Электроемкость. Задачи

1.

Задача 1 Задача 3
Задача 2
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Задача 8
Теоретическое введение

2.

Электроемкость
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением
q C ,
где С – емкость уединенного проводника.
Емкость плоского конденсатора
C
0 S
d
,
где S – площадь каждой пластины конденсатора,
d – расстояние между пластинами.
Емкость сферического конденсатора
C
4 0 rR
,
R r
где r и R – радиусы внутренней и внешней сфер. В частном случае, когда R= ,
C 4 0 r - емкость уединенного шара.
Емкость цилиндрического конденсатора
C
2 0 L
,
ln R
r
где L – высота коаксиальных цилиндров,
r и R – радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.
Емкость системы конденсаторов:C C1 C2 C3
1
1
1
1
при параллельном соединении конденсаторов,
C C1 C2 C3
при последовательном соединении конденсаторов.

3.

Энергия уединенного заряженного проводника может быть найдена по одной из следующих форму
qU
CU 2
q2
W
,W
,W
.
2
2
2C
В случае плоского конденсатора энергия
W
0 SU 2
2d
,W
0 E 2 Sd
2
,W
2 Sd
,
2 0
где S – площадь каждой пластины конденсатора,
– поверхностная плотность заряда на пластинах,
U – разность потенциалов между пластинами,
d – расстояние между ними.
Величина
w
0 E 2
2
называется объемной плотностью энергии.
Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора
F
0 E 2 S
2
0 SU 2
2
2S
.
2 0

4.

Задача 1
Площадь пластин плоского воздушного конденсатора
S=1м2, расстояние между нимиd 1,5 мм.
Найти емкость С этого конденсатора.

5.

Задача 1
Решение:
Дано:
S 1м
d 1,5 мм
d
d
U
,
0
Полное
напряжение
2
где d – расстояние между пластинами.
1
0 8,85 10 12 Ф / м
полный заряд пластины:
С–?
q S ,
C
S
поэтому
0 S
q
.
U
d
E
Вычисления:
C
12
1 8,85 10 1
5,9 10 9 Ф
3
1,5 10
Ответ:
-q
емкость плоского воздушного конденсатора равна С=5,9 нФ.
+q

6.

Задача 2
Конденсатор предыдущей задачи заряжен до разности потенциалов U=300В.
Найти поверхностную плотность заряда на его пластинах.

7.

Задача 2
Решение:
Дано:
U 0 300В
S 1м
Напряженность поля в плоском
конденсаторе выражается формулой
2
1
E
0 8,85 10 12 Ф / м
d 1,5 10 3 м
d
.
0
U Edx
0
0
x
-?
S
x
dx
0
x.
0
Полная разность потенциалов U0
между электродами равна
U0
U
d 0 0 .
0
d
E
-q
+q
Вычисления:
8,85 10 12 300
Кл
1,77 10 6 2
3
1,5 10
м
Ответ:
поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора
1,77 10 6
Кл
.
м2

8.

Задача 3
Площадь пластин плоского воздушного конденсатора U1 300 В ,
расстояние между ними d=5 мм. К пластинам конденсатора приложена
разность потенциалов S 0,01 м2 . После отключения конденсатора от
источника напряжения пространство между пластинами конденсатора
заполняется эбонитом. Какова будет разность потенциалов между
пластинами после заполнения? Найти емкости конденсатора и
поверхностные плотности заряда на пластинах до и после заполнения.

9.

Задача 3
Дано:
S 0,01 м 2
q1=q2
d 5 мм
2 2,6
1 1
0 8,85 10 12 Ф / м
C1 ?; C 2 ?;
=1
q
const .
S
U
,
Т.к. E
0
d
d U1 0 1 , d U 2 0 2 .
-q
U1 1 U2 2 ,
1 ?; 2 ?
U2
C1
U1 1
2
0 1S
d
1 2
Ответ:
S
U1 300 B
U 2 ?;
d
Решение:
+q
d
.
, C2
Е
=2,6
0 2 S
d
S
.
q CU
.
S
S
-q
до и после заполнения эбонитом имеем
U 2 115 B; C2 46 пФ; C1 17,7 пФ; 1 2 531 10 9
Кл
.
2
м
Е
+q

10.

Задача 4
Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии
d=1 см друг от друга, приложена разность потенциалов U=100 В. К одной
из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического
бромистого таллия ( 173) толщиной d 0 9,5 мм . После отключения
конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают.
Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами
конденсатора?

11.

