Задачи с параметрами
Определение
Аналитический способ решения задач с параметрами
1) Решить уравнение: ax=1
2) Решить уравнение
Графический способ
Функция
Задача. Сколько корней имеет уравнение для каждого из значений параметра ?
Найдите все значения параметра р, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.
Решение уравнений относительно параметра
Задача. Решить уравнение
Задача 1. Найдите все значения а, при которых область определения функции содержит ровно три целых числа.
Задача 2. Найдите все положительные значения параметра b, при которых число 1 принадлежит области определения функции
1.26M
Category: mathematicsmathematics

Задачи с параметрами

1. Задачи с параметрами

2. Определение

Уравнение f(x;a)=0, где хпеременная, а – произвольное
действительное число,
называют уравнением с
параметром а.

3. Аналитический способ решения задач с параметрами

Этот способ повторяет стандартные
процедуры нахождения ответа в
задачах без параметра.
Аналитический способ решения задач с
параметрами – самый трудный, он
требует высокой грамотности и
наибольших усилий по овладению им.

4. 1) Решить уравнение: ax=1

На первый взгляд представляется
возможным сразу дать ответ: х = 1/а
Однако при a=0 данное уравнение
решений не имеет.
Ответ:
Если a=0, то нет решений;
Если a≠0, то
х = 1/а

5. 2) Решить уравнение

x ≠ ±2,
ax+2a = x+1,
a
x+ 1
= 2
x− 2 x − 4
(a-1)x=1-2a, a≠1.
1 − 2a
x=
a− 1
Найдем значения a, которые приводят к недопустимым
значениям x.
1− 2a
x= 2, 2=
a− 1
2a − 2= 1− 2a
3
4a= 3, a=
4
3
Следовательно, а не может равняться 4 .

6.

1− 2a
x = − 2, − 2 =
,
a− 1
− 2a + 2= 1− 2a , 0a = −1,
0а = - 1 невозможно ни при каких значениях а
Ответ:
3
1− 2a
Если a≠ 1 и a ≠ 4 , то x= a− 1
Если
3
a ≠ 1 и при a= , решений нет.
4

7. Графический способ

При решении уравнения
f(x)=g(x) графическим способом
строятся графики функций y=f(x)
и y=g(x) в одной системе
координат.
Как известно, число корней
уравнения совпадает с
количеством точек пересечения
графиков построенных функций.
Если график функции не
зависит от параметра, то он
неподвижен, а если зависит- то
представляет собой семейство
графиков, иначе - «подвижный»
график.
у
y=f(x)
1
х1
х2
0
х3
1
х

8.

у
Функция
у=b
Графики
таких функций –
семейство
параллельных
оси Ох прямых.
b=4
b=2
1
0
1
х
b=0
b = -2
b = -4

9. Функция

у
Функция
у ах
х=0
0
Графики таких функций – семейство прямых, проходящих
через начало координат.
0,5
1
-3
-1
0
а -0,5
х

10. Задача. Сколько корней имеет уравнение для каждого из значений параметра ?

Задача. Сколько корней имеет уравнение х 1 ах
для каждого из значений параметра
?
а
Решение.
у
Значения
Количество
1. Построим график функции
параметра
корней
уравнения
у х 1
2. Построим
a 1графики функции
1
у ах и рассмотрим
1 a 0случаи в зависимости
2
различные
от параметра
.
1
а 0
а
0 a 1
1 a
Нет корней
1
Ответ:
1) При а ; 1 0 1;
уравнение имеет один корень
2) При 1 а 0
уравнение имеет два
1 корня
3) При 0 а 1
уравнение не имеет корней
-1
0
х

11. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения параметра р, при которых
2
уравнение р ctg x 2 sin x p 3
имеет хотя бы один корень.
у
Решение.
Нет
корней
р ctg x 2 sin x p 3,
2
р ctg 2 x 1 2 sin x 3,
р
3
2
2
sin
x
3
,
2
sin
x
3
sin
x p 0.
2
sin x
Пусть t sin x, 1 t 1, t 0, тогда
2t 3 3t 2 p.
2t 3 3t 2 p 0,
3
2
Построим график функции у 2t 3t
на отрезке 1 t 1 , причем t 0
Графики функции у = -р - семейство
параллельных оси Ох прямых.
-р> 0, p < 0 -уравнение не имеет корней
-5< -р< 0, 0<p<5 –
-р< -5, p>5 имеет
– уравнение
имеет
корней0<p<5
уравнение
одинне
или
два корня
Ответ:
-1
1 х
0
3
2
y=2t - 3t
-5
Нет
корней

12. Решение уравнений относительно параметра

При решении задач этим способом
переменные х и а принимаются
равноправными и выбирается та переменная,
относительно которой аналитическое
решение признается более простым. После
естественных упрощений возвращаемся к
исходному смыслу переменных х и а и
заканчиваем решение.

13. Задача. Решить уравнение

х - 2а х + а - 1 = 0
2
4
2
Решение.
Данное уравнение четвертой степени
относительно переменной х и является
квадратным относительно параметра а .
2ах + а - 1 = 0
х - 2а
а - 2х а + х - 1 = 0
22
4
2
2
2
4
2
а
х
1,
2 х4 2 4
аD
1 4. 2
1, 2 4 x 4 x ,
2
а х 1;
2
х 2 а 1,
2
х а 1.

