Логические основы компьютеров (§18 - §25)

1. Логические основы компьютеров

1
Логические основы
компьютеров
§ 18. Логика и компьютер
§ 19. Логические операции
§ 20. Диаграммы
§ 21. Упрощение логических выражений
§ 22. Синтез логических выражений
§ 23. Предикаты и кванторы
§ 24. Логические элементы компьютера
§ 25. Логические задачи
Задачи ЕГЭ
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

2. Логические основы компьютеров

2
Логические
основы
компьютеров
§ 18. Логика и компьютер
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

3. Логика, высказывания

Логические основы компьютеров, 10 класс
3
Логика, высказывания
Логика (др.греч. λογικος) – это наука о том, как
правильно рассуждать, делать выводы,
доказывать утверждения.
Формальная логика отвлекается от
конкретного содержания, изучает только
истинность и ложность высказываний.
Аристотель
(384-322 до н.э.)
Логическое высказывание – это
повествовательное предложение, относительно
которого можно однозначно сказать, истинно оно
или ложно.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

4. Высказывание или нет?

Логические основы компьютеров, 10 класс
4
Высказывание или нет?
Сейчас идет дождь.
Жирафы летят на север.
История – интересный предмет.
У квадрата – 10 сторон и все разные.
Красиво!
В городе N живут 2 миллиона человек.
Который час?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

5. Логика и компьютер

Логические основы компьютеров, 10 класс
5
Логика и компьютер
Двоичное кодирование – все виды информации
кодируются с помощью 0 и 1.
Задача – разработать оптимальные правила
обработки таких данных.
Почему «логика»?
Результат выполнения операции можно
представить как истинность (1) или ложность (0)
некоторого высказывания.
Джордж Буль разработал основы алгебры,
в которой используются только 0 и 1
(алгебра логики, булева алгебра).
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

6. Логические основы компьютеров

6
Логические
основы
компьютеров
§ 19. Логические операции
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

7. Обозначение высказываний

Логические основы компьютеров, 10 класс
7
Обозначение высказываний
A – Сейчас идет дождь.
B – Форточка открыта.
!
}
простые высказывания
(элементарные)
Любое высказывание может быть ложно (0)
или истинно (1).
Составные высказывания строятся из простых с
помощью логических связок (операций) «и», «или»,
«не», «если … то», «тогда и только тогда» и др.
AиB
A или не B
Сейчас идет дождь и открыта форточка.
Сейчас идет дождь или форточка закрыта.
если A, то B
Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.
A тогда и только
тогда, когда B
Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта
форточка.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

8. Операция НЕ (инверсия)

Логические основы компьютеров, 10 класс
8
Операция НЕ (инверсия)
Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и
наоборот.
также A , A ,
А
не А
0
1
1
0
not A (Паскаль),
! A (Си)
таблица
истинности
операции НЕ
Таблица истинности логического выражения Х – это
таблица, где в левой части записываются все
возможные комбинации значений исходных данных,
а в правой – значение выражения Х для каждой
комбинации.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

9. Операция И

Логические основы компьютеров, 10 класс
9
Операция И
Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда,
когда А и B истинны одновременно.
AиB
A
B
220 В
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

10. Операция И (логическое умножение, конъюнкция)

Логические основы компьютеров, 10 класс
10
Операция И (логическое умножение, конъюнкция)
0
1
2
3
A
B
АиB
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
также: A·B, A B,
A and B (Паскаль),
A && B (Си)
A B
конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

11. Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

Логические основы компьютеров, 10 класс
11
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
Высказывание «A или B» истинно тогда, когда
истинно А или B, или оба вместе.
A или B
A
B
220 В
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

12. Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

Логические основы компьютеров, 10 класс
12
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
A
B
А или B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
также: A+B, A B,
A or B (Паскаль),
A || B (Си)
дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

13. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
13
Задачи
В таблице приведены запросы к поисковому серверу.
Расположите номера запросов в порядке возрастания
количества страниц, которые найдет поисковый
сервер по каждому запросу. Для обозначения логической
операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для
логической операции «И» – &.
1) принтеры & сканеры & продажа
2) принтеры & продажа
3) принтеры | продажа
4) принтеры | сканеры | продажа
1234
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

