Процесс построения моделей. Модель Лотки - Вольтерра

1.

Процесс построения моделей.
1.
Конструирование модели начинается
со словесно-смыслового описания объекта
или явления. Помимо сведений общего
характера о природе объекта и целях его
исследования эта стадия может содержать
также некоторые предположения
28.01.2024
Математическое моделирование
1

2.

Процесс построения моделей.
2. Следующий этап — завершение
идеализации объекта. Отбрасываются все
факторы и эффекты, которые
представляются не самыми существенными
для его поведения.
28.01.2024
Математическое моделирование
2

3.

Процесс построения моделей.
3. Выбор или формулировка закона
(вариационного принципа, аналогии и т.
п.), которому подчиняется объект, и его
записи в математической форме. При
небходимости используются
дополнительные сведения об объекте,
также записываемые математически
Следует иметь в виду, что даже для
простых объектов выбор соответствующего
закона отнюдь не тривиальная задача
28.01.2024
Математическое моделирование
3

4.

4.
Завершает формулировку модели ее
«оснащение». Например, необходимо задать
сведения о начальном состоянии объекта
(скорость ракеты и ее массу в момент t = 0)
или иные его без знания
которых невозможно определить поведение
объекта. И, наконец, формулируется цель
исследования модели (найти закон
преломления света, достичь понимания
закономерностей изменения популяции,
определить требования к конструкции
ракеты, запускающей спутник, и т. д.).
28.01.2024
Математическое моделирование
4

5.

5. Построенная модель изучается всеми
доступными исследователю методами, в том числе
со взаимной проверкой различных подходов.
В отличие от рассмотренных простейших
случаев, большинство моделей не
поддаются чисто теоретическому анализу, и
поэтому необходимо широко использовать
вычислительные методы.
Это обстоятельство особенно важно при изучении
нелинейных объектов, так как их качественное
поведение заранее, как правило, неизвестно.
28.01.2024
Математическое моделирование
5

6.

6. В результате исследования модели не только
достигается поставленная цель, но и должна быть
установлена всеми возможными способами ее
адекватность — соответствие объекту и
сформулированным предположениям (сравнением с
практикой, сопоставлением с другими подходами) .
Неадекватная модель может дать результат, сколь
угодно отличающийся и должна быть либо
отброшена, либо соответствующим образом
модифицирована.
28.01.2024
Математическое моделирование
6

7.

А. Лотки (1925)
28.01.2024
Хищник-жертва
7

8.

Рассмотрим математическую модель
совместного существования двух биологических
видов (популяций) типа "хищник - жертва",
называемую моделью Вольтерра - Лотки.
Пусть есть два биологических вида,
которые совместно обитают в изолированной
среде.
.
28.01.2024
Хищник-жертва
8

9.

Среда стационарна и обеспечивает в
неограниченном количестве всем
необходимым для жизни один из видов,
который будем называть жертвой(sacrifice
['sækrɪfaɪs]).
Другой вид – хищник (predator ['predətə])
также находится в стационарных условиях, но
питается лишь особями первого вида.
Хищником мы будем считать всякий
организм, поедающий другой организм и не
состоящий в симбиотических отношениях с
ним.
28.01.2024
Хищник-жертва
9

10.

Хищником мы будем считать всякий
организм, поедающий другой организм и не
состоящий в симбиотических отношениях с
ним.
28.01.2024
Хищник-жертва
10

11.

28.01.2024
Хищник-жертва
11

12.

мы пренебрегаем тем что,
• что хищник может питаться не только данным
видом или данной популяцией жертвы,
• популяцию жертвы может выедать не только
«наш» хищник, но и другие
• на численность популяции жертвы может
оказывать влияние доступность для нее кормового
ресурса,
• на численность обеих популяций –
внутривидовая конкуренция внутри популяции
хищника и внутри популяции жертвы.
28.01.2024
Хищник-жертва
12

13.

мы пренебрегаем тем что,
• на численность обеих популяций влияет –
внутривидовая конкуренция внутри
популяции хищника и внутри популяции
жертвы.
• численность и популяции жертвы, и
популяции хищника стремится расти по
экспоненциальному закону, в соответствии с
тем, как это описывал Мальтус.
28.01.2024
Хищник-жертва
13

14.