14.

Возможны различные случаи. Результаты
исследования этих случаев запишем в таблицу:
а
; 1 1
х2 а 1
2
х а 1
х
Ответ:
Нет
действительных
0
х 0
1;1
1
1;
+
0
+
+
+
х1 а 1,
х1 0
х1, 2 а 1,
х2 а 1
х2 2 , х3, 4 а 1
х3 2
если а<-1, то действительных корней нет;
если а= -1, то
х 0 ;
если -1<a<1, то х1
а 1, х2 а 1 ;
если а=1, то х1 0, х2 2 , х3 2 ;
если а>1, то х1, 2 а 1, х3, 4 а 1.

15. Задача 1. Найдите все значения а, при которых область определения функции содержит ровно три целых числа.

а, при которых область определения функции
Задача 1. Найдите все значения
у а х х ( х 3) logx a а8 3loga x
содержит ровно три целых числа
.
x
3
9 6 x logx a
a
0, 5
22
Решение.
Преобразуем выражение в скобках:
х 3 logx a
8 3 loga x
9 6 x logx a
а х
a
x
a 22
а х а х 3 а 8 х 3 х 3 а 2 х а11 а 2 х а 3 а 8 х 3 х 3 а 2 х а11
х
3
а 2 х а 3 х 3 а8 х 3 а 3 а 3 х 3 а 2 х а8 .
Областью определения данной функции
является множество решений системы неравенств:
а 3 х 3 а 2 х а 8 0,
х 0,
x 1.

16.

Решим первое неравенство: а 3 х 3 а 2 х а8 0.
f ( x) a a .
Пусть
g ( x) a 3 x 3 ,
Функция
g (x )- убывающая при любом значении параметра а.
2x
8
g ( x) 0 при х а .
Функция f (x ) - монотонно убывает или возрастает в зависимости от
f ( x) 0 при х 4 .
значения параметра а.
Рассмотрим различные случаи в зависимости от значений параметра
а.
1. 0<a<1, х (0; а ) ( 4; )
Это множество включает в себя
бесконечное число целых чисел.
х (а;4)
2. 1<a<4
g (x )
Это множество может
содержать только два целых числа.
3. а>4,
х (4; а)
+
f (x)
Данное множество содержит
три целых числа, если 7 а 8
Ответ: а 7;8
а
+
0
a
+
1
_
_
4
_
_
х
х

17. Задача 2. Найдите все положительные значения параметра b, при которых число 1 принадлежит области определения функции

у b2 5bx bb x 6 x
2
52
Решение.
Найдем область определения данной функции.
b
2 5bx
b
b
2 5bx
b 2 x 6 x
b
0
b2 6 x
Для положительных значений b рассмотрим три различных случая

18.

b
2 5bx
0 < b <1
b
b2 6 x
b>1
b=1
2 5bx b x 6 x
2
b 5b 6 x 2
b 2 5b 6 b 2 b 3
b<2, b> 3
2<b<3
2
х
b 2 b 3
2 5bx b x 6 x
2
b 5b 6 x 2
Нет решений
2
b=2, b=3
2
2
+
_
b<2, b>3
2
х
b 2 b 3
3
+
2<b<3
2
х
b 2 b 3
b=2, b=3
х R
Число 1 принадлежит области определения функции
2
1 b 1 2b 4
1 b 2 b 3 00
bb 22 bb 33
b 1 b 4
b 2 b 3
2
1 b 1 2b 4
1 b 2 b 3 00
b b 22 bb 33
+
1
_
2
+
2
1 b 1 2b 4
1 b 2 b 3 00
bb 22 bb 33
3
_
4
+
1 R

19.

0
0 b 1,
b 2,
b 1; 2 b 3; b 4;
1
1
2
b 2; b 3.
2<b<3
b<2, b>3
b=2, b=3
1
b 1 b2 4 0 3 b 1 b 4 0
b 2 b 3 b 2 b 3
1 b 1 b2 4
4
3
+
b 2 b 3
b 1,
2 b 3,
b 1; 2 b 3; b 4;
4
3
b<2
b 1,
b 2; b 3,
1 b 2; 3 b 4;
0b>1
b 1,
0 < b <1
1
_
1 b 1b b 42 ; 30 b 4,
b 2 b 3
2
+
3
_
4
+
1
2
1
2
3
3
2 b 3,
4
b 2; b 3.
2
3

20.

Ответ: при
b 0;1 1;4
число 1 принадлежит
области
определения функции.

21.

Решение
а х
х
х 3 logx a
a
8 3 loga x
x
3
9 6 x logx a
у
a
22
х
х 3
8
3
3

11
= а а а х х а а

3
8
3
3

11
= а а а х х а а

3
3
8
3
3
= а а х а х а
=
а
3
х3 а 2 х а8
а х х х 3 logx a a 8 3 loga x
x
3
9 6 x logx a
a 22
х
х 3
8
3
3

11
= а а а х х а а
1

3
8
3
3

11
= а а а х х а а

3
3
8
3
3
= а а х а х а
=
а
3
х3 а 2 х а8
0
Ответ: а=5
.
а
х
1
х
English     Русский Rules