14. Операция «исключающее ИЛИ»

Логические основы компьютеров, 10 класс
14
Операция «исключающее ИЛИ»
Высказывание «A B» истинно тогда, когда истинно А
или B, но не оба одновременно (то есть A B).
«Либо пан, либо пропал».
A
B
А B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
также:
A xor B (Паскаль),
A ^ B (Си)
арифметическое
сложение, 1+1=2
остаток
сложение по модулю 2: А B = (A + B) mod 2
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

15. Свойства операции «исключающее ИЛИ»

Логические основы компьютеров, 10 класс
15
Свойства операции «исключающее ИЛИ»
A A= 0
(A B) B = ?
A 0= A
A 1= A
A B A B A B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
0
0
1
0
A B A B A B А B
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
http://kpolyakov.spb.ru

16. Импликация («если …, то …»)

Логические основы компьютеров, 10 класс
16
Импликация («если …, то …»)
Высказывание «A B» истинно, если не
исключено, что из А следует B.
A – «Работник хорошо работает».
B – «У работника хорошая зарплата».
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
А B
1
1
0
1
A B A B
http://kpolyakov.spb.ru

17. Импликация («если …, то …»)

Логические основы компьютеров, 10 класс
17
Импликация («если …, то …»)
«Если Вася идет гулять, то Маша сидит дома».
A – «Вася идет гулять».
A
B
А
B
B – «Маша сидит дома».
A B 1
?
А если Вася не идет
гулять?
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Маша может пойти гулять
(B=0), а может и не пойти (B=1)!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

18. Эквивалентность («тогда и только тогда, …»)

Логические основы компьютеров, 10 класс
18
Эквивалентность («тогда и только тогда, …»)
Высказывание «A B» истинно тогда и только
тогда, когда А и B равны.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А B
1
0
0
1
A B A B A B A B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

19. Базовый набор операций

Логические основы компьютеров, 10 класс
19
Базовый набор операций
С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно
реализовать любую логическую операцию.
И
ИЛИ
НЕ
базовый набор операций
?
Сколько всего существует логических операции
с двумя переменными?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

20. Штрих Шеффера, «И-НЕ»

Логические основы компьютеров, 10 класс
20
Штрих Шеффера, «И-НЕ»
A | B A B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А|B
1
1
1
0
Базовые операции через «И-НЕ»:
A A|A
A B A | B (A | B) | (A | B)
A B A | B (A | A) | (B | B)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

21. Стрелка Пирса, «ИЛИ-НЕ»

Логические основы компьютеров, 10 класс
21
Стрелка Пирса, «ИЛИ-НЕ»
A B A B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А↓B
1
0
0
0
Базовые операции через «ИЛИ-НЕ»:
!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Самостоятельно…
http://kpolyakov.spb.ru

22. Формализация

Логические основы компьютеров, 10 класс
22
Формализация
Прибор имеет три датчика и может работать, если два из
них исправны. Записать в виде формулы ситуацию
«авария».
A – «Датчик № 1 неисправен».
B – «Датчик № 2 неисправен».
Формализация – это
переход к записи на
C – «Датчик № 3 неисправен».
формальном языке!
Аварийный сигнал:
X – «Неисправны два датчика».
X – «Неисправны датчики № 1 и № 2» или
«Неисправны датчики № 1 и № 3» или
«Неисправны датчики № 2 и № 3».
логическая
формула
X A B A C B C
!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

23. Вычисление логических выражений

Логические основы компьютеров, 10 класс
23
Вычисление логических выражений
1
4
2
5
3
X A B A C B C
+
Порядок вычислений:
•скобки
•НЕ
•И
•ИЛИ, исключающее ИЛИ
•импликация
•эквивалентность
A
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
+
B
A
B
C
С
http://kpolyakov.spb.ru

