Уравнения математической физики. Задача Штурма-Лиувилля

1.

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики
5 семестр
Лекция 4
Задача Штурма-Лиувилля.
14 ноября 2014 года
Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович

2.

Задача Штурма-Лиувилля
( p( x )u ') ' q( x )u ( x )u, a x b
1u(a ) 1u '(a ) 0
u(b) u '(b) 0
2
2
Задача: найти все значения параметра λ (собственное
значение), при которых система имеет нетривиальное
(не равное тождественно нулю) решение (собственная
функция).

3.

Задача Штурма-Лиувилля
Шарль Франсуа Штурм (29 сентября 1803, Женева, Швейцария, — 15
декабря 1855, Париж, Франция) — французский математик.
Удостоен премии по математике за работы по сжимаемости жидкостей.
В 1836 году был избран членом Парижской академии наук. С 1840 года
— профессор Политехнической школы.

4.

Задача Штурма-Лиувилля
Жозеф Лиувилль (24 марта 1809, Сент-Омер — 8 сентября 1882,
Париж) — французский математик. Получил членство в Коллеж де
Франс по математике в 1850 г. и по механике в 1857 г.
Кроме академических достижений он был очень талантливым
организатором. Лиувилль основал «Журнал чистой и прикладной
математики» (Journal de mathématiques pures et appliquées), который
поддерживает свою репутацию до настоящего времени, для продвижения
математических работ.

5.

Задача Штурма-Лиувилля
Основные ограничения
p( x ) C1[a; b], p( x ) 0
q( x ) C[a; b], q( x ) 0
( x ) C[a; b], ( x ) 0
1 0, 1 0, 2 0, 2 0
V CL2, [a; b]
( 1 1 0, 2 2 0)
b
(u1 , u2 ) ( x )u1 ( x )u2 ( x )dx
a

6.

Задача Штурма-Лиувилля
( p( x )u ') ' q( x )u
Lu( x )
( x)
D ( L) {u ( x ) C [a; b] :
1u(a ) 1u '(a ) 0,
2
2u(b) 2u '(b) 0}
ЗШЛ Lu u, u 0

7.

Задача Штурма-Лиувилля
Свойства оператора
1. Оператор L самосопряжен:
u, v D( L) ( Lu, v ) (u, Lv )
2. Интеграл энергии
(u D( L), 1 0, 2 0)
b
b
a
a
( Lu, u ) p( x ) | u '( x ) |2 dx q( x ) | u( x ) |2 dx
1
2
2
p(a ) | u( a ) |
p(b) | u(b) |2
1
2
3. Оператор L неположителен:
u D( L) ( Lu, u ) 0

8.

Задача Штурма-Лиувилля
b
b
a
a
( Lu, u ) p( x ) | u '( x ) |2 dx q( x ) | u( x ) |2 dx
2
p(b) | u(b) |2 ( 1 0, 2 0)
2
b
b
a
a
( Lu, u ) p( x ) | u '( x ) |2 dx q( x ) | u( x ) |2 dx
1
p( a ) | u( a ) |2 ( 1 0, 2 0)
1
b
b
a
a
( Lu, u) p( x ) | u '( x) |2 dx q( x ) | u( x ) |2 dx ( 1 0, 2 0)

9.

Задача Штурма-Лиувилля
Свойства собственных функций и собственных значений
1. Все собственные значения неположительны.
2. Собственные функции, отвечающие различным собственным
значениям ортогональны.
3. Каждое собственное значение – простое (кратности 1).
4. Ноль является собственным значением тогда и только тогда,
когда
q( x) 0, 1 0, 2 0
5. Собственными функциями, отвечающими нулевому
собственному значению, являются константы.
6. Множество всех собственных значений счетно.
7. Собственные функции, взятые по одной для каждого
собственного значения, образуют ортогональный базис.
8. Любая функция из D(L) раскладывается в равномерно
сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ЗШЛ
(теорема Стеклова).

10.

Задача Штурма-Лиувилля
u( x ) C[a; b] u( x ) ck uk ( x )
k 1
{uk ( x )} k 1 ОНБ собственных функций ЗШЛ
b
(u, uk )
1
ck
( x )u( x )uk ( x )dx
2
2
|| uk ||
|| uk || a
b
|| uk ||2 ( x ) | uk ( x ) |2 dx
a
u ( x ) C 2 [a; b],
1u ( a ) 1u '(a ) 0,
2u (b) 2u '(b) 0
ряд Фурье сходится равномерно
на всем отрезке [a;b]

11.

