Математическая логика
Математическая логика
Логика, высказывания
Высказывание или нет?
Логика и компьютер
Простые и составные высказывания
Операция НЕ (инверсия)
Операция И
Операция И (логическое умножение, конъюнкция)
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
Упрощение логических выражений
Построить таблицу истинности
Доказать тождества
Построить таблицу истинности
Построить таблицу истинности
Доказать тождество
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Математическая логика
Операции с двумя переменными
Импликация
Эквиваленция
Порядок вычисления
Построить таблицу истинности
Составьте таблицы истинности
Составьте таблицы истинности
Какое выражение соответствует F?
Какое выражение соответствует F?
Какое выражение соответствует F?
Математическая логика
ОГЭ1
ОГЭ2
ОГЭ3
ОГЭ4
ОГЭ5
ОГЭ6
ОГЭ7
ОГЭ 8
ОГЭ 9
ОГЭ 10
Самостоятельно
Конец фильма
Источники иллюстраций
1.81M
Category: informaticsinformatics

Логические элементы

1. Математическая логика

1
Математическая
логика
§ 8. Логика и компьютеры
§ 9. Логические элементы
§ 10. Другие логические операции
§ 11. Логические выражения
§ 12. Множества и логика
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

2. Математическая логика

2
Математическая
логика
§ 5. Логика и компьютер
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

3. Логика, высказывания

Математическая логика, 9 класс
3
Логика, высказывания
Логика (др.греч. λογικος) – это наука о том, как
правильно рассуждать, делать выводы,
доказывать утверждения.
Формальная логика отвлекается от
конкретного содержания, изучает только
истинность и ложность высказываний.
Аристотель
(384-322 до н.э.)
Логическое высказывание – это
повествовательное предложение, относительно
которого можно однозначно сказать, истинно оно
или ложно.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

4. Высказывание или нет?

Математическая логика, 9 класс
4
Высказывание или нет?
Сейчас идет дождь.
Жирафы летят на север.
История – интересный предмет.
У квадрата – 10 сторон и все разные.
Красиво!
В городе N живут 2 миллиона человек.
Который час?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

5. Логика и компьютер

Математическая логика, 9 класс
Логика и компьютер
5
двоичная логика
! Любое высказывание может быть ложно (0)
или истинно (1).
Логика изучает операции между 0 и 1!
! Связь с двоичным кодированием!
Алгебра логики — это математический
аппарат, с помощью которого
записывают, упрощают и преобразуют
логические высказывания, вычисляют
их значения.
Алгебра высказываний,
булева алгебра
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
Джордж Буль
http://kpolyakov.spb.ru

6. Простые и составные высказывания

Математическая логика, 9 класс
6
Простые и составные высказывания
A – Сейчас идет дождь.
B – Форточка открыта.
}
простые
высказывания
(элементарные)
Составные высказывания строятся из простых с
помощью логических связок (операций) «и», «или»,
«не», «если … то», «тогда и только тогда» и др.
AиB
Сейчас идет дождь и открыта форточка.
A или не B
Сейчас идет дождь или форточка закрыта.
если A, то B
Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.
A тогда и только
тогда, когда B
Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта
форточка.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

7. Операция НЕ (инверсия)

Математическая логика, 9 класс
7
Операция НЕ (инверсия)
Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и
наоборот.
А
не А
0
1
1
0
также
, not A
таблица
истинности
операции НЕ
Таблица истинности логического выражения Х – это
таблица, где в левой части записываются все
возможные комбинации значений исходных данных,
а в правой – значение выражения Х для каждой
комбинации.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

8. Операция И

Математическая логика, 9 класс
8
Операция И
Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда,
когда А и B истинны одновременно.
AиB
A
B
220 В
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

9. Операция И (логическое умножение, конъюнкция)

Математическая логика, 9 класс
9
Операция И (логическое умножение, конъюнкция)
0
1
2
3
A
B
АиB
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
также A·B, A and B
? Почему
умножение?
конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение
A и B = min(A, B)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

10. Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

Математическая логика, 9 класс
10
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
Высказывание «A или B» истинно тогда, когда
истинно А или B, или оба вместе.
A или B
A
B
220 В
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

11. Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

Математическая логика, 9 класс
11
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
A
B
А или B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
также: A+B, A or B
? Почему
сложение?
! 1+1=1
дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение
A и B = max(A, B)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

12. Упрощение логических выражений

Математическая логика, 9 класс
12
Упрощение логических выражений
Aи0=A∙0=0
Aи1=A∙1=A
A или 0 = A + 0 = A
A или 1 = A + 1 = 1
A и не A = A ∙ A = 0
A или (не A) = A + A = 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

13. Построить таблицу истинности

Математическая логика, 9 класс
13
Построить таблицу истинности
¬( x ∨ ¬y & z)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

14. Доказать тождества

Математическая логика, 9 класс
14
Доказать тождества
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

15. Построить таблицу истинности

Математическая логика, 9 класс
15
Построить таблицу истинности
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

16. Построить таблицу истинности

Математическая логика, 9 класс
16
Построить таблицу истинности
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

17. Доказать тождество

Математическая логика, 9 класс
17
Доказать тождество
x & y z x & y x & z
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

18. Задание 1

Математическая логика, 9 класс
18
Задание 1
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
Какое выражение соответствует F?
1) x1 ¬x2 x3 ¬x4 x5 x6 ¬x7
2) ¬x1 x2 ¬x3 x4 ¬x5 ¬x6 x7
3) ¬x1 x2 ¬x3 x4 x5 x6 x7
4) x1 ¬x2 x3 ¬x4 ¬x5 ¬x6 ¬x7
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
x1
x2
0
1
x3 x4 x5 x6 x7
1 1 1 1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
F
1
http://kpolyakov.spb.ru

19. Задание 2

Математическая логика, 9 класс
19
Задание 2
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

20. Задание 3

Математическая логика, 9 класс
20
Задание 3
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

21. Задание 4

Математическая логика, 9 класс
21
Задание 4
Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:
Каким выражением может быть F?
1) x1 ¬x2 x3 ¬x4 x5 x6 ¬x7 ¬x8
2) x1 x2 x3 ¬x4 ¬x5 ¬x6 ¬x7 x8
3) ¬x1 x2 ¬x3 x4 x5 ¬x6 ¬x7 ¬x8
4) x1 ¬x2 ¬x3 ¬x4 ¬x5 ¬x6 ¬x7 ¬x8
x1
x2
X3
0
x4
1
x6
х7
1
x8
1
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
x5
0
F
1
1
0
http://kpolyakov.spb.ru

22. Задание 5

Математическая логика, 9 класс
22
Задание 5
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

23. Математическая логика

23
Математическая
логика
§ 7. Другие логические
операции
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

24. Операции с двумя переменными

Математическая логика, 9 класс
24
Операции с двумя переменными
? Сколько всего?
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
F
?
?
?
?
0 или 1
24 = 16
http://kpolyakov.spb.ru

25. Импликация

Математическая логика, 9 класс
25
Импликация
A
X=A B
X = Если идёт дождь, то
Лена раскрывает зонтик.
B
Импликация A → B истинна, если не исключено,
что из A следует B.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
F
1
1
0
1
Идёт дождь, но Лена
не раскрыла зонтик.
http://kpolyakov.spb.ru

26. Эквиваленция

Математическая логика, 9 класс
26
Эквиваленция
Высказывание «A B» истинно тогда и только
тогда, когда А и B равны.
A
0
0
1
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
B
0
1
0
1
А B
1
0
0
1
http://kpolyakov.spb.ru

27. Порядок вычисления

Математическая логика, 9 класс
27
Порядок вычисления
• скобки
• НЕ
•И
• ИЛИ , исключающее ИЛИ
• импликация
• эквиваленция
X A B (A B B )
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

28. Построить таблицу истинности

Математическая логика, 9 класс
28
Построить таблицу истинности
¬x→ (y → ¬z)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

29. Составьте таблицы истинности

Математическая логика, 9 класс
29
Составьте таблицы истинности
p q q q p
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

30. Составьте таблицы истинности

Математическая логика, 9 класс
30
Составьте таблицы истинности
x y x& y
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

31. Какое выражение соответствует F?