24. Составление таблиц истинности

Логические основы компьютеров, 10 класс
24
Составление таблиц истинности
X A B A B B
0
1
2
3
A
B
A·B
A B
B
X
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Логические выражения могут быть:
• тождественно истинными (всегда 1, тавтология)
• тождественно ложными (всегда 0, противоречие)
• вычислимыми (зависят от исходных данных)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

25. Составление таблиц истинности

Логические основы компьютеров, 10 класс
25
Составление таблиц истинности
X A B A C B C
0
1
2
3
4
5
6
7
A
B
C
A∙B
A∙C
B∙C
X
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

26. Задачи (таблица истинности)

Логические основы компьютеров, 10 класс
26
Задачи (таблица истинности)
Символом F обозначено одно из
указанных ниже логических выражений
от трех аргументов: X, Y, Z. Дан
фрагмент таблицы истинности
выражения F. Какое выражение
соответствует F?
1) X Y Z
1) ¬X ¬Y ¬Z
2) X Y Z
2) X Y Z
3) X Y Z
3) X Y Z
4) X Y Z
4) ¬X ¬Y ¬Z
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
X
1
0
1
Y
0
0
1
Z
0
0
1
F
1
1
0
http://kpolyakov.spb.ru

27. Логические основы компьютеров

27
Логические
основы
компьютеров
§ 20. Диаграммы
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

28. Диаграммы Венна (круги Эйлера)

Логические основы компьютеров, 10 класс
28
Диаграммы Венна (круги Эйлера)
A
A
A
B
B
A·B
A
A+B
A
A
A
B
B
A B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
A B
B
A B
http://kpolyakov.spb.ru

29. Диаграмма с тремя переменными

Логические основы компьютеров, 10 класс
29
Диаграмма с тремя переменными
Хочу
Могу
3
2
1
5
6
4
7
8
1 M X H
5 M X H
2 M X H
6 M X H
3 M X H
7 M X H
4 M X H
8 M X H
Надо
3 4 M X H M X H
!
3 4 X H
Логические выражения можно упрощать!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

30. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
30
Задачи
Известно количество сайтов, которых находит
поисковый сервер по следующим запросам :
Запрос
огурцы
помидоры
огурцы & помидоры
Количество сайтов
100
200
50
Сколько сайтов будет найдено по запросу
огурцы | помидоры
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

31. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
31
Задачи
A
B
NA|B = NA+ NB
50
огурцы & помидоры
A
B
NA|B = NA+ NB – NA&B
огурцы | помидоры
250
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
огурцы
помидоры
100
200
http://kpolyakov.spb.ru

32. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
32
Задачи
Известно количество сайтов, которых находит
поисковый сервер по следующим запросам :
Количество
сайтов
Запрос
Динамо & Рубин
Спартак & Рубин
(Динамо | Спартак) & Рубин
320
280
430
Сколько сайтов будет найдено по запросу
Динамо & Спартак & Рубин
!
Общее условие с & можно отбросить !
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

33. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
33
Задачи
Известно количество сайтов, которых находит
поисковый сервер по следующим запросам :
Запрос
Динамо
Спартак
Динамо | Спартак
Количество
сайтов
320
280
430
Сколько сайтов будет найдено по запросу
Динамо & Спартак
Ответ: 320 + 280 – 430 = 170
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

34. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
35
Задачи
Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000
сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме
составил таблицу ключевых слов для сайтов этого
сегмента. Вот ее фрагмент:
Ключевое слово
сканер
принтер
монитор
Количество сайтов, для которых
данное слово является ключевым
200
250
450
Сколько сайтов будет найдено по запросу
(принтер | сканер) & монитор
если по трем следующим запросам найдено:
принтер | сканер
– 450 сайтов,
принтер & монитор
– 40 сайтов
сканер & монитор
– 50 сайтов.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

35. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
36
Задачи
(принтер | сканер) & монитор = ?
А (сканер)
B (принтер)
450
принтер | сканер
0
NA|B = NA+ NB – NA&B
сканер
200
принтер
250
принтер
сканер
принтер & монитор = 40
50
40
сканер & монитор = 50
монитор
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
40 + 50 = 90
http://kpolyakov.spb.ru

36. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
37
Сложная задача
Ниже приведены запросы и количество страниц, которые нашел
поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте
Интернета:
мезозой
500
кроманьонец
600
неандерталец
700
мезозой | кроманьонец
800
мезозой | неандерталец
1000
неандерталец & (мезозой | кроманьонец) 200
Сколько страниц будет найдено по запросу
кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

37. Сложная задача

38
Логические
основы
компьютеров
§ 21. Упрощение логических
выражений
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

38. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
39
Законы алгебры логики
название
для И
для ИЛИ
A A
двойного отрицания
A A 0
A A 1
операции с
константами
A 0 0, A 1 A
A 0 A, A 1 1
повторения
A A A
A A A
исключения третьего
поглощения
переместительный
A ( A B) A
A A B A
A B B A
A B B A
сочетательный
A (B C) ( A B) C A (B C) ( A B) C
распределительный
A B C ( A B) ( A C)
A (B C) A B A C
законы де Моргана
A B A B
A B A B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

39. Законы алгебры логики

Логические основы компьютеров, 10 класс
40
Упрощение логических выражений
Шаг 1. Заменить операции на их выражения
через И, ИЛИ и НЕ:
A B A B A B
A B A B
A B A B A B
Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по
формулам де Моргана:
A B A B,
A B A B
Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение,
стараясь применять закон исключения третьего.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

40. Упрощение логических выражений

Логические основы компьютеров, 10 класс
41
Упрощение логических выражений
Q M X H M X H (M M ) X H X H
X (B A) (A B) (A C)
( B A) (A B) (A C)
формула де Моргана
( B A) A B (A C)
( B A A A ) B (A C)
B A B (A C)
B A (A C)
B A
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
раскрыли
распределительный
исключения третьего
повторения
поглощения
http://kpolyakov.spb.ru

41. Упрощение логических выражений

Логические основы компьютеров, 10 класс
42
Задачи (упрощение)
Какое логическое выражение равносильно выражению
A ¬(¬B C)?
1) ¬A ¬B ¬C
1)A B C
2) A ¬B ¬C
2) A B C
3) A B ¬C
3) A B C
4) A ¬B C
4) A B C
A ( B C) A B C A B C
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

42. Задачи (упрощение)

Логические основы компьютеров, 10 класс
43
Логические уравнения
A B A B C 1
A B 1
A=1, B=0, C=1
или
A=0, B=1, C – любое
2 решения: (0, 1, 0), (0, 1, 1)
A B C 1
!
Всего 3 решения!
K L M L N K L M 1
K=1, L=1,
M и N – любые
4 решения
M=1, L=1, N=1,
K – любое
2 решения
L (K M N) 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
K=1, L=1, M=0,
N – любое
2 решения
!
Всего 5 решений!
http://kpolyakov.spb.ru

43. Логические уравнения

44
Логические
основы
компьютеров
§ 22. Синтез логических
выражений
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

44. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
45
Синтез логических выражений
A B
X
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
A B
A B
A B
Шаг 1. Отметить строки в
таблице, где X = 1.
Шаг 2. Для каждой из них
записать логическое
выражение, которое истинно
только для этой строки.
Шаг 3. Сложить эти выражения и
упростить результат.
распределительный
X A B A B A B A (B B) A B
A A B ( A A) ( A B) A B
исключения
третьего
распределительный
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
исключения
третьего
http://kpolyakov.spb.ru

45. Синтез логических выражений

Логические основы компьютеров, 10 класс
46
Синтез логических выражений (2 способ)
A B
X
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
A B
Шаг 1. Отметить строки в
таблице, где X = 0.
Шаг 2. Для каждой из них
записать логическое
выражение, которое истинно
только для этой строки.
Шаг 3. Сложить эти выражения и
упростить результат, который
равен X .
Шаг 4. Сделать инверсию.
X A B X A B A B
?
Когда удобнее применять 2-ой способ?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

46. Синтез логических выражений (2 способ)