Задача Штурма-Лиувилля
Самосопряженность
b
( Lu, v ) ( x )
a
( p( x )u '( x )) ' q( x )u( x)
v( x )dx
( x)
b
b
b
a
a
a
( p( x )u '( x )) ' q( x )u( x)v( x) dx ( p( x)u '( x)) ' v( x)dx q( x)u( x)v( x)dx
b
b
( p( x)u '( x)) ' v( x)dx ( p( x)u '( x))v( x) p( x)u '( x)v '( x)dx
b
a
a
a
b
p(b)u '(b)v(b) p(a )u '(a ))v(a ) p( x )u '( x )v '( x )dx
a
b
b
a
a
( Lu, v ) p(b)u '(b)v(b) p(a )u '(a ))v(a ) p( x )u '( x )v '( x )dx q( x )u( x )v( x )dx

12.

Задача Штурма-Лиувилля
b
b
a
b
a
b
a
a
( Lu, v ) p(b)u '(b)v(b) p(a )u '(a ))v(a ) p( x )u '( x )v '( x )dx q( x )u( x )v( x )dx
( Lv, u) p(b)v '(b)u(b) p(a )v '(a ))u(a ) p( x )u '( x )v '( x )dx q( x )u( x )v( x )dx
( Lu, v ) (u, Lv ) ( Lu, v ) ( Lv, u)
p(b)u '(b)v(b) p(a )u '(a ))v (a ) p(b)v '(b)u(b) p(a )v '(a ))u(a )
p(b) u '(b)v (b) v '(b)u(b) p(a ) u '(a ))v (a ) v '(a ))u(a )
u(a ) u '(a )
1u(a ) 1u '(a ) 0
0 u '(a )v(a ) v '(a )u(a ) 0
v(a ) v '(a )
1v(a ) 1v '(a ) 0
u(b) u '(b)
2u(b) 2u '(b) 0
0 u '(b)v(b) v '(b)u(b) 0
v(b) v '(b)
2v(b) 2v '(b) 0
( Lu, v ) (u, Lv )

13.

Задача Штурма-Лиувилля
Интеграл энергии
b
b
a
a
( Lu, v ) p(b)u '(b)v(b) p(a )u '(a ))v(a ) p( x )u '( x )v '( x )dx q( x )u( x )v( x )dx
b
b
( Lu, u) p(b)u '(b)u(b) p(a )u '(a ))u(a ) p( x ) | u '( x ) | dx q( x ) | u( x ) |2 dx
2
a
1
u( a ), u '(b) 2 u(b)
1
2
1 0, 2 0 u( a ) 0, u '(b) 2 u(b)
2
1 0, 2 0 u '( a ) 1 u( a ), u(b) 0
1
1 0, 2 0 u '( a )
1u(a ) 1u '(a ) 0
2u(b) 2u '(b) 0
a
1 0, 2 0 u(a ) 0, u(b) 0

14.

Задача Штурма-Лиувилля
Неположительность
1 0, 2 0
b
b
( Lu, u) p( x ) | u '( x ) | dx q( x ) | u( x ) |2 dx
2
a
a
1
p(a ) | u(a ) |2 2 p(b) | u(b) |2 0
1
2
1 0, 2 0
b
b
( Lu, u) p( x ) | u '( x ) | dx q( x ) | u( x ) |2 dx
2
a
a
2
p(b) | u(b) |2 0
2
1 0, 2 0
b
b
( Lu, u) p( x ) | u '( x ) | dx q( x ) | u( x ) |2 dx
2
a
a
1
p(a ) | u(a ) |2 0
1
1 0, 2 0
b
b
( Lu, u) p( x ) | u '( x ) | dx q( x ) | u( x ) |2 dx 0
2
a
a

15.

Задача Штурма-Лиувилля
Неположительность собственных значений
Lu u, u 0
( Lu, u ) ( u, u ) (u, u ) || u ||2 0
0
2
|| u || 0
Ортогональность
Lu 1u, Lv 2v, 1 2
1 (u, v ) ( 1u, v ) ( Lu, v ) (u, Lv ) (u, 2v ) 2 (u, v )
( 1 2 )(u, v ) 0 (u, v ) 0

16.

