Формула полной вероятности. Формулы Байеса

1. Занятие 3 Формула полной вероятности. Формулы Байеса Повторение испытаний в неизменных условиях и расчет вероятностей успеха

(неудачи)

2. Вопрос 1 Формула полной вероятности. Формулы Байеса

3. Формула полной вероятности

Пусть H 1 , H 2 ,..., H n – попарно несовместные события,
причем какое-то из них в результате опыта обязательно
произойдет, т.е. H i H j Ø i j и
n
Hi
- достоверное событие.
i 1
Известны априорные (доопытные) вероятности P ( H i ) 0 ,
i 1, n .
Пусть событие А может произойти совместно только с
одним из событий H 1 , H 2 ,..., H n , причем известны условные
вероятности события А: P ( А | H i ) 0 , i 1, n .
n
Тогда P( A) P( H i ) P( А | H i ).
i 1
События H 1 , H 2 ,..., H n называют гипотезами.
3

4. Пример на формулу полной вероятности

Три завода производят однотипные изделия, причем первый
завод производит 20% всей продукции, второй – 30%, третий – 50%.
Доля брака в продукции этих заводов составляет 5%, 2% и 1%
соответственно. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие
из продукции всех трех заводов окажется бракованным (событие A)?
Пусть H i - {выбранное изделие изготовлено на i-ом заводе}, i=1,
2, 3. События H i , i=1, 2, 3, попарно несовместные события, причем
какое-то из них в результате опыта обязательно произойдет. По
условию известны вероятности гипотез: P( H 1 ) 0,2 , P ( H 2 ) 0,3 ,
P ( H 3 ) 0,5 , а также условные вероятности события А:
P( А | H 1 ) 0,05 , P( А | H 2 ) 0,02 , P( А | H 3 ) 0,01 .
Тогда по формуле полной вероятности получаем:
3
P ( A) P ( H i ) P ( А | H i ) 0,2 0,05 0,3 0,02 0,5 0,01 0,021.
i 1
4

5. Формулы Байеса

Пусть после проведения эксперимента стало известно,
что событие А произошло. Необходимо вычислить
апостериорные
(послеопытные)
вероятности
гипотез
P( H i | A) . Это позволит ответить на вопрос, какая гипотеза
сопутствовала появлению события А? Формулы вычисления
этих вероятностей называются формулами Байеса:
P( H i ) P( A | H i )
,
P( H i | A)
P( A)
n
где P ( A) P ( H i ) P ( А | H i ).
i 1
5

6. Пример на формулы Байеса

Продолжая предыдущий пример, предположим, что
выбранное изделие оказалось бракованным. Определить
вероятности того, что оно произведено на первом, втором,
третьем заводе.
По формуле Байеса получаем:
P( H 1 ) P( A | H 1 ) 0,2 0,05
P( H 1 | A)
0,476 ;
P( A)
0,021
P( H 2 ) P( A | H 2 ) 0,3 0,02
P( H 2 | A)
0,286 ;
P( A)
0,021
P ( H 1 ) P ( A | H 3 ) 0,5 0,01
P ( H 3 | A)
0,238 .
P ( A)
0,021
6

7. Задача 1

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет
из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного
револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10
револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене
муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху.
Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение
Пусть событие А – Джон не попал в муху. Вероятность наступления
события А зависит от того, из какого револьвера стрелял Джон. Поэтому
выдвинем гипотезы:
H 1 - Джон для стрельбы выбрал пристрелянный револьвер;
H 2 - Джон для стрельбы выбрал непристрелянный револьвер.
Вероятности гипотез можно найти по определению, получаем:
4
6
P ( H 1 ) 0,4 , P( H 2 ) 0,6 . Условные вероятности промаха составляют:
10
10
P ( А | H 1 ) 1 0,9 0,1 , P( А | H 2 ) 1 0,2 0,8 . Тогда по формуле полной
вероятности получаем:
P ( A) P ( H 1 ) P ( А | H 1 ) P ( H 2 ) P ( А | H 2 ) 0,4 0,1 0,6 0,8 0,52.
7
Ответ: Джон промахнется с вероятностью 0,52.