Удельная скорость роста rs - это величина, которая
характеризует, во сколько раз увеличивается
численность популяции за единицу времени. Тогда
прирост популяции жертвы за единицу времени, то
есть скорость ее роста должна бы выражаться
формулой Мальтуса
Ns / t = rsNs
или для бесконечного малого времени прироста
dNs / dt = rsNs
28.01.2024
Хищник-жертва
14

15.

.
28.01.2024
Хищник-жертва
15

16.

Хищник контактирует с жертвой, в результате
чего с какой-то вероятностью после каждого
такого контакта популяция жертвы
уменьшается на одну особь.
Количество возможных контактов
обуславливается численностью обоих
популяций, а интенсивность уменьшения
численности жертвы зависит, еще и от того с
какой вероятностью жертва будет съедена в
результате контакта.
28.01.2024
Хищник-жертва
16

17.

Убыль популяции жертвы под
действием популяции хищника
описывается выражением
psNsNp,
где Ns – численность жертвы,
Np – численность хищника, а
ps –константа, связывающая численность
хищников и смертность жертв.
28.01.2024
Хищник-жертва
17

18.

Общее изменение численности популяции
за единицу времени будет складываться из двух
составляющих – прироста за счет рождаемости
и убыли за счет выедания. Итоговая формула:
dNs / dt = rsNs – psNsNp,
Прирост численности популяции
хищников, также будет зависеть от числа
контактов между хищниками и жертвами.
Будем считать, что плодовитость хищника
зависит от частоты его встреч с жертвами.
28.01.2024
Хищник-жертва
18

19.

Гибель молоди хищника от голода
мало чем отличается от сниженной
плодовитости. Отсюда мы приходим к
следующему выражению прироста
численности популяции хищника:
ppNsNp,
где Ns – численность жертвы,
Np – численность хищника, а
pp –константа, связывающая рождаемость
хищника и численность жертвы.
.
28.01.2024
Хищник-жертва
19

20.

Естественная убыль популяции хищника будет
описываться как
dpNp,
а следовательно, общее изменение
численности популяции хищника будет
описываться формулой:
dNp / dt = ppNsNp – dpNp,
где Ns – численность жертвы, Np – численность
хищника, pp –константа, связывающая
численность жертвы и рождаемость хищника и
dp – удельная смертность популяции хищника.
.
28.01.2024
Хищник-жертва
20

21.

dNs / dt = rsNs – psNsNp,
dNp / dt = ppNsNp – dpNp,
где Ns – численность жертвы,
Np – численность хищника (predator),
ps –константа, связывающая численность хищников и
смертность жертв.
pp –константа, связывающая численность жертвы и
рождаемость хищника и
dp – удельная смертность популяции хищника,
rs – удельная скорость роста популяции жертв.
28.01.2024
Хищник-жертва
21

22.

Модель Мальтуса,
или модель экспоненциального рота (1798)
является одной из простейших моделей
популяций, которая описывает численность
популяции при отсутствии сдерживающих
факторов (болезни, хищники, конкурирующие
виды, ограниченность питания).
28.01.2024
Хищник-жертва
22

23.

Рассмотрим популяцию больших
размеров, численность которой
измеряется миллионами и более.
Тогда можно предполагать, что
каждый индивидуум имеет равные шансы
родить и равный шанс умереть в течение
определенного промежутка времени.
Таким образом, имеет смысл говорить о
коэффициенте рождаемости и о
коэффициенте смертности на одного
индивидуума в единицу времени.
28.01.2024
Хищник-жертва
23

24.

В основу модели Мальтуса положено простое
утверждение, что скорость изменения численности
популяции N′ (t) пропорциональна ее текущей
численности N(t) в момент времени t, с
коэффициентом пропорциональности, равным
разности коэффициентов рождаемости α(t) ≥ 0 и
смертности β(t) ≥ 0
N′ (t) = (α(t) - β(t)) N[t]. (*)
Моделью Мальтуса называют задачу Коши для
уравнения (*) при заданном начальном условии в
момент времени t = t0
N′ (t) = (α(t) - β(t)) N[t], N(t0) = N0.
28.01.2024
Хищник-жертва
24