Задача Штурма-Лиувилля
Простота собственных значений
( p( x )u ') ' q( x )u ( x )u
p( x )u '' p '( x )u ' ( q( x ) ( x ))u 0
u1 (b) u1 '(b)
2u1 (b) 2u1 '(b) 0
0
u2 (b) u2 '(b)
2u2 (b) 2u2 '(b) 0
u1 (b) u1 '(b)
u2 (b) u2 '(b)
W (u1 , u2 ) x b
W (u1, u2 ) x b 0 u1, u2 линейно зависимы

17.

Задача Штурма-Лиувилля
Характеристика нулевого собственного значения
q( x ) 0, 1 0, 2 0, u( x ) const
( p( x )u ') ' q( x )u ( p( x ) 0) ' 0 u
Lu
0 0 u
( x)
( x)
1u(a ) 1u '(a ) 0 const 1 0 0
2u(b) 2u '(b) 0 const 2 0 0

18.

Задача Штурма-Лиувилля
Lu 0 ( Lu, u ) 0
b
b
( Lu, u ) p( x ) | u '( x ) | dx q( x ) | u( x ) |2 dx
2
a
a
b
b
( Lu, u ) p( x ) | u '( x ) | dx q( x ) | u( x ) |2 dx
2
a
a
b
b
( Lu, u ) p( x ) | u '( x ) | dx q( x ) | u( x ) |2 dx
2
a
a
b
1
p( a ) | u( a ) |2 2 p(b) | u(b) |2
1
2
2
p(b) | u(b) |2 ( 1 0, 2 0)
2
1
p( a ) | u( a ) |2 ( 1 0, 2 0)
1
b
( Lu, u ) p( x ) | u '( x ) | dx q( x ) | u( x ) |2 dx ( 1 0, 2 0)
2
a
a
b
b
2
p
(
x
)
|
u
'(
x
)
|
dx 0,
2
q
(
x
)
|
u
(
x
)
|
dx 0
a
a

19.

Задача Штурма-Лиувилля
b
2
2
p
(
x
)
|
u
'(
x
)
|
dx
0
p
(
x
)
|
u
'(
x
)
|
0 u '( x ) 0 u const
a
b
b
b
a
a
a
0 q( x ) | u( x ) |2 dx q( x ) | const |2 dx | const |2 q( x )dx q( x ) 0
0 1u(a ) 1u '(a ) 1 const 1 0 1 const 1 0
0 2u(b) 2u '(b) 2 const 2 0 2 const 2 0
q( x) 0, 1 0, 2 0

20.

Задача Штурма-Лиувилля
ограниченная область в R n
граница области
xn
x2
x1
замыкание области
единичная внешняя нормаль к
x ( x1 , x2 ,..., xn ), ( x ) x
u u
u
u grad u ,
, ...,
x
x
x
2
n
1
(u u ( x1 , x2 ,..., xn ))
a1 a2
an
div a
+...+
x1 x2
xn
( a {a1 , a2 ,..., an })

21.

Задача Штурма-Лиувилля
div( p( x ) u ) q( x )u ( x )u, x
u
( x )u ( x ) 0, x
Задача: найти все значения параметра λ (собственное
значение), при которых система имеет нетривиальное
(не равное тождественно нулю) решение (собственная
функция).

22.

Задача Штурма-Лиувилля
Пример (n=1).
a
a
(a; b), {a; b}, [a; b]
b
b
a { 1}, b {1}
x
(a ) 1 , ( a ) 1 ,
( b ) 2 , ( b) 2
div( p( x ) u ) q( x )u ( x )u, x
u
(
x
)
u
(
x
)
0, x
div( p( x ) u ) ( p( x )u ') '
u
u
( a ) u '( a ),
(b) u '(b)
u
(
x
)
u
(
x
)
1u(a ) 1u '(a )
x a
u
(
x
)
u
(
x
)
2u(b) 2u '(b)
x b
( p( x )u ') ' q( x )u ( x )u, a x b
1u(a ) 1u '(a ) 0
u(b) u '(b) 0
2
2

23.

Задача Штурма-Лиувилля
Основные ограничения
p( x ) C 1 ( ), p( x ) 0
q( x ) C ( ), q( x ) 0
( x ) C ( ), ( x ) 0
( x ) 0, ( x ) 0
( ( x ) ( x ) 0)
V CL2, ( )
(u1 , u2 ) ( x )u1 ( x )u2 ( x )dx

24.