8. Задача 2

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц
из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20%
яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите
вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого
хозяйства.
Решение
Пусть событие А – куплено яйцо высшей категории. Вероятность
события А известна по условию P( A) 0,35 в тоже время она зависит от того, в
каком домашнем хозяйстве оно изготовлено. Поэтому выдвинем гипотезы:
H 1 - яйцо изготовлено первым хозяйством;
H 2 - яйцо изготовлено вторым хозяйством.
Вероятности гипотез не известны. Обозначим P( H 1 ) х , тогда
P( H 2 ) 1 х . Условные вероятности даны по условию: P ( А | H 1 ) 0,4 ,
P( А | H 2 ) 0,2 . Тогда по формуле полной вероятности получаем:
P ( A) P ( H 1 ) P ( А | H 1 ) P ( H 2 ) P ( А | H 2 ) х 0,4 (1 х) 0,2 0,35 ;
0,2 х 0,15 ;
х 0,75 .
Ответ: вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы,
8
окажется из первого хозяйства, равна 0,75.

9. Вопрос 2 Повторение испытаний в неизменных условиях и расчет вероятностей успеха (неудачи)

10. Демонстрационный пример

Рассмотрим эксперимент: три стрелка независимо друг от друга
стреляют по мишени 1 раз. Вероятность попадания в мишень каждого из
них одинаковая и равна 0,7. Найдем вероятность того, что мишень будет
поражена ровно 2 раза.
ПЭС= , , , , , , , , где «+» на iом месте означает попадание i-го стрелка в цель; «–» - промах.
Так как стрелки стреляют независимо друг от друга, то события
«попадание в цель первого», «попадание в цель второго» и «попадание в
цель третьего стрелка» являются независимыми событиями. Тогда
Р( ) 0,7 0,7 0,7 0,343 . Вероятности остальных элементарных
событий рассчитываются аналогично:
Р ( ) 0,7 0,7 0,3 0,147 ; Р( ) 0,7 0,3 0,7 0,147 ;
Р( ) 0,7 0,7 0,3 0,147 ; Р( ) 0,7 0,3 0,3 0,063 ;
Р( ) 0,3 0,7 0,3 0,063 ; Р( ) 0,3 0,3 0,7 0,063 ;
Р ( ) 0,3 0,3 0,3 0,027 .
10

11. Продолжение демонстрационного примера

Событию А – «попадание двух стрелков из трех стрелявших»
благоприятствуют три исхода: А , , . Отметим, что этой
задаче исходы не являются равновозможными. Поэтому вероятность
события А найдем, используя формулу сложения вероятностей
несовместных событий:
Р( А) Р( ) Р( ) Р( ) 0,147 0,147 0,147 3 0,147 0,441.
Проанализируем эту формулу. Вероятность 0,147 получена по
формуле p k (1 p ) n k , где n – количество стрелков, p – вероятность
попадания одного стрелка, k – интересующее количество попаданий.
Множитель 3 – это количество способов, которыми можно расставить k
«плюсов» на n местах (порядок не имеет значение), в нашем случае это
3!
k
2
C n C3
3.
2!(3 2)!
Получили формулу Бернулли: P( А) C nk p k (1 p ) n k .
11

12. Повторные испытания. Схема Бернулли

Повторные испытания (последовательность испытаний) –
это последовательное проведение n раз одного и того же опыта
или одновременное проведение n одинаковых опытов.
Схемой
испытаний
Бернулли
называется
последовательность испытаний, обладающая тремя свойствами:
1) каждое испытание завершается одним из двух исходов,
условно называемых «успехом» (событие А) или «неудачей»
(событие А );
2) испытания независимы, т.е. вероятность исхода каждого из них
не зависит от того, какие исходы имели другие испытания;
3) вероятности «успеха» p и «неудачи» q=1-p одинаковы во всех
испытаниях.
12

