Аналитический способ решения задач с параметром

1. Аналитический способ решения задач с параметром.

• учитель математики МОУ “МГМЛ”
Канаева И.В.
17.12.2023
1

2. Пример 1: Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

Пример 1: Найдите все значения а, при каждом из которых
система уравнений x 2 y 2 3a 2, имеет ровно два
xy 6 a
различных решения.
• Решение: При х=0 из второго уравнения системы , а=6.
Подставим а=6 в систему получим
х 0,
2
x 2 y 2 20,
у 20;
xy
0.
у 0,
х 2 20.
При а=6 система имеет четыре решения, это значение а=6 не
удовлетворяет условию задачи.
6 а
у
• При а 6 х 0, у 0 выразим из второго уравнения
х
и подставим в первое , получим
2
6 а
4
2
х2
3
а
2
0
х
3
а
2
х
6
а
0.
х
2
17.12.2023
Система имеет два решения тогда, когда биквадратное
уравнение имеет два решения .
2

3.

2
• Пусть х t получим уравнение t 3а 2 t 6 а 0.
Биквадратное уравнение имеет два решения в следующих
случаях.
1 случай: Квадратное уравнение имеет один корень и он
положительный.
2
2
D 3а 2 4 6 а 3а 2 12 2а 3а 2 12 2а
2
2
а 14 5а 10 0
При а=2 получим
t 2 8t 16 0 t 4
При а=-14 получим
0.
t 2 40t 400 0 t 20
0.
Условию задачи удовлетворяет а=2.
17.12.2023
3

4.

• 2 случай: Квадратное уравнение имеет корни разных знаков, т.е.
t1 t2
По теореме Виета
0.
с
2
t1 t2 t1 t2 6 a .
а
Неравенство 6 a
0 не имеет решений.
Биквадратное уравнение, а следовательно и исходная система
будут иметь два решения при а=2.
2
Ответ: 2.
17.12.2023
4

5. Пример 2: Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения. (alexlarin.net)

Пример 2: Найдите все значения а, при каждом из которых
система уравнений ax 2 y 4,
имеет ровно два
2
x xy 4 x 2 y 4 0
различных решения. (alexlarin.net)
• Решение: Выполним преобразование второго уравнения
х 2 ху 4 х 2 у 4 0 х 2 у х 2 0 х 2 х у 2 0.
Исходная система равносильна следующей совокупности
х 2,
2
y ах 4;
у 2 х,
у ах 2 4.
Так как х=2 является решением совокупности при любом значении
параметра а, то условие задачи выполняется , если вторая система
2
у 2 х,
2
2
ах
4
2
х
ах
х 6 0
2
у ах 4
имеет единственное решение отличное от х=2.
17.12.2023
5

6.

Это возможно в следующих случаях:
2
• 1 случай: Уравнение ах х 6 0 имеет один корень ,
отличный от х=2.
Если а 0 х 6 0 х 6 2.
Следовательно а=0 удовлетворяет решению задачи.
Если а 0, то квадратное уравнение имеет один корень когда
D 1 24a 0 a
При a
1
.
24
1
1
корень уравнения х
12 2.
24
2а
1
24 удовлетворяет решению задачи.
2
• 2 случай: Уравнение ах х 6 0 имеет два различных
a
корня , но один из них равен 2.
Если х=2, то 4а 2 6 0 а 1. При а=1 квадратное уравнение
имеет корни х=2 и х=-3, т.е. удовлетворяет решению задачи.
Исходная система имеет два решения при a 1 ;0;1 .
24
Ответ: 1 ;0;1.
6
17.12.2023
24

7. Пример 3: Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения. (alexlarin.net)

Пример 3: Найдите все значения а, при каждом из которых
система уравнений y ax a 5,
имеет ровно два
2
2
xy x y 2 xy 4 x 4 y 8 0
различных решения. (alexlarin.net)
• Решение: Выполним преобразование системы
y ax a 5,
y ax a 5,
xy x y 2 4 x y 2 0
x y 2 4 xy 0
y ax a 5,
x y 2 0;
y ax a 5,
4 xy 0.
Исходная система будет иметь два решения в следующих случаях:
17.12.2023
7

8.