Задача Штурма-Лиувилля
div( p( x ) u ) q( x )u
Lu( x )
( x)
u
2
D ( L ) u ( x ) C ( ) : ( x )u ( x )
0
ЗШЛ Lu u, u 0

25.

Задача Штурма-Лиувилля
Свойства оператора
1. Оператор L самосопряжен:
u, v D( L) ( Lu, v ) (u, Lv )
2. Интеграл энергии
(u D( L), 1 0, 2 0)
( Lu, u ) p( x ) | u( x ) |2 dx q( x ) | u( x ) |2 dx
( x)
p( x ) | u( x ) |2 dS
( x)
0
3. Оператор L неположителен:
u D( L) ( Lu, u ) 0

26.

Задача Штурма-Лиувилля
Свойства собственных функций и собственных значений
1. Все собственные значения неположительны.
2. Собственные функции, отвечающие различным собственным
значениям ортогональны.
3. Каждое собственное значение имеет конечную кратность.
4. Ноль является собственным значением тогда и только тогда,
когда
q( x ) 0, ( x ) 0
5. Собственными функциями, отвечающими нулевому
собственному значению, являются константы.
6. Множество всех собственных значений счетно.
7. Из собственных функций можно составить ортогональный
базис.
8. Любая функция из D(L) раскладывается в равномерно
сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ЗШЛ
(теорема Стеклова).

27.

Задача Штурма-Лиувилля
u( x ) C ( ) u( x ) ck uk ( x )
k 1
{uk ( x )} k 1 ОНБ собственных функций ЗШЛ
(u, uk )
1
ck
( x )u( x )uk ( x )dx
2
2
|| uk ||
|| uk ||
|| uk ||2 ( x ) | uk ( x ) |2 dx
u( x ) C 2 ( ),
u
( x )u ( x )
0
ряд Фурье функции u( x )
сходится равномерно на

28.

Задача Штурма-Лиувилля
Формула Остроградского
xn
a
(a, )
(a, )
| |
a dS (diva )dx
x2
x1
div( a ) ( , a ) div a
( , ) ( )

29.

Задача Штурма-Лиувилля
Формулы Грина для оператора L
Первая формула Грина: u C 2 ( ), v C 1 ( )
u( x )
( Lu, v ) p( x )v ( x )
dS p( x )( u( x ), v( x ))dx q( x )u( x )v ( x )dx
Вторая формула Грина: u, v C 2 ( )
u( x )
v( x )
( Lu, v ) (u, Lv ) p( x ) v( x )
u( x )
dS
Третья формула Грина: u C 2 ( )
u( x )
( Lu, u ) p( x )u( x )
dS p( x ) | u( x ) |2 dx q( x ) | u( x ) |2 dx

30.

Задача Штурма-Лиувилля
div v ( x ) p ( x ) u ( x ) ( v ( x ), p( x ) u( x )) v ( x ) div p ( x ) u ( x )
div v ( x ) p ( x ) u ( x ) p ( x )( v ( x ), u ( x )) v ( x ) div p ( x ) u ( x )
div v( x) p( x ) u( x ) dx p( x )( v( x ), u( x ))dx v( x ) div p( x ) u( x ) dx
v( x) p( x ) u( x ) dS p( x )( v( x ), u( x))dx v( x ) div p( x ) u( x ) dx
v( x) p( x ) u( x ) dS p( x )( v( x ), u( x ))dx v( x ) div p( x ) u( x ) dx
v( x ) p( x )
u( x )
dS p ( x )( v ( x ), u ( x ))dx v ( x ) div p ( x ) u ( x ) dx
u( x )
v( x ) div p( x ) u( x ) dx v( x ) p( x ) dS p( x )( v( x), u( x ))dx

31.

Задача Штурма-Лиувилля
v( x) div p( x) u( x) dx v( x) p( x)
u( x )
dS p( x )( v( x ), u( x ))dx
v( x) div p( x) u( x) dx q( x)u( x)v( x)dx
v ( x ) p( x )
u( x )
dS p( x )( v ( x ), u( x ))dx q( x )u( x )v( x )dx
v( x ) div p( x ) u( x ) q( x )u( x ) dx
div p( x ) u( x ) q( x )u( x )
( x)
v ( x )dx ( Lu, v )
( x)
u( x)
( Lu, v ) p( x )v( x )
dS p( x )( u( x ), v( x ))dx q( x )u( x )v( x )dx

32.

