Вероятность и статистика

1.

Вероятность
и статистика
2 курс

2.

Введение
В разных школьных предметах вы изучали
величины — длины и расстояния, массу и
температуру, говорили о ценах и стоимости. В
начальной школе обычно рассматривают
величины, имеющие постоянные значения.
Позже, изучая математику, вы познакомились с
переменными величинами, значения которых
зависят друг от друга. Для описания таких
величин используются функции.

3.

Введение
Изучая статистику, мы узнали, что большинство
величин в окружающем мире подвержены
случайной изменчивости: на их значения
влияет множество известных или неизвестных
факторов. Многие величины, которые принято
считать постоянными, на самом деле изменчивы
— их значения во многом случайны. Важный
пример — напряжение в электрической сети.

4.

Введение
Другие величины носят заведомо случайный
характер, как, например, число успехов в серии
испытаний Бернулли. С другой стороны, говоря
в 7 классе о случайной изменчивости, мы
отмечали, что часто изменчивость подчиняется
закономерностям,
проявляющимся
при
большом числе измерений или наблюдений.
Важная задача теории вероятностей —
изучение случайных величин и их числовых
характеристик.

5.

Изменчивые величины, возникающие при проведении
случайного опыта, мы будем называть случайными
величинами.
Определение
Случайная величина — это
величина, значение которой
зависит
от
того,
каким
элементарным
событием
закончился случайный опыт.

6.

Значения случайной величины могут соответствовать
разным элементарным событиям.
Поэтому случайная величина является величиной,
значение которой зависит от случая. В ходе случайного
опыта или наблюдения случайная величина принимает
числовые значения.
Чтобы не путать случайные величины и переменные,
будем обозначать случайные величины большими
латинскими буквами (например, Х). Приведём несколько
примеров случайных величин.

7.

примеры
• Рост наудачу выбранного человека —
случайная величина.
• Предположим, некто кидает игральную
кость. Случайной величиной X будем
считать число выпавших очков. Поскольку
кубик имеет 6 граней и число очков на
каждой грани — целое число от 1 до 6,
случайная величина X принимает значения
из множества {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

8.

примеры
• Лотерея. Участник лотереи покупает билет.
Цена билета фиксирована, но выигрыш —
случайная величина.
• Время безотказной службы телевизора или
стиральной
машины
—
случайная
величина.
Свойства
этой
случайной
величины
важны,
например,
при
установлении гарантийного срока на новую
технику.

9.

примеры
• Число бракованных деталей в контрольной
партии — случайная величина.
• Напряжение в бытовой электрической сети
— случайная величина, значения которой
колеблются около 220 вольт.
• Монету бросают до первого выпадения
орла. Число бросаний — случайная
величина, значением которой может быть
любое натуральное число.

10.

приведите свои
примеры
случайных
величин

11.

Случайная величина возникает как результат случайного
опыта. Предположим, что некоторая случайная величина X
может принимать несколько значений. Чтобы описать
случайную величину, нужно указать её возможные
значения и их вероятности.
Определение
Распределением вероятностей
или просто распределением
случайной величины называют
закон,
который
каждому
значению случайной величины
ставит
в
соответствие
вероятность того, что величина
примет это значение.

12.

Если, например, величина X может принять значение 5,
то нужно указать вероятность события «X равно 5». Если
величина X может принять значение –4, то нужно
указать вероятность события «X равно –4». Такие
события принято обозначать (X = 5), (X = – 4) и т. д.
Для многих случайных величин указывают вероятности
не отдельных значений, а числовых промежутков.
Распределение вероятностей можно задать таблицей,
графиком, диаграммой, формулами или даже словесным
описанием.
Рассмотрим
на
примерах
то,
как
распределение задается таблицей.

13.

пример 1
Случайная величина Y равна числу очков, выпавших при
однократном бросании игрального кубика. Распределение удобно
задать таблицей.
Значение
Вероятность
1
1
6
2
1
6
3
1
6
4
1
6
5
1
6
6
1
6
В этом примере вероятности всех шести значений одинаковые.
Вероятность распределена поровну между шестью возможными
значениями. Чему равна вероятность события (3 ⩽ Y ⩽ 5)?