• 1 случай: Каждая из систем совокупности имеет по одному
решению, и они различны.
y ax a 5,
y ax a 5,
Решим первую систему (1)
x
y
2
0
y x 2
x 2 ax a 5 x a 1 3 a x
3 a
.
1 a
При любом значении a 1 система (1) имеет одно решение
3 a
x
,
1 a
y a 5 .
a 1
При а=1 система (1) решений не имеет.
17.12.2023
8

9.

y ax a 5,
Решим вторую систему (2)
4
y
x
4
ax a 5 ax 2 x a 5 4 0.
x
а) при а=0 уравнение линейное имеет корень х=0,8. Вторая система
имеет решение (0,8;5). Тогда первая система при а=0 имеет
решение (3;5). Решения различны, следовательно а=0
удовлетворяет условию задачи.
б) при a 0 квадратное уравнение ax 2 x a 5 4 0
2
имеет один корень , если D a 26a 25 0 a 1, a 25
При а=-1 система (2) имеет решение (2;2), а система (1) решение
– (1;3). Решения различны, а=-1 удовлетворяет условию задачи.
При а=-25 система (2) имеет решение (-0,4;-10), а система (1)
решение – 11 ; 15 .
13 13
Решения различны, а=-25 удовлетворяет условию задачи.
17.12.2023
9

10.

• 2 случай: Первая система решений не имеет, а вторая имеет два
решения. При а=1 система (1) не имеет решение, а система (2)
имеет два решения, т.к.
D a 2 26a 25 0 a ; 25 1;
т.е. а=1 удовлетворяет условию задачи.
• 3 случай: Первая система имеет одно решение, а вторая - два
различных, одно из которых совпадает с решением первой
3 a
системы.
x
,
1 a
Решение первой системы при a 1
y a 5 .
a 1
а вторая имеет два корня если a ; 25 1;
Выясним при каком значении а системы имеют одинаковое
решение: 2
5 4 5
3 a 3 a
2
a
a 5 4 0 5a 10a 11 0, a
5
1 a 1 a
при данных значениях система (1) имеет одно решение, а
система (2) два решения, тогда a 5 4 5 удовлетворяют
5
условию задачи.
5 4 5
Ответ:
25
;
1
;
0
;
.
17.12.2023
5
10

11. Пример 4: Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения. (Статград.

Пример 4: Найдите все значения а, при каждом из которых
2
2
система уравнений 2 x 2 y 5 xy,
имеет ровно два
2
2
4
x a y a 5a
различных решения. (Статград. Тренировочная работа, январь
2018)
x 0,
• Решение: При а=0 система имеет единственное решение
y 0
и поэтому не удовлетворяет условию задачи.
При a 0 исходная система является симметрической, т.е.
если х0 ; у0 - решение системы, то и пара у0 ; х0 тоже.
Выполним преобразование первого уравнения х 2 у у 2 х 0.
Исходная система равносильна следующей совокупности
17.12.2023
х 2 у,
2
2
4
х
а
у
а
5
а
;
у 2 х,
2
2
4
х
а
у
а
5
а
.
11

12.

• Выясним когда первая система совокупности имеет одно
решение ( в этом случае вся совокупность будет иметь два
решения).
2
2
х 2 у,
4
2
у
а
у
а
5
а
2
2
4
x a y a 5a
5 у 2 6ау 2а 2 5а 4 0.
Квадратное уравнение 5 у
имеет один корень , если
2
6ау 2а 2 5а 4 0
D1 9a 2 10a 2 25а 4 25а 4 а 2 0 a 0, a 0, 2
т.к. a 0 , то первая система совокупности имеет одно решение
при a 0, 2. Следовательно исходная система при a 0, 2
будет иметь два решения.
Ответ: a 0, 2
17.12.2023
12

13. Пример 5: Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения. (ЕГЭ 2018)

Пример 5: Найдите все значения а, при каждом из которых
система уравнений x 2 y 2 2 a 3 x 4ay 5a 2 6a 0, имеет ровно
2
2
y x
четыре различных решения. (ЕГЭ 2018)
17.12.2023
13

14.