Задача Штурма-Лиувилля
Частный случай: оператор Лапласа
p ( x ) 1, q( x ) 0, ( x ) 1
div( u)
2u 2u
2u
Lu
u 2 2 ... 2
1
x1 x2
xn
u( x )
v( x) u( x)dx v( x) dS ( u( x ), v( x))dx
v
(
x
)
u
(
x
)
u
(
x
)
v
(
x
)
dx
v( x )
u( x )
v ( x )
u( x )
dS
u( x )
2
u
(
x
)
u
(
x
)
dx
u
(
x
)
dS
|
u
(
x
)
|
dx

33.

Задача Штурма-Лиувилля
Самосопряженность
u( x )
v( x )
( Lu, v ) (u, Lv ) p( x ) v( x )
u( x )
dS
u
u
0
v v 0
u
v
u
0
v
v
u
v
u
0
( Lu, v ) (u, Lv ) 0 ( Lu, v ) (u, Lv )

34.

Задача Штурма-Лиувилля
Интеграл энергии
( Lu, u) p( x)u( x)
u( x )
dS p( x) | u( x) |2 dx q( x) | u( x) |2 dx
u
0
( x )u
u
, ( x) 0
(
x
)
u 0, ( x ) 0
( x )u ( x )
p ( x )u ( x )
p ( x )u ( x )
0
u( x )
u( x )
dS p( x )u( x )
dS
0
u( x )
( x )u ( x )
dS p( x )u( x)
dS
( x)
0
( x)
p( x ) | u( x ) |2 dS
( x)
( Lu, u ) p( x ) | u( x ) |2 dx q( x ) | u( x ) |2 dx
0

35.

Задача Штурма-Лиувилля
Неположительность
( x)
p( x ) | u( x ) |2 dS
( x)
( Lu, u ) p( x ) | u( x ) |2 dx q( x ) | u( x ) |2 dx
0
p( x ) 0,| u( x ) |2 0 p( x ) | u( x ) |2 dx 0
q( x ) 0,| u( x ) |2 0 q( x ) | u( x ) |2 dx 0
( x)
( x ) 0, ( x ) 0, p( x ) 0,| u( x ) | 0
p( x ) | u( x ) |2 dS 0
( x)
2
0
( Lu, u ) 0

36.

Задача Штурма-Лиувилля
Неположительность собственных значений
Lu u, u 0
( Lu, u ) ( u, u ) (u, u ) || u ||2 0
0
2
|| u || 0
Ортогональность
Lu 1u, Lv 2v, 1 2
1 (u, v ) ( 1u, v ) ( Lu, v ) (u, Lv ) (u, 2v ) 2 (u, v )
( 1 2 )(u, v ) 0 (u, v ) 0

37.

Задача Штурма-Лиувилля
Характеристика нулевого собственного значения
q( x ) 0, ( x) 0, u( x) const 0
div( p( x ) (const )) 0 const
Lu
0 0 u
( x)
u
(const )
( x )u ( x )
0 const ( x)
0
Lu 0 ( Lu, u ) 0
( x)
p( x ) | u( x ) |2 dS 0
( x)
p( x ) | u( x ) |2 dx q( x ) | u( x ) |2 dx
0

38.

Задача Штурма-Лиувилля
2
2
p
(
x
)
|
u
(
x
)
|
dx
0,
q
(
x
)
|
u
(
x
)
|
dx 0,
( x)
2
p
(
x
)
|
u
(
x
)
|
dS 0
( x)
0
2
2
p
(
x
)
|
u
(
x
)
|
dx
0
p
(
x
)
|
u
(
x
)
|
0 u( x ) 0 u const
0= q( x ) | u( x ) |2 dx q( x ) | const |2 dx | const |2 q( x )dx q( x ) 0
0 ( x )u ( x )
u
(const )
( x ) const ( x )
( x ) const ( x ) 0
q( x ) 0, ( x ) 0, u( x ) const

39.

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики.
Задача Штурма-Лиувилля.
Лекция 4 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Метод Фурье.
Лекция состоится в понедельник 28 ноября
В 12:00 по Московскому времени.