Формулы для вычисления площадей различных треугольников

1.

Формулы для вычисления площадей
различных треугольников

2.

С
В
a
А
D
b

3.

1
S a ha
2
1
1
S ABC S ADC S ADB CD ha DB ha
2
2
1
1
1
(CD DB )ha СB ha a ha
2
2
2

4.

1
S ab sin
2
A
c
b
hа
ɣ
B
С
a
S ABC
D
1
a ha , но из прямоуголь ного
2
треугольни ка ADC h a b sin , S ABC
1
ab sin
2

5.

B
r
O
C
А
S ABC S BOC S AOB S AOC
1
AB r
2
1
1
1
AC r BC r (a b c) r
2
2
2
r радиус вписанной окружности.

6.

B
a b c
S
4R
O
R
A
C
1
ab sin C ; sin C найдем из соотношения
2
с
c
1 abc abc
2 R; sin C
, SABC
sin C
2R
2 2R 4R
Мы знаем, что SABC

7.

B
с
a
A
b
C
S p( p a)( p b)( p c)

8.

Доказательство: По теореме косинусов можно записать:
c 2 a 2 b 2 2ab cosγ
2ab cosγ a 2 b 2 c 2 ,
a 2 b2 c2
cosγ
.
2ab
a 2 b 2 c 2
a 2 b2 c2
1
sin γ 1 cos γ (1 cos )(1 cos ) 1
2ab
2ab
2ab a 2 b 2 c 2 2ab a 2 b 2 c 2
c 2 (a b) 2 (a b) 2 c 2
2ab
2ab
2ab
2ab
1
(c a b)(c a b)(a b c)(a b c).
4a 2 b 2
2
Т.К.
2
a b c 2p
a b c a b c 2c 2 p 2c
c a b c a b 2b 2 p 2b
c a b c b a 2a 2 p 2a, то
1
16
sin 2
(2p
2a)(2p
2b)(2p
2c)
2p
(p a)(p b)(p c) p
4a 2 b 2
4a 2 b 2
4
2 2 (p a)(p b)(p c) p.
a b
2
sin γ
p (p a)(p b)(p c) .
ab
1
2
ч.т.д.
S. ab
p(p a)(p b)(p c) p(p a)(p b)(p c) .
2
ab

9. ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (Heronus Alexandrinus)

Герон Александрийский – греческий учёный,
работавший в Александрии,(даты рождения и смерти
неизвестны, вероятно, I – II вв. н. э. ).
Математические работы Герона являются
энциклопедией античной прикладной математики. В
"Метрике" даны правила и формулы для точного и
приближённого расчёта различных геометрических
фигур, например формула Герона для определения
площади треугольника по трём сторонам, правила
численного решения квадратных уравнений и
приближённого извлечения квадратных и кубических
корней. В основном изложение в математических
трудах Герона догматично – правила часто не
выводятся, а только выясняются на примерах.
Герон занимался геометрией, механикой,
гидростатикой, оптикой.

10.

B
p
c
a b c
2
A
a
b
S
1
4ab (a b c ) 2
4
C

11.

Итак, мы получили II формулу Герона. И если стороны
треугольника а,b,с , то запишем ее в виде:
1
2 2
2
2
2 2
S
4a b ( a b c )
4
B
c
a
A
b
C

12.

Найти площадь треугольника со сторонами
17
13
20
1
S
4a 2b 2 ( a 2 b 2 c 2 ) 2
4
2
1
1
1
S 4 13 20 (13 20 17) 1040 256 784 7
4
4
4
17 ,
20 ,
13

13.

Формулы медиан треугольника
ma
1
2
2b 2 2c 2 a 2
mb
1
2
2a 2 2c 2 b 2
mc
1
2
2a 2 2b 2 c 2
B
а
2
c
D
AD- медиана.
mа
a
А
b
C

14.

С
Ɣ
в
а
А
α
β
с
c 2 sin α sin β
S
2 sin (α β)
В

15.

С
Ɣ
в
S
а
А
α
β
с
В
c
2
2(ctg ctg )
.

16.

B
S 2R sin sin sin .
O
A
2
C
Доказатель ство :
a
b
c
2R
sin sin sin
получим a 2 R sin , b 2 R sin . Подставим в формулу
Из
1
ab sin
2
1
S 2 R sin 2 R sin sin 2 R 2 sin sin sin .
2
S

17.

С
в
a 2 sin sin
S
2 sin
Ɣ
а
А
α
β
В
Доказатель ство :
Из
a
b
c
a sin
имеем b
sin sin sin
sin A
1
1
a sin
1 a 2 sin sin
Подставим в формулу S ab sin ; S a
sin
2
2
sin
2
sin

18.

Вычисление площади треугольника через радиусы
вневписанных окружностей.
Вневписанная окружность- это
окружность, касающаяся одной
стороны треугольника и продолжения
двух других сторон.
Oa
Oc
rа
S ra ( p a ) rb ( p b) rc ( p c)
rс
β
a
Ɣ
c
α
b
S ra rb rc r
ra , rb , rc радиусы вневписанных окружностей
rb
p полупериметр
Ob