Задача 4
Решение:
Дано
:
d
q
q
U1 , U 2
.
C1
C2
d 0,01 м
U 1 100 В
U1
01 173
d 0 9,5 мм
U2 – ?
U1 U1 U 2 .
С
q1
q
2 .
C1 C2
1
1
1
C C1 C 2
1
1
,
C
Ci
q
U 1 q CU1 .
C
С
U2
0S
d
.
d
С
+q
Е
=1
01 0 SU1d
01U1d
q
.
C d 01 d 0 ( 01 1) 0 S d 01 d 0 ( 01 1)
Ответ:
01
(1)
q=q
U2
+
q
U1
01 0 SU1
.
Подставим (1) в (2), q
d 01 d 0 ( 01 1)
(2)
d0
-q
d d0
d0
1
.
C
0S
01 0 S
01 0 S
C
.
d 01 d 0 ( 01 1)
U1' U 2'
100 173 0,1
1,8 103 B .
3
173 0,01 172 9,5 10
разность потенциалов станет 1,8 кВ.
U2
-q

12.

Задача 5
Найти емкость С системы конденсаторов, изображенной на рисунке. Емкость
каждого конденсатора С=0,5 мкФ.
C1
C3
C2

13.

Задача 5
Дано:
C1
Решение:
С=0,5 мкФ
С рез. б . С1 С 2 ,
С–?
1
1
1
С рез. С рез. б. С3
C3
C2
1
1
1
С рез. С1 С2 С3
С рез.
С3 (С1 С2 ) 2 С 2 2
С.
С1 С2 С3 3 С 3
С
2
1
0,5 ( мкФ ).
3
3
Ответ:
емкость системы конденсаторов составляет
1
мкФ.
3

14.

Задача 6
При помощи электрометра сравнивали между собой емкости двух
конденсаторов. Для этого заряжали их до разностей потенциалов U1=300 В и
U2=100 В и соединяли оба конденсатора параллельно. Измеренная при этом
разность потенциалов между обкладками конденсатора оказалось равной U=250
В. Найти отношение емкостей С1 .
С2

15.

Задача 6
Дано:
U1 = 300 В
U2 = 100 В
U = 250 В
C1
?
C2
Решение:
q1 C1U1 ,
C1
q2 C2U 2 .
+
-
q q1 q2 .
q1 q2 q1 q2 .
q1 C1U ,
U1
(1)
q2 C2U ,
Подставив значения q1, q2, q1 , q2 в выражение (1), получим
C1U1 C2U 2 C1U C2U
C1
C
U1 U 2 1 U U
C2
C2
поделим на С2
C1
U U2
.
C2
U1 U
C1 250 100
3.
C2 300 250
Ответ:
отношение емкостей конденсаторов
C2
+
U2
-

16.

Задача 7
Пластины плоского конденсатора площадью S 0,01 м 2 каждая
притягиваются друг к другу с силой F=30 мН. Пространство между
пластинами заполнено слюдой. Найти заряды q, находящиеся на пластинах,
напряженность Е поля между пластинами и объемную плотность энергии поля.

17.

Задача 7
Решение:
Дано:
2S
F
.
2 0
S 0,01 м 2
F 30 мН
6
0 8,85 10
12
(1)
q
.
S
(2)
Подставим (2) в (1) и выразим q
Ф/ м
F
q, E , w0 ?
q2
2 0 S
q
2 0 FS .
Подставим в (4) выражение (2), получим
E
(3)
E
q
S 0
или E
.
0
(4)
2F
S 0
(5)
3) Объемная плотность энергии электрического поля определяется формулой
w0
0 E 2
2
.
(6)
Подставим (5) в (6)
E
w0
2 0 F
F
.
2 0 S
S
1,77 10 7
В
333 103
12
8,85 10 6 0,01
м
30 10 3
Н м Дж
Н
w0
3
3
м2
10 2
м3
м
Ответ:
q 1,77 10
заряд, находящийся на пластинах, равен
7
Кл
Е 333 103 В / м
, напряженность поля между пластинами составляет
w0 3 Дж / м
, объемная плотность энергии электрического поля равна
3

18.

Задача 8
Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, и на его пластины подана
некоторая разность потенциалов. Его энергия при этом W=20 мкДж. После
того, как конденсатор отключили от источника напряжения, диэлектрик
вынули из конденсатора. Работа, которую нужно было совершить против сил
электрического поля, чтобы вынуть диэлектрик, А=70 мкДж. Найти
диэлектрическую проницаемость диэлектрика.

19.

Задача 8
Е
Решение:
Дано:
q2
W
q 2 2CW . (1)
2C
q2
q2
q2
A W W2 W1
2C2 2C1
2
W 20 мкДж
А 70 мкДж
?
C1
0S
d
C2
(3)
1
1
. (2)
C2 C1
0S
(4)
-q
d
’
2
2 0 SW 0 S
d
W
( 1)
2
2
2d
d
0 S
W W ( 1)
W W
.
W
-q
A W
.
W
20 70
4,5.
20
Ответ:
+q
Е
Подставим (3), (4), (1) в выражение, получаем
0 S 0 S
2 0 SW d
d
W
2
2
2d
0 S
d2
U
диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна
4,5.
U
+q