Формула полной вероятности и формула Байеса

1.

Формула полной
вероятности и
формула Байеса

2.

Теорема
Если событие А может произойти только
вместе с одной из гипотез Н1, Н2…Нn,
образующих полную группу попарно
несовместных событий, то вероятность
события А
n
P ( A) P ( H i ) PH i ( A)
i 1
Формула полной вероятности

3.

Пример 1
В цехе работают 20 станков.
Из них 10 марки А, 6 марки В, и 4 марки
С.
Вероятности того, что деталь будет без
брака для этих станков соответственно
равны 0,9, 0,8 и 0,7.
Какова вероятность того, что наугад
выбранная деталь будет браком?

4.

Решение
А - выбранная деталь будет с браком
Н1 - деталь обработана на станке марки А
Н2 - деталь обработана на станке марки В
Н3 - деталь обработана на станке марки С

5.

Р(Н1) = 10/20 = ½=0,5
Р(Н2) = 6/20 = 3/10 = 0,3
Р(Н3) = 4/20 = 1/5 = 0,2
Условные вероятности
PН1(А) = 1 – 0,9 = 0,1
PН2(А) = 1 – 0,8 = 0,2
PН3(А) = 1 – 0,7 = 0,3

6.

По формуле полной вероятности
Р(А) = Р(Н1)·PН1(А) +
+ Р(Н2) ·PН2(А) +
+ Р(Н3) ·PН3(А) =
= 0,5·0,1 + 0,3·0,2 + 0,2·0,3 =
= 0,05 + 0,06 + 0,06 = 0,17
Ответ: 0,17

7.

Теорема
Если событие А может произойти только
вместе с одной из гипотез Н1, Н2…Нn,
образующих полную группу попарно
несовместных событий, то вероятность
гипотез после испытания, когда событие
А уже имело место
P( H i ) PH i ( A)
PA ( H i ) n
P( H ) P ( A)
i 1
i
Hi
Формула Байеса

8.

Пример 2
В цехе работают 20 станков.
Из них 10 марки А, 6 марки В, и 4 марки
С. Вероятность того, что деталь будет
без брака для этих станков
соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7.
Наугад выбрали деталь. Она оказалась с
браком.
Какова вероятность того, что она была
изготовлена на станке марки В?

9.

Пример
Р(Н2) = 0,3
PН2(А) = 0,2
Р(А) = 0,17
По формуле Байеса
РA(Н2) = Р(Н2) · РН2(А) / Р(A) =
= 0,3· 0,2 / 0,17 = 0,06 / 0,17 =
= 0,35

10.

Пример 3
Предприятие, производящее компьютеры,
получает одинаковые комплектующие детали
от трех поставщиков. Первый поставляет 50 %
всех комплектующих деталей, второй — 20 %,
третий — 30 % деталей.
Известно, что качество поставляемых деталей
разное, и в продукции первого поставщика
процент брака составляет 4 %, второго — 5 %,
третьего — 2 %.
Определить вероятность того, что деталь,
выбранная наудачу из всех полученных, будет
бракованной.

11.

Решение
A — выбранная деталь бракована
Hi — выбранная деталь получена от i-го поставщика,
i =1, 2, 3
P(H1) = 0.5;
P(H2) = 0.2;
P(H3) = 0.3
P(A|H1) = 0.04;
P(A|H2) = 0.05;
P(A|H3) = 0.02
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1) · P(A|H1) + P(H2) · P(A|H2) + P(H3) · P(A|H3)
= 0.5 · 0.04 + 0.2 · 0.05 + 0.3 · 0.02=0.036
Ответ:0.036.

12.

Пример 4
Три барабана с лотереями: в 1-ом 50
билетов, из которых два выигрышных;
во 2-ом 100 билетов – 4 выигрышных; в
3-ем 300 билетов – 5 выигрышных.
Изымают 1 билет – выигрышный. Из
какого барабана менее вероятно этот
билет?

13.

Решение
P(Hi) = 1/3;
P(A‫׀‬H1) = 2/50=1/25;
P(A‫׀‬H2) = 4/100=1/25;
P(A‫׀‬H3) = 5/300=1/60;
P(A) =
1 1
1
1 1 29 29
3 25 25 60 3 300 900
P(H1‫׀‬A) =
1 / 25 1 / 3 1 900 12
29 / 900 75 29 29
P(H2‫׀‬A) = 12/29
P(H3‫׀‬A)= 5/29
Ответ: менее вероятно, что билет из 3 барабана