14.

пример 1
Это событие состоит в том, что при одном броске игральной кости
выпало от 3 до 5 очков. Вероятность этого равна сумме трёх
вероятностей:
1
1
1
3 1
P(3 ⩽ Y ⩽ 5) = + + = =
6
6
6
6 2

15.

СВОЙСТВО
Сумма всех вероятностей в
распределении
равна
единице.
так как вероятность представляет собой сумму вероятностей всех
элементарных событий, которые представляют все возможные
значения случайной величины.

16.

ЗАКРЕПЛЕНИЕ
ИЗУЧЕННОГО
МАТЕРИАЛА

17.

№1
Известно, что в классе учащихся
— 32 чел. Из них девочек — 16
чел. Какое количество значений
может
принимать
случайная
величина
«число
учеников,
отсутствующих сегодня в классе»?
Случайная величина — это величина, значение которой зависит от
того, каким элементарным событием закончился данный случайный
опыт.
Значения, которые может принимать величина — число учеников,
отсутствующих сегодня в классе — варьируется от 0 до 32.
Правильный ответ: 33.

18.

Задай с помощью таблицы
распределение
вероятностей
случайной величины X, равной
числу орлов, выпавших при двух
бросках монеты.
№2
Значение
Вероятность
0,47
0,25
0
1
2
0,25
0,55
0,1
0,5

19.

При двух бросках монеты возможны четыре события —
ОО, ОР, РО, РР, где О — это орёл, а Р — решка.
Посчитаем соответствующие вероятности по формуле
классической вероятности.
1
Орёл выпал 0 раз: = 0,25.
4
2
Орёл выпал 1 раз: = 0,5.
4
1
Орёл выпал 2 раза: = 0,25.
4

20.

№3
Распределение
случайной
величины «сумма очков при
бросании двух игральных костей»
представлено в таблице. Заполни
недостающие ячейки.
Значение
2 3 4 5 6
Вероятность 1 2 3 4 5
36 36 36 36 36
0,167
0,382
0,063
7
8
9
5 4
36 36
0,083
10 11 12
2 1
36 36
0,124

21.

1
2
3
4
5
6
Используем
таблицу.
Определим
количество
элементарных
событий,
благоприятствующих
событию
«сумма
очков
равна 7».
1
2
3
4
5
6
Всего в этом опыте 36 равновозможных элементарных
событий. Поэтому вероятность события «сумма очков
равна 7» составляет: 6
≈ 0,167.
36

22.

1
2
3
4
5
6
Используем
таблицу.
Определим
количество
элементарных
событий,
благоприятствующих
событию
«сумма
очков
равна 10».
1
2
3
4
5
6
Всего в этом опыте 36 равновозможных элементарных
событий. Поэтому вероятность события «сумма очков
равна 10» составляет: 3
≈ 0,083.
36

23.

По таблице, которая предоставлена,
можно определить вероятности для
различных
значений
случайной
величины. Однако, среди данных
вероятностей есть одно значение,
которое неизвестно. Найди её.
№4
Значение
Вероятность
-2
0,03
-1
0,09
0
1
0,17
2
0,29
Сумма всех вероятностей равна единице, как гласит основное
свойство распределения. Для нахождения неизвестной вероятности
применим данное свойство. Тогда: 1−(0,03+0,09+0,17+0,29) = 0,42.
Правильный ответ: 0,42.

24.

Распределение
вероятностей
случайной величины X задано
таблицей.
Найди вероятность события «X>1».
№5
Значение Х
Вероятность
0
0,11
0,5
0,12
1
0,16
1,5
0,16
2
0,45
Для того чтобы найти вероятность события «X>1», суммируем
вероятности, которые подходят под заданное условие:
P(X>1) = P(X=1,5) + P(X=2) = 0,16 + 0,45 = 0,61.
Правильный ответ: 0,61.