Математическая логика, 9 класс
31
Какое выражение соответствует F?
1) (A → ¬B) C
2) (¬A B) C
3) (A B) → C
4) (A B) → C
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

32. Какое выражение соответствует F?

Математическая логика, 9 класс
32
Какое выражение соответствует F?
1) X → Z Y
2) ¬Z →(X → Y)
3) ¬(X Y) Z
4) ¬X ¬(Y Z)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

33. Какое выражение соответствует F?

Математическая логика, 9 класс
33
Какое выражение соответствует F?
1) (X ≡ Z) (¬X → Y)
2) (¬X ≡ Z) (¬X → Y)
3) (X ≡ ¬Z) (¬X → Y) 4) (X ≡ Z) ¬(Y → Z)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

34. Математическая логика

34
Математическая
логика
§ 8. Логические выражения
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

35. ОГЭ1

Математическая логика, 9 класс
35
ОГЭ1
Для скольких значений числа X истинно
высказывание:
R = (X < 5) И НЕ (X < 1) ?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

36. ОГЭ2

Математическая логика, 9 класс
36
ОГЭ2
Для каких из указанных значений числа X
ЛОЖНО высказывание:
(НЕ (X ≥ 3) И НЕ (X = 8)) ИЛИ (X ≤ 5) ?
X = 4:
X = 1:
X = 8:
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

37. ОГЭ3

Математическая логика, 9 класс
37
ОГЭ3
Для каких из приведённых имён ЛОЖНО
высказывание:
(Первая буква согласная)
НЕ(Первая буква гласная) ИЛИ
(Последняя буква гласная) ?
Результат
Никита
Антон
Даниил
Инна
Кирилл
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

38. ОГЭ4

Математическая логика, 9 класс
38
ОГЭ4
Напишите наибольшее целое число x, для которого
истинно высказывание:
НЕ (X чётное) И НЕ (X >= 7)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

39. ОГЭ5

Математическая логика, 9 класс
39
ОГЭ5
Напишите наименьшее целое число x, для которого
истинно высказывание:
НЕ (X <= 8) И НЕ (X >= 15) И (X чётное).
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

40. ОГЭ6

Математическая логика, 9 класс
40
ОГЭ6
Напишите наименьшее число x, для которого
истинно высказывание:
НЕ (x < 45) И НЕ (в числе x нет одинаковых цифр)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

41. ОГЭ7

Математическая логика, 9 класс
41
ОГЭ7
Напишите наибольшее число x, для которого ложно
высказывание:
НЕ (x ≤ 71) ИЛИ (x не делится на 7)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

42. ОГЭ 8

Математическая логика, 9 класс
42
ОГЭ 8
Напишите наименьшее число x, для которого истинно
высказывание:
(x не равно 16) И (x кратно 16) И НЕ (x имеет не
менее 3 цифр)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

43. ОГЭ 9

Математическая логика, 9 класс
43
ОГЭ 9
Напишите сумму наименьшего и наибольшего числа x,
для которого ложно высказывание:
НЕ (x трехзначное число) ИЛИ НЕ (x четное число)
ИЛИ (x оканчивается на 8) ИЛИ (x кратно 3)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

44. ОГЭ 10

Математическая логика, 9 класс
44
ОГЭ 10
Напишите наименьшее натуральное число x, для
которого истинно высказывание:
((X < 5) → (X < 3)) /\ ((X < 2) → (X > 1))
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

45. Самостоятельно

Математическая логика, 9 класс
45
Самостоятельно
I вариант
Напишите наибольшее целое число x, для
которого истинно высказывание:
НЕ (X <= 11) И НЕ (X >= 17) И (X нечётное).
II вариант
Напишите наименьшее целое число x, для
которого истинно высказывание:
НЕ (X <= 8) И НЕ (X >= 15) И (X чётное).
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

46. Конец фильма

Математическая логика, 9 класс
46
Конец фильма
ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич
д.т.н., учитель информатики
ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург
[email protected]
ЕРЕМИН Евгений Александрович
к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной
дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь
[email protected]
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

47. Источники иллюстраций

Математическая логика, 9 класс
47
Источники иллюстраций
1.
2.
иллюстрации художников издательства «Бином»
авторские материалы
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru
English     Русский Rules