Урок 9. Формула полной вероятности

1. Урок 9.

Формула полной вероятности

2.

Требуется вычислить
вероятность события, которое
может произойти с одним из
несовместных событий,
образующих полную группу.

3. Теорема (формула полной вероятности)

Пусть события В1,В2,…,Вn образуют полную
группу событий и при наступлении каждого
из них, например Вi , событие А может
наступить с некоторой условной
вероятностью Р(А/Вi), тогда вероятность
наступления события А равна сумме
произведений вероятности каждого
события из полной группы на
соответствующую условную вероятность
события А.
Р(А)=Р(В1)Р(А/В1)+Р(В2)Р(А/В2)+…+Р(Вn)Р(А/Вn)

4. Задачи.

На трех станках различной марки
изготавливается определенная деталь.
Производительность первого станка за
смену 40 деталей, второго – 35, третьего – 25.
Установлено, что 2%,3% и 5% продукции этих
станков соответственно имеют скрытые
дефекты. В конце смены взята одна деталь.
Какова вероятность, что она имеет дефект?
А – деталь имеет дефект;
В1 – деталь изготовлена на первом станке;
В2 – деталь изготовлена на втором станке;
В3 – деталь изготовлена на третьем станке.
1.

5. Р(А)=Р(В1)Р(А/В1)+Р(В2)Р(А/В2)+Р(В3)Р(А/В3)

Р(В1)=
Р(А/В1)=
Р(А/В2)=
Р(А/В3)=
Р(В2)=
Р(В3)=
Р(А)=

6. Задача 2.

Была проведена контрольная работа в трех
группах. В первой группе, где 30 студентов,
оказалось 8 работ, выполненных на «5», во
торой, где 25 студентов – 6 работ на «5», в
третьей, где 27 студентов – 9 работ на «5».
Найти вероятность того, что взятая случайно
работа выполнена на «5».

7. Задача 3.

На склад поступили детали с трех станков. На
первом изготовлено 40% всех деталей, на
втором – 35%, на третьем – 25%. Причем на
первом 90% деталей 1-го сорта, на втором –
80%, на третьем – 70%. Какова вероятность,
что взятая наугад деталь не 1-го сорта?

8. При выводе формулы полной вероятности предполагается, что событие А, вероятность которого следовало найти, произойдет с одним из событий В

При выводе формулы полной вероятности предполагается, что
событие А, вероятность которого следовало найти, произойдет с
одним из событий Вi, образующих полную группу, причем
вероятности событий Вi были известны.
Пусть событие А уже наступило.
Как изменятся при этом условии вероятности событий
Вi ?
Формула Байеса
Так как событие А и Вi совместны, то по теореме
умножения:
Р( А Вi ) Р ( А) Р ( Вi / А) Р ( Вi ) Р ( A / Bi ) ,
Р( Вi ) Р( A / Bi )
отсюда Р( Вi / А)
Р ( A)

9. Задача 4.

Электронный прибор содержит две микросхемы. Вероятность
выхода из строя первой в течении достаточно длительного
времени – 0,2, второй – 0,1. Известно, что прибор вышел из
строя. Какова вероятность, что вышла из строя 1-я
микросхема?
А – из строя вышел прибор;
В1 – не вышли из строя обе микросхемы;
В2 – отказала первая;
В3 – отказала вторая;
В4 – отказали обе.
Р(В1)=0,8*0,9=0,72
Р(А/В1)=0
Р(В2)=0,2*0,9=0,18
Р(А/В2)=1
Р(В3)=0,8*0,1=0,08
Р(А/В3)=1
Р(В4)=0,2*0,1=0,02
Р(А/В4)=1
Р( В2 / А)
9 / 14
Р( В2 ) Р( А / В2 )
0,18 1
Р( А)
0,18 1 0,02 1 0,08 *1

10. Задачи 5,6.

В первом ящике 8 белых и 6 черных шаров, а
во втором – 10 белых и 4 черных. Наугад
выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый
шар – черный. Какова вероятность, что он взят
из первого ящика?
В урну, содержащую3 шара, положили белый
шар, после чего вынули один. Какова
вероятность, что вынутый шар окажется
белым, если все возможные предположения о
цвете уже имеющихся шаров равновозможны?

11. Формула Бернулли

Если при серии испытаний событие А либо
произойдет, либо нет с одинаковой
вероятностью, то вероятность, что из n
испытаний событие А произойдет m раз можно
посчитать по формуле
Pn (m) C p q
m
n
m
n m

12. Задача 7.

Вероятность попадания в цель
спортсмена – 0,8. Спортсмен произвел 5
выстрелов. Найти вероятность, что он
попадет более трех раз.