• Решение: Исходная система равносильна следующей
совокупности
у х,
2
2
2
х у 2 а 3 х 4ау 5а 6а 0;
у х,
х 2 у 2 2 а 3 х 4ау 5а 2 6а 0.
Совокупность будет иметь четыре решения, если у каждой из
систем будет по два решения и эти решения не совпадают.
Рассмотрим первую систему
у х,
у х,
2
2
2
2
2
x
y
2
a
3
x
4
ay
5
a
6
a
0,
2
х
2
а
3
х
5
а
6а 0.
Система имеет два решения , если квадратное уравнение
2 х2 2 а 3 х 5а2 6а 0 имеет два корня. Это выполняется при
положительном дискриминанте, т.е.
D1 a 2 6a 9 10а 2 12а 9а 2 18а 9
17.12.2023
0 а 2 2а 1 0
а (1 2;1 2)
14

15.

• Рассмотрим вторую систему
у х,
у х,
2
2
2
2
2
x
y
2
a
3
x
4
ay
5
a
6
a
0,
2
х
2
3
а
3
х
5
а
6а 0.
Система имеет два решения , если квадратное уравнение
2 х2 2 3а 3 х 5а 2 6а 0 имеет два корня. Это выполняется при
положительном дискриминанте, т.е.
D1 9a 2 18a 9 10а 2 12а а 2 6а 9 0 а 2 6а 9 0
а ( 3 3 2; 3 3 2)
Выясним при каком значении параметра а системы имеют общее
решение, т.е. х х x 0, 5а 2 6а 0
y 0.
то есть при а=0 и а=1,2 совокупность систем не будет иметь четыре
решения, следовательно эти значения не подходят условию задачи.
Таким образом, исходная система имеет четыре решения при
а (1 2;1 2)
а 3 3 2; 3 3 2
а 0
Ответ: 1 2;0 0;1, 2 1, 2;3 2 3
а 1, 2.
17.12.2023
15

16. Пример №6: Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения. (ЕГЭ 2018)

Пример №6: Найдите все значения а, при каждом из которых
система уравнений y a 3 x 2 2ax a 3, имеет ровно
2
2
y x
четыре различных решения. (ЕГЭ 2018)
• Решение: Исходная система равносильна следующей
совокупности
у х,
2
у
а
3
х
2ах а 3;
у х,
у (а 3) х 2 2ах а 3.
Совокупность будет иметь четыре решения, если у каждой из
систем будет по два решения и эти решения не совпадают.
17.12.2023
16

17.

• Рассмотрим первую систему
2
2
y a 3 x 2ax a 3,
а 3 х 2а 1 х а 3 0,
y x
у х
Система имеет два решения , если квадратное уравнение
а 3 х2 2а 1 х а 3 0
имеет два корня.
При а=-3 уравнение становиться линейным и имеет один
корень, этот случай нам не подходит. При a 3 квадратное
уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте,
т.е.
D 4a 4a 1 4а 36 37 4а
2
17.12.2023
2
0 а
37
.
4
17

18.

• Рассмотрим вторую систему
2
2
y a 3 x 2ax a 3,
а 3 х 2а 1 х а 3 0,
y x
у х
Система имеет два решения , если квадратное уравнение
а 3 х2 2а 1 х а 3 0
имеет два корня.
При a 3 это уравнение квадратное и имеет два корня при
положительном дискриминанте, т.е.
D 4a 4a 1 4а 36 37 4а
2
17.12.2023
2
0 а
37
.
4
18

19.