13. Формула Бернулли

При рассмотрении схемы испытаний Бернулли
основной задачей является нахождение вероятности
события Ak , состоящего в том, что в n испытаниях
«успех» наступит ровно k раз, k 0, n . Вероятность
этого события определяется по формуле Бернулли:
Pn (k ) C nk p k q n k , k 0, n .
13

14. Задача 3

Что вероятнее выиграть у равносильного противника-шахматиста:
две партии из четырех или три из шести? Ничьи по внимание не
принимаются.
Решение
Имеем схему Бернулли. Повторные испытания – несколько партий в
шахматы с одним и тем же противником. Каждое партия заканчивается
либо выигрышем игрока («успех») или проигрышем («неудача»).
Испытания независимы. Вероятности «успеха» p 0,5 и «неудачи»
q 1 p 0,5 одинаковы во всех партиях.
Для ответа на вопрос необходимо сравнить две вероятности:
4!
P4 (2) C 42 0,5 2 0,5 2
0,5 4 0,375 ;
2! 2!
6!
3
3
3
P6 (3) C6 0,5 0,5
0,56 0,3125 .
3! 3!
Так как P4 (2) P6 (3) , то вероятность выиграть две партии из четырех
14
выше, чем три партии из шести.

15. Задача 4

Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали
равна 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных
деталей среди 5 отобранных. Каково наиболее вероятное число бракованных
деталей среди 5 отобранных.
Решение
Имеем схему Бернулли. Повторные испытания – изготовление 5 деталей
на одном и том же автоматическом станке (выбор 5 деталей их большой
партии). Каждая деталь может быть бракованной («успех») или годной
(«неудача»). Испытания независимы. Вероятности «успеха» p 0,2 и
«неудачи» q 0,8 одинаковы по всех деталей.
Среди выбранных 5 деталей бракованных может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5
деталей. Для нахождения вероятностей перечисленного количества «успехов» в
5 испытаниях воспользуемся формулой Бернулли:
P5 (0) C50 0,2 0 0,85 0,32768 ; P5 (1) C51 0,21 0,8 4 0,4096 ;
P5 (2) C52 0,2 2 0,83 0,2048 ; P5 (3) C53 0,2 3 0,8 2 0,0512 ;
P5 (4) C54 0,2 4 0,81 0,0064 ; P5 (5) C55 0,2 5 0,80 0,00032 .
Наиболее вероятное число бракованных деталей равно единице.
15

16. Наивероятнейшее число успехов

Выведем формулу для нахождения наивероятнейшего числа
успехов в n независимых испытаниях. Для нахождения k 0 составим
систему неравенств:
Pn (k 0 ) Pn (k 0 1);
Pn (k 0 ) Pn (k 0 1).
Решая первое неравенство системы, получаем:
n!
n!
p k0 q n k0
p k0 1q n k0 1 ;
k 0 !(n k 0 )!
(k 0 1)!(n k 0 1)!
1
1
q
p;
(n k 0 )
(k 0 1)
(k 0 1)q (n k 0 ) p ; k 0 ( p q ) np q ; k 0 np q .
Решая второе неравенство системы, получаем: k 0 np p .
Таким образом, np q k 0 np p .
16

17. Задача 5

Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы
наивероятнейшее число выпадение тройки было равно 10?
Решение
Имеем схему Бернулли. Повторные испытания – подбрасывание
игральной кости n раз. Каждое подбрасывание может закончиться
«успехом» (выпала тройка) или «неудачей» (не выпала тройка).
1
Испытания независимы. Вероятности «успеха» p
и «неудачи»
6
5
q одинаковы во всех испытаниях.
6
Известно наивероятнейшее число успехов k 0 10 . Количество
испытаний n найдем из неравенства:
1 5
1 1
n 10 n или n 5 60 n 1 59 n 65 .
6 6
6 6
Таким образом, при количестве испытаний от 59 до 65
включительно, наивероятнейшее число выпадения тройки будет равно
17
10.

18.

Следующее занятие школы-семинара на
тему: «Решение оптимизационных задач»
Лектор: к.э.н.
Раменская Алина Владимировна
Дату и время можно уточнить по тел.
89128432428 или на нашей странице
https://vk.com/abiturient_fef_pm
18