Неравенства второй степени с одной переменной

1. 01.12.2017 г.

Классная работа
1

2.

Математику нельзя изучать,
наблюдая,
как это делает сосед!
Айвен Нивен

3.

у=ах²+bх+с
а>0
D=0
а>0
D<0
у
а<0
D>0
а>0
D>0
х
0
а<0
D=0
а<0
D<0

4. Задача

Катер с пасажирами должен совершить рейс между
двумя пристанями туда и назад, преодолев
расстояние не более чем за 3 часа. Какой должна
быть скорость катера, если скорость течения реки
равна 5 км/ч, расстояние между пристанями 28 км и
остановка на пристане длилась 40 мин?
4

5. Проблема

Не умеем решать неравенства
вида
аx²+вx+c>0
ax²+bx+c<0
ах²+bх+с≥0
ах²+bх+с≤0
5

6.

Неравенства
второй степени
с одной переменной

7.

Определение (Учебник с.87)
Неравенства вида аx²+вx+c>0 и ax²+bx+c<0,
где х – переменная,
a,b,c – некоторые числа, и а ≠ 0,
называют неравенствами второй степени с
одной переменной.
7

8. Проблема Вопрос:

Как решить неравенство
второй степени с одной переменной ?
8

9.

Решение неравенств вида
ах²+bх+с>0
ах²+bх+с<0
ах²+bх+с≥0
ах²+bх+с≤0
это нахождение промежутков,
в которых функция у = ах²+bх+с
принимает
положительные или
отрицательные
значения.

10. Разберём на примерах

10

11. Решим неравенство х²-х-6<0

Решим неравенство х²-х-6<0
1. Введём функцию у = х² - х – 6.
Графиком функции является парабола,
ветви которой направлены вверх.
2. Найдём нули функции решив уравнение
х² - х – 6 = 0.
х = -2, х = 3.
3. Построим схематически параболу.
у
-2
3
4. Определим промежуток, где функция
принимает отрицательные значения (-2;3).
5. Множеством решений неравенства является промежуток (-2;3).
Ответ : (-2; 3).
11
х

12.

у = х2 – х – 6
у
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2
-1
о
№1.
х2 – х – 6 > 0
( ; 2) (3; )
№2.
х2 – х – 6 0
( ; 2] [3; )
-1
-2
1
-3
-4
-5
-6
2
3 4
5
6
7
х
№3.
х2 – х – 6 < 0
( 2; 3)
№4.
х2 – х – 6 0
[ 2; 3]
12

13.

Рассмотрим функцию
2
у = х – 6х + 9
Графиком функции является парабола, ветви которой
направлены вверх.
Найдём нули функции решив уравнение
х² - 6х +9 = 0.
D =36 – 4. 9 =0 (1 корень)
х = 3.
Построим схематически параболу.
13

14.

у = х2 – 6х +9
№5.
Решите неравенство
х2 – 6х+ 9 < 0
Ответ :
№6.
Решите неравенство
х2 –6х + 9 0
Ответ : х 3
3
№7.
х Решите неравенство
х2 –6х + 9 > 0
Ответ : х 3.
№8.
Решите неравенство
х2 –6х + 9 0
Ответ : х R.
14

15. Задание для 1 группы: Из предложенных высказываний, пользуясь учебником (стр.87-88), составьте алгоритм решения неравенств

второй степени
графическим способом.
Задание для 2 группы:
Используя примеры из учебника(стр.88-89)
решить неравенство:
2х2 -7х+5 < 0
15

16. Алгоритм решения неравенств второй степени

1. Рассмотреть функцию у=ах2 + bx +c,
определить направление ветвей параболы.
2. Найти нули функции, если они есть.
3. Схематично построить график данной
функции.
4. Учитывая знак неравенства, выписать
ответ.
16

17. Решим неравенство 2х2 -7х+5 > 0

Решим неравенство
2х2 -7х+5 > 0
1. Рассмотрим функцию у = 2х²- 7х + 5
2. Графиком функции является парабола, ветви которой
направлены вверх.
3. Решим уравнение 2х²-7х+5=0.
х = 1, х = 2,5.
+
+
4. Построим схематически параболу.
1
2,5
5. Определим промежуток, где функция принимает
положительные значения ( ;1) (2,5; )
6. Множеством решений неравенства является промежуток
х
( ;1) (2,5; )
17

18. Тренировочные задания №304(а ,в) у доски №304 (б) самостоятельно Дополнительно (Кто быстрее): Вариант 4,5,8,13 задание №14

(ОГЭ)
18

19. Проблема

Не умеем решать неравенства
вида
аx²+вx+c>0
ax²+bx+c<0
ах²+bх+с≥0
ах²+bх+с≤0
19

20.