• Выясним при каком значении параметра а системы имеют
общее решение,
x 0,
а 3 0 а 3,
х х
y 0.
то есть при а=3 совокупность систем не будет иметь четыре
решения, следовательно это значение не подходят условию
задачи а 3,
Таким образом, исходная система имеет четыре решения при
37
а
4
а 37
4
а 3
а 3.
37
37
;
3
3;3
Ответ:
3;
4
4
17.12.2023
19

20. Пример №7: Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения. (ЕГЭ 2018)

Пример №7: Найдите все значения а, при каждом из которых
система уравнений ax 2 ay 2 2a 5 x 2ay 1 0, имеет ровно четыре
2
x y xy x
различных решения. (ЕГЭ 2018)
• Решение: Выполним преобразование второго уравнения
х2 у ху х 0 х у х 1 0.
системы
Исходная система равносильна следующей совокупности
2
2
ax ay 2a 5 x 2ay 1 0,
x 1
2
2
ах
ау
2а 5 х 2ау 1 0,
х у
Совокупность будет иметь четыре решения, если у каждой из
систем будет по два решения и эти решения не совпадают.
17.12.2023
20

21.

• Рассмотрим первую систему
2
2
2
ax ay 2a 5 x 2ay 1 0,
а у 1 2а 6,
х 1
x 1
При а=0 система решений не имеет.
При a 0
2а 6
2
у
1
,
а
х 1
система имеет два решения, если уравнение
имеет два корня, т.е.
17.12.2023
2а 6
а
2а 6
у 1
а
2
0 а ;0 3; .
21

22.

• Рассмотрим вторую систему
2
2
2ау 2 5 у 1 0,
ax ay 2a 5 x 2ay 1 0,
х у
x у
система имеет два решения, если уравнение 2ау 2 5 у 1 0
имеет два корня.
При а=0 уравнение становиться линейным и имеет один корень,
этот случай нам не подходит.
При a 0 квадратное уравнение имеет два корня при
положительном дискриминанте, т.е.
D 25 8a
17.12.2023
0 а
25
25
а ;0 0; .
8
8
22

23.

• Выясним при каком значении параметра а системы имеют
общее решение х=у=1. Получим. а а 2а 5 2а 1 0 а 3.
При данном значении параметра совокупность не будет иметь
четыре решения , т.е. это значение не подходит условию задачи.
Таким образом, исходная система имеет четыре решения при
а ( ;0) 3;
25
а ;0 0;
8
а 3.
1
Ответ: ; 3 3;0 3;3
8
17.12.2023
23

24. Пример №8: Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения. (ЕГЭ 2018)

Пример №8: Найдите все значения а, при каждом из которых
система уравнений x ay 5 x ay 5a 0,
2
2
x y 16
имеет ровно четыре различных решения. (ЕГЭ 2018)
• Решение: При а=1 исходная система уравнений примет вид
2
х ау 5 0,
x ay 5 0,
2
2
2
2
х
у
16.
x
y
16
Данная система имеет не более двух решений, поэтому а=1 не
удовлетворяет условию задачи.
При a 1 исходная система равносильна следующей
совокупности
х 5 ау ,
2
2
x
y
16
х 5а ау ,
х 2 у 2 16.
17.12.2023
24

25.

• Совокупность будет иметь четыре решения, если у каждой из
систем будет по два решения и эти решения не совпадают.
• Рассмотрим первую систему
х 5 ау,
х 5 ау,
2
2
2
2
х у 16
а 1 у 10ау 9 0.
Система имеет два решения, если уравнение
имеет два корня, т.е.
D1 25а 9a 9 16а 9
2
17.12.2023
2
2
2
2
а
1
у
10 у 9 0
3 3
0 а ; ; .
4 4
25

26.

• Рассмотрим вторую систему
х 5а ау,
х 5а ау,
2
2
2
2
2
2
а
1
у
10
а
у
25
а
16 0.
х
у
16
Система имеет два решения, если уравнение
имеет два корня, т.е.
2
2
2
2
а
1 у 10а у 25а 16 0
D1 25а 25а 25a 16а 16 16 9а
4
4
2
2
2
4 4
0 а ; .
3 3
При а=1 совокупность систем имеет общее решение.
17.12.2023
26

27.

