Расстояние от точки до прямой

1.

2.

Алгоритм «Расстояние от точки до прямой»
Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина
перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямую. Пусть надо найти
расстояние от точки К до прямой АВ:
1. Связать прямоугольную систему координат с данным геометрическим телом;
2. Определить координаты точек К, А, В;
3. Вычислить длины сторон треугольника КАВ, применяя формулу
расстояния между точками;
4. Используя теорему косинусов, вычислить значение cos A или cos B ;
5. Опираясь на основное тригонометрическое тождество, найти sin A или sin B ;
6. КН является катетом как прямоугольного треугольника КАН, так и
прямоугольного треугольника КВН. Вычислить КН.
Этим же алгоритмом можно пользоваться для решения задач по теме
«Расстояние между двумя параллельными прямыми», так как расстояние между
двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих
прямых до другой прямой.

3.

Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина
отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстояние от точки M (x0 ,y0 ,z0) до плоскости α, заданной
уравнением ax + by + cz + d = 0, можно вычислить по формуле
Алгоритм «Расстояние от точки М до плоскости α» можно использовать
при решении задач по темам: «Расстояние между прямой и
параллельной ей плоскостью», «Расстояние между двумя
параллельными плоскостями». Так как расстояние между прямой и
параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой
прямой до плоскости, а расстояние между двумя параллельными
плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и
другой плоскостью.

4.

Алгоритм «Расстояние от точки М до плоскости α»
1. Связать прямоугольную систему координат с данным
геометрическим телом.
2. Определить координаты точки М, не лежащей в плоскости α и трех
точек: А, В, C плоскости α, не лежащих на одной прямой.
3. Вывести уравнение плоскости α. Для этого нужно взять в общем
виде уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0, в котором a, b, c, d –
неизвестные числа. Подставив в него координаты точек
, получить систему уравнений:
Решив её, определить значения коэффициентов a, b, c, d. Расстояние от
точки M (x0, y0, z0) до плоскости , заданной уравнением ax + by + cz + d =
0, вычислить по формуле

5.

1. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со
сторонами AB =
, AD =
точки A до плоскости A1DB.
. Высота параллелепипеда AA1 =
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
. Найдите расстояние от

6.

Запишем уравнение плоскости A1DB. По очереди подставляем
координаты точек A1, D и B в уравнение AХ + Bу + Cz + D = 0
С=-
D, А= -
D, B= -
D.
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

7.

2. В основании пирамиды SABCD лежит ромб со стороной 2 и острым углом в
60˚. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды и равно 4.
Найдите расстояние от середины Н ребра SD и серединой М ребра ВС.
Поместим пирамиду в прямоугольную
систему координат, как показано на
рисунке.
Найдём координаты точки Н как
координаты середины отрезка SD:
S(0; 0; 4), D(0; 2; 0).

8.

Теперь находим расстояние между точками, заданными своими
координатами:

9.

3. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 точки Е и К – середины ребер АА1 и
СD соответственно, а точка М расположена на диагонали В1D1 так, что
В1М = 2МD1. Найдите расстояние между точками Q и L, где Q – середина
отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML=2LK.
Введём декартову систему
координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0),
В1(0;0;1), D1(1;1;1). Чтобы вычислить
координаты т. М, воспользуемся
формулой для нахождения координат
точки, которая делит отрезок B1D1 в
отношении λ=2:1:

10.

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка:

11.

4.
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки C1 до
плоскости AB1C.
Рассмотрим прямоугольную систему
координат с началом в точке С
С(0;0;0), В1(1;0;1), А(1;1;0), С1(0;0;1).
Составим уравнение плоскости.
Проходящей через точки А, С и В1. Для
этого подставим координаты этих точек в
общее уравнение плоскости Ax + By +Cz +
D = 0. Получим
систему
или
Отсюда находим уравнение Ax –Ay – Az =
0; x – y – z = 0
По формуле находим расстояние от С1 до
плоскости AB1C:
d=

12.

Типичные ошибки при решении задания 13
Типичные ошибки участников экзамена связаны в первую очередь с неверным
пониманием логики построения доказательства. Например, доказательство пункта
а задания 13 часто начинается так:
«Предположим, что треугольник прямоугольный, тогда ...» - в случае, когда нужно
доказать, что треугольник прямоугольный;
«Пусть прямые параллельны...» - в случае, когда нужно доказать параллельность
прямых. И т. д.
Многие участники экзамена неверно применяют признаки:
→ параллельности прямой и плоскости, параллельности плоскостей,
перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности плоскостей,
скрещивающихся прямых;
→ демонстрируют непонимание взаимосвязи элементов геометрической
конструкции.
При выполнении второго пункта участники:
→ допускают ошибки в геометрических формулах (например, в формулах для
вычисления объемов);
→ не считают нужным доказывать неочевидные геометрические утверждения,
используемые в решение.
Кроме этого участники экзамена допускают большое количество ошибок при
построении чертежа.