Формулы двойного аргумента

1.

Формулы двойного аргумента

2.

Повторение
1. Установите истинность или ложность утверждений:
sin t cos t
2
у
cos
cos t cos
t t
2. Найдите значение выражений:
sin 107 0 cos17 0 cos107 0 sin 17 0 sin 107 0 17 0 sin 90 0 1
2
3
tg
t tgtctgt
2
2
Х
3
2
cos 360 cos 240 sin 360 sin 240 cos 360 240 cos 60 0 0,5
3. Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание
tg x y
tgx tgy
1 tgx tgy
tg x y
tgx tgy
1 tgx tgy

3.

4. Верна ли формула
tgx 1
tg x
4 1 tgx
?. Если да, то при каких
значениях переменной она справедлива?
5. Найдите значение выражения:
tg 270 tg180
tg 270 tg180
tg 270 180 tg 450 -1
0
0
0
0
tg 27 tg18 1
1 tg 27 tg18

4.

Формулы тригонометрии, позволяющие выразить sin 2 x cos 2x tg2 x ctg2 x
через
sin x
cos x
tgx
ctgx
называют
формулами двойного аргумента
sin x y sin x cos y cos x sin y
Рассмотрим формулу
sin x x sin x cos x cos x sin x
и заменим в ней у на х
2x
2 sin xcos x
получим формулу синуса
двойного аргумента
sin 2x 2 sin x cos x
Рассмотрим формулу
cos x y cos x cos y sin x sin y
и заменим в ней у на х
cos x x cos x cos x sin x sin x
получим формулу косинуса
двойного аргумента
cos 2 x cos 2 x sin 2 x
2x
cos 2 x
sin 2 x

5.

Рассмотрим формулу
cos 2 x cos 2 x sin 2 x
Заменим в правой части
равенства cos 2 x 1 sin 2 x
Раскроем скобки и приведем
подобные слагаемые
cos 2 x 1 sin 2 x sin 2 x
cos 2 x 1 sin 2 x sin 2 x
2 sin 2 x
получаем еще одну формулу
косинуса двойного аргумента
cos 2 x 1 2 sin 2 x
Заменим в правой части
равенства sin 2 x 1 cos 2 x
Раскроем скобки и приведем
подобные слагаемые
получаем еще одну формулу
косинуса двойного аргумента
cos 2 x 2 cos 2 x 1
cos 2 x cos 2 x (1 cos 2 x)
cos 2 x cos 2 x 1 cos 2 x
cos 2 x cos 2 x cos 2 x 1
2 cos 2 x

6.

Формулы двойного аргумента можно применять и в тех случаях. когда место
аргумента х занимает более сложное выражение. Например:
sin 6x 2 sin 3x cos 3x
x
x
sin x 2 sin cos
2
2
cos100 0 cos 2 50 0 sin 2 50 0
cos 2 x 6 y cos 2 x 3 y cos2 x 3 y sin 2 x 3 y
Аналогично доказывается формула тангенса двойного аргумента
докажите дома самостоятельно
tg 2 x
2tgx
1 tg 2 x

7.

ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА
sin 2x 2 sin x cos x
2 sin x cos x sin 2x
cos 2 x cos 2 x sin 2 x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
cos 2 x 1 2 sin 2 x
1 2 sin 2 x cos 2 x
cos 2 x 2 cos x 1
2 cos 2 x 1 cos 2 x
2
tg 2 x
2tgx
1 tg 2 x
2tgx
tg 2 x
2
1 tg x

8.

Пример1. Вычислить:
cos 2
выражение представляет
собой левую часть формулы
косинуса двойного аргумента
12
sin 2
12
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
cos 2
выполним умножение 2
12
sin 2
cos 2
12
12
12
6
получаем
cos 2
12
sin 2
12
cos
6
3
2

9.

Пример 2. Вычислить:
выражение представляет
собой левую часть формулы
синуса двойного аргумента, но
без множителя 2
8
cos
8
1
sin cos 2 sin cos
8
8 2
8
8
2
1
sin cos sin 2
8
8 2
8
применим формулу синуса
двойного аргумента
получаем
2 sin x cos x sin 2x
введем этот множитель
выполним умножение
sin
4
8
sin
8
cos
8
1
1 2
2
sin
2
4 2 2
4

10.

Пример 3. Упростить выражение:
Вынесем общий множитель 2
за скобку
представим дробь
2
в виде
суммы дробей t t
2
2
и применим формулу
приведения
4
2 sin 2
t
4
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
t
t
t
2 cos 2
sin 2
2
cos
2
4
4
4
выполним умножение 2 t t
t
t
t
t
2 cos 2
sin 2
4
4
выражение в скобках
представляет собой левую
часть формулы косинуса
двойного аргумента
4
2 cos 2
2
t
t
2 cos 2
2
cos
4
2
2 cos
t
2
t
2 cos
2 2
2
t
t
2 cos 2 sin
2
2 2

11.

Пример 4. Упростить выражение:
sin 2 x ctgx 1
для тригонометрического выражения
очень важно добиться того, чтобы,
входящие в него тригонометрические
функции были ОДНОГО аргумента
применим формулу синуса двойного
аргумента
заменим ctgx cos x
sin x
полученную дробь можно
сократить
sin 2x 2 sin x cos x
sin 2 x ctgx 1 2 sin x cos x ctgx 1
2 sin x cos x ctgx 1 2 sin x cos x
cos x
1
sin x
2 cos x sin x cos x
1 2 cos 2 x 1 сos 2 x
sin x
2 cos 2 x 1 cos 2 x
Ответ:
cos 2х

12.

Рассмотрим еще один интересный пример
sin 180 cos 36 6
здесь нужно догадаться умножить и
разделить выражение на 2 cos180
применим формулу синуса
двойного аргумента
2 sin x cos x sin 2x
в числителе левая часть
формулы синуса двойного
аргумента, но без множителя 2
умножим числитель и
знаменатель дроби на 2
применим формулу синуса
двойного аргумента еще раз
0
0
0
2
cos
18
sin
18
cos
36
sin 180 cos 366
2 cos180
sin 360 cos 360 2 sin 360 cos 360
0
0
2 cos18
2 2 cos18
sin 720
sin( 900 180 )
0
0
4 cos 18
4 cos 18
cos 180
1
4 cos 180
4
заметим, что 180 72 0 90 0
выразим 720 900 180
и
воспользуемся формулами
приведения
Ответ: 0,25