Формула полной вероятности. Независимые события

1. Формула полной вероятности. Независимые события.

2. Формула Байеса

P( Xk ) P( A X k )
Р( X k / A)
P( X 1) P( A X 1) ... P( Xn) P( A X n)
P( Xk ) P( A X k )
P( A)
– P(Xk) — априорная вероятность гипотезы A;
– P(Xk | A) — вероятность гипотезы Xk при наступлении
события A;
– P(A | Xk) — вероятность наступления события A при
истинности гипотезы Xk;
– P(A) — полная вероятность наступления события A.

3. Теорема Байеса, Формула Байеса

— одна из основных теорем элементарной
теории вероятностей, которая определяет
вероятность того, что произошло какое-либо
событие (гипотеза), имея на руках лишь
косвенные тому подтверждения (данные),
которые могут быть неточны.
• Полученную по формуле вероятность можно
далее уточнять, принимая во внимание данные
новых наблюдений.
• Психологические эксперименты показали, что
люди при оценках вероятности игнорируют
различие априорных вероятностей (ошибка
базовой оценки), и потому правильные
результаты, получаемые по теореме Байеса,
могут очень отличаться от ожидаемых.

4. Формула Байеса

истолковывается так: если существуют
попарно исключающие друг друга
гипотезы Х1, Х2, ..., Хn, охватывающие
всевозможные случаи, и если известны
вероятности события А при каждой из
этих гипотез, то по формуле Байеса
можно найти вероятность
справедливости гипотезы Xk при
условии, что произошло событие А.

5. Задача 1

Имеются три одинаковых по виду ящика:
• в I - 20 белых шаров,
• во II - 10 белых и 10 черных шаров,
• в III - 20 черных шаров.
Из выбранного наугад ящика вынули белый
шар. Вычислить вероятность того, что шар
вынут из а) I ящика; б) II-го; в) III ящика.
?
20
10 10
20

6. Задача 2

Поступающие в магазин часы
изготовляются на трех заводах.
I–й завод производит 40% продукции,
II–й - 45%, III-й - 15%. В продукции
I-го завода 20% часов спешат,
II-го завода 30% часов спешат,
III-го - 10% часов спешат. Купленные
наудачу часы не спешат.
Какова вероятность того, что часы
произведены на а) I заводе, б) II заводе, в)
III заводе.

7. Задача 3

Партия транзисторов, среди которых 10%
дефектных, поступила на проверку.
При проверке с вероятностью 0.95
обнаруживается дефект (если он есть), и
существует вероятность 0.03, что
исправный транзистор будет признан
дефектным.
Какова вероятность, что случайно
выбранный из партии транзистор будет
признан дефектным? Какова вероятность
того, что на самом деле транзистор
исправен?