• Таким образом, исходная система имеет четыре решения
3 3
а
(
;
)
;
4 4
4 4
а ;
3 3
а 1.
.
4 3 3 4
Ответ: ; ;1 1;
3 4 4 3
17.12.2023
27

28. Пример 9 : Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

Пример 9 : Найдите все значения а, при каждом из которых
2
2
2
система уравнений
имеет ровно два
x y a ,
2
xy
a
3a
различных решения.
17.12.2023
28

29. Пример 9 : Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

Пример 9 : Найдите все значения а, при каждом из которых
2
2
2
система уравнений
имеет ровно два
x y a ,
2
xy
a
3a
различных решения.
• Решение: При a=0 получим систему
Система имеет одно решение
x 2 y 2 0,
xy 0.
0;0 .
x 2 y 2 9,
xy 0.
При а=3 получим систему
Система имеет четыре решения 0; 3 ; 3;0 .
Значения а=3 и а=0 не удовлетворяют условию задачи.
2
а
При
а 0, а 3 выразим из второго уравнения у 3а
х
и подставим в первое , получим
2
17.12.2023
2
а 2 3а
2
2
4
2 2
2
х
а 0 х а х а 3а 0.
х
29

30.

Система имеет два решения тогда, когда биквадратное
2
4
2 2
2
уравнение х а х а 3а 0
имеет два решения .
2
2
2
2
2
• Пусть х t получим уравнение t а t а 3а 0
Биквадратное уравнение имеет два решения в следующих
случаях.
1 случай: Квадратное уравнение имеет один корень и он
положительный.
D a 4 а 3a а 2 2a 2 6а а 2 2a 2 6а
4
2
2
6a a 2 3а 2 6a 0
а=0 не удовлетворяет условию задачи
2
При а=2 получим t 4t 4 0 t
2
При а=6 получим t 2 36t 324 0 t
Условию задачи удовлетворяет а=2, а=6.
17.12.2023
0.
18
0.
30

31.

• 2 случай: Квадратное уравнение имеет корни разных знаков, т.е.
t1 t2
По теореме Виета
0.
2
с
2
t1 t2 t1 t2 а 3a .
а
2
Неравенство а 3a
0 не имеет решений.
Биквадратное уравнение, а следовательно и исходная система
будут иметь два решения при а=2, а=6.
2
Ответ: 2; 6.
17.12.2023
31

32. Пример №10: Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения. (ЕГЭ 2018)

Пример №10: Найдите все значения а, при каждом из которых
система уравнений y a 2 x 2 2ax a 2, имеет ровно
2
2
y x
четыре различных решения. (ЕГЭ 2018)
17.12.2023
32

33.

• Решение: Исходная система равносильна следующей
совокупности
у х,
2
у
а
2
х
2ах а 2;
у х,
у (а 2) х 2 2ах а 2.
Совокупность будет иметь четыре решения, если у каждой из
систем будет по два решения и эти решения не совпадают.
17.12.2023
33

34.

• Рассмотрим первую систему
2
2
y a 2 x 2ax a 2,
а 2 х 2а 1 х а 2 0,
y x
у х
Система имеет два решения , если квадратное уравнение
а 2 х2 2а 1 х а 2 0
имеет два корня.
При а=-2 уравнение становиться линейным и имеет один
корень, этот случай нам не подходит. При a 2 квадратное
уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте,
т.е.
D 4a 4a 1 4а 16 4а 17
2
17.12.2023
2
0
а
17
.
4
34

35.

• Рассмотрим вторую систему
2
2
y a 2 x 2ax a 2,
а 2 х 2а 1 х а 2 0,
y x
у х
Система имеет два решения , если квадратное уравнение
а 2 х2 2а 1 х а 2 0
имеет два корня.
При a 2 это уравнение квадратное и имеет два корня при
положительном дискриминанте, т.е.
D 4a 4a 1 4а 16 4а 17
2
17.12.2023
2
0
а
17
.
4
35

36.

• Выясним при каком значении параметра а системы имеют
общее решение,
x 0,
а 2 0 а 2,
х х
y 0.
то есть при а=2 совокупность систем не будет иметь четыре
решения, следовательно это значение не подходят условию
задачи а 2,
Таким образом, исходная система имеет четыре решения при
17
а
4
а 17
4
а 2
а 2.
17
17
;
2
2;
2
Ответ:
2;
4
4
17.12.2023
36