Задача
Пусть скорость катера = х км/ч. Скорость течения реки = 5 км/ч. Тогда имеем:
Движение
S, км
V, км/ч
t, ч
По течению
28
Х+5
Против
течения
28
Х-5
28
x 5
28
x 5
Зная, что остановка длилась 40мин= 40 ч= 2 ч,и t 3 составим неравенство
28
28
2
3
x 5 x 5 3
60
3
x 24 x 25 0
2
-1
25
Которое будет выполняться, если x 1 и x 25. Т.к. скорость катера больше
скорости течения реки,то условию задачи удовлетворяет только x 25
Скорость катера должна быть не меньше 25 км/ч.

21. Применение в окружающем мире

Можно привести немало примеров
применения квадратичной функции.
-В физике — уравнение пути
равномерно-переменного движения с
начальной скоростью v , ускорением
а и путем S, пройденным до начала
отсчета b :
S=2at2+vt+b
Параболе соответствует
множество траекторий полёта
какого либо объекта (мяча,
артиллерийского снаряда) в
однородном гравитационном
поле без сопротивления
21
воздуха.

22.

- Свойство параболы о
фокусировании параллельного
пучка прямых используется в
конструкции прожекторов,
фонарей, фар, а так же в
конструкции спутниковых
антенн и в других областях.
Траектории некоторых
космических тел,
проходящих вблизи
звезды или планеты на
достаточно большой
скорости имеют форму
параболы.
22

23.

24. Парабола в архитектуре и строительстве

25. Я знаю!

25

26.

Задание 1
Решите неравенство ПОДУМАЙ
!
х2 + 4х < 0
1
[-4; 0]
2
(-4; 0)
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ
-7 !-6 -5 -4 -3 -2 -1
3
; 4 0;
4
( ; 4] [0; )
7
6
5
4
3
2
1
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
ПОДУМАЙ!
26

27.

Задание 2
Решите неравенство ПОДУМАЙ
!
х2 + 4х 0
1
[-4; 0]
2
(-4; 0)
ВЕРНО!ПОДУМАЙ
!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
3
( ; 4] [0; )
4
; 4 0;
7
6
5
4
3
2
1
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
ПОДУМАЙ!
27

28.

Задание 3
Решите неравенство ПОДУМАЙ
!
– х2 + 4х–6 0
1
2
3
4
x=2
ПОДУМАЙ
!
; 2 ( 2; )
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
;
ВЕРНО!
7
6
5
4
3
2
1
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
ПОДУМАЙ!
28

29.

Задание 4
Решите неравенство ПОДУМАЙ
!
– х2 + 6х–9 < 0
1
x=3
2
х R
3
ПОДУМАЙ
!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
х 3
4
ВЕРНО!
; 3 (3; )
7
6
5
4
3
2
1
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
ВЕРНО!
29

30. Повторение – мать учения!

1. Определение неравенства второй степени
с одной переменной.
2. Алгоритм решения неравенств второй
степени.
30

31. Задание на дом

• п.14, № 305 (а,б), №323
• Вариант 23,24 Задание №14
из сборника «ОГЭ 2018. Математика. И.В. Ященко.
36 вариантов. Типовые экзаменационные варианты»
31

32.

Закрась 1/8 часть круга цветом,
в соответствии с твоим ответом
На уроке я работал(а)
Своей работой на уроке я
Урок для меня показался
За урок я
Моё настроение
Материал урока мне был
активно
средне
пассивно
доволен
не совсем
доволен
не доволен
коротким
длинным
не устал
устал
стало
лучше
осталось
прежним
стало
хуже
понятен
полезен
так себе
так себе
не понятен
бесполезен
интересен
так себе
скучен
32
очень
длинным
очень
устал

33. Оцените свою работу на уроке в листе самоконтроля. Максимальный балл – 32.

33

34. Спасибо за урок

34