Взаимное расположение прямой и окружности

1. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

2. Как вы думаете, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность?

О

3. Сначала вспомним как задаётся окружность

B
D
Окружность (О, r)
О
A
r
r – радиус
С
АВ – хорда
CD - диаметр

4. Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в первом случае:

Первый случай:
А
Н
В
d
d<r
r
О
две общие точки
АВ – секущая
d – расстояние от центра окружности до прямой

5. Второй случай:

d=r
одна общая точка
АВ – касательная
А
Н
В
d
r
О
d – расстояние от центра окружности до прямой

6. Третий случай:

H
d>r
d
r
О
не имеют общих точек
d – расстояние от центра окружности до прямой

7. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность?

H
А
Н
В
d
d
r
О
d<r
две общие
точки
Если расстояние от
центра окружности
до прямой меньше
радиуса
окружности, то
прямая и
окружность имеют
две общие точки.
d
r
О
d=r
одна общая
точка
Если расстояние
от центра
окружности до
прямой равно
радиусу
окружности, то
прямая и
окружность
имеют только одну
общую точку.
r
О
d>r
не имеют
общих точек
Если расстояние от
центра окружности до
прямой больше радиуса
окружности, то прямая
и окружность не имеют
общих точек.

8. Касательная к окружности

Определение: Прямая,
имеющая с
окружностью только
одну общую точку,
называется
касательной к
окружности, а их
общая точка
называется точкой
касания прямой и
окружности.
M
m
s=r
O

9. Выясните взаимное расположение прямой и окружности, если:

• r = 15 см, s = 11см
• r = 6 см, s = 5,2 см
• r = 3,2 м, s = 4,7 м
• r = 7 см, s = 0,5 дм
• r = 4 см, s = 40 мм
• прямая – секущая
• прямая – секущая
• общих точек нет
• прямая – секущая
• прямая - касательная

10. Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

m – касательная к
окружности с
центром О
М – точка касания
OM - радиус
m OM
M
m
O

11. Свойство касательных, проходящих через одну точку:

▼ По свойству касательной
Отрезки касательных к
1 90o , 2 90o.
окружности, проведенные
из одной точки, равны и
∆АВО, ∆АСО–прямоугольные
составляют равные углы
∆АВО=∆АСО–по гипотенузе
с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности.
и катету:
В
1
О
3
4
2
С
А
ОА – общая,
ОВ=ОС – радиусы
АВ=АС и
3 4
▲

12. Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она

является
касательной.
M
окружность с центром О
радиуса OM
m – прямая, которая проходит
через точку М
и
m OM
m – касательная
m
O

13.

Решение задач

14.

№ 1.
Дано: Окр. О, r , АВ касательная
ОА 2см, r 1,5см
Найти: АВ
B
?
1,5
О
2
А

15.

№ 2.
Дано:
Найти:
Окр. О, r АB, АС- касательные
ВАС
B
4,5
?
О
К
С
А

16.

№ 3.
Дано:
Найти:
АВ
Окружность
АВ касательная
B
?
12
600
О
А

17.

Домашнее задание

18.

Дано:
Найти:
Окружность
АВ касательная, АО 4см
ОВ
А
B
С
О

19.

Дано:
Найти:
Окружность
АВ касательная
радиус
B
А
О

20.

Окружность, R 6
АВ касательная, ОА ОВ
ОА
Дано:
Найти:
А
16
О
B