 6,8 см • пересекаются (2 общие точки)
• r = 4,12 м, d = 4,2 м • общих точек нет
• r = 8 см, d = 0,6 дм • пересекаются (2 общие точки)
• r = 5 см, d = 50 мм • касаются (1 общая точка)

10. Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

m – касательная к
окружности с
центром О
М – точка касания
OM=r - радиус
m OM
M
m
O

11. Свойство касательных, проходящих через одну точку:

▼ По свойству касательной
Отрезки касательных к
1 90o , 2 90o.
окружности, проведенные
из одной точки, равны и
∆АВО, ∆АСО–прямоугольные
составляют равные углы
∆АВО=∆АСО–по гипотенузе
с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности. и катету:
В
1
О
3
4
2
С
А
ОА – общая,
ОВ=ОС – радиусы
АВ=АС
и
3 4
▲

12. Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она

является касательной.
M
окружность с центром О
m
радиуса OM
m – прямая, которая проходит
через точку М
и
m OM
m – касательная
O