Логические основы компьютеров, 10 класс
47
Синтез логических выражений (3 способ)
A B
X
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
A B
A B
Шаг 1. Отметить строки в
таблице, где X = 0.
Шаг 2. Для каждой из них
записать логическое
выражение, которое ложно
только для этой строки.
Шаг 3. Перемножить эти
выражения и упростить
результат.
X (A B) ( A B) A A B A A B B B
B (A A) B B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

47. Синтез логических выражений (3 способ)

Логические основы компьютеров, 10 класс
48
Синтез логических выражений
A
B C
X
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
X A B C A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C A B C
A B C A B C
A B ( C C)
A B ( C C)
A C ( B B)
A B A B A C
A (B B) A C
A A C
(A A) (A C) A C
http://kpolyakov.spb.ru

48. Синтез логических выражений

Логические основы компьютеров, 10 класс
49
Синтез логических выражений (2 способ)
A
B C
X
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
X A B C A B C
A C ( B B)
A C
X A C A C
A B C
A B C
!
3-й способ –
самостоятельно.
http://kpolyakov.spb.ru

49. Синтез логических выражений (2 способ)

Логические основы компьютеров, 10 класс
50
Логические уравнения
x1 x2 x3 x4 x5 0
00000
Запрещены 1!
x1 x2 x3 x4 x5 1
11111
Запрещены 0!
( x1 x2 ) ( x3 x4 ) 1
Запрещены 00** и **00!
x1 x2 x3 x4
пары битов:
3 3
0101 1001 1101
0110 1010 1110
0111 1011 1111
9 решений!
3
01, 10, 11
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

50. Логические уравнения

Логические основы компьютеров, 10 класс
51
Логические уравнения
( x1 x2 ) ( x3 x4 ) 0
4 переменные – всего 24 = 16 вариантов
для уравнения с 1 в правой части – 9 решений
16 – 9 = 7 решений!
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x9 x10 ) 1
соседние биты одинаковые – все биты одинаковые
0000000000
1111111111
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x9 x10 ) 1
соседние биты разные – биты чередуются
0101010101 1010101010
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

51. Логические уравнения

Логические основы компьютеров, 10 класс
52
Логические уравнения
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x5 x6 ) 1
«запрещена комбинация 10»
«после первой единицы все следующие биты – 1»
«все нули, потом все единицы»
Решения: 000000, 000001, 000011, 000111,
001111, 011111, 111111
Для уравнения с N переменными: N+1 решений.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

52. Логические уравнения

Логические основы компьютеров, 10 класс
53
Системы логических уравнений
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ... ( x5 x6 ) 1
7 решений
( y1 y2 ) ( y2 y3 ) ... ( y4 y5 ) 1
6 решений
!
Уравнения независимы!
всего 7 6 = 42 решения!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

53. Системы логических уравнений

Логические основы компьютеров, 10 класс
54
Системы логических уравнений
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ... ( x5 x6 ) 1
7 решений
( y1 y2 ) ( y2 y3 ) ... ( y4 y5 ) 1
6 решений
y 2 x4 1
уравнение связи
y2 0 x4 {0, 1} X:
000000
y2 1 x4 1
000001
всего 7 4 + 4 2
= 36 решений!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
000011
000111
001111
011111
111111
Y:
00000
00001
00011
00111
01111
11111
7
7
7
7
4
4
http://kpolyakov.spb.ru

54. Системы логических уравнений

Логические основы компьютеров, 10 класс
55
Системы логических уравнений
( x1 y1 ) ( x2 y2 )
( x2 y2 ) ( x3 y3 )
...
( x8 y8 ) ( x9 y9 )
Замена переменных:
z1 ( x1 y1 )
z2 ( x2 y2 )
…
z9 ( x9 x9 )
z1 z 2 , z2 z3, z8 z9
z1 z 2 , z2 z3, z8 z9
( z1 z2 ) ( z2 z3 ) ( z2 z3 ) ( z8 z9 ) 1
!
Биты чередуются!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Решения: Z = 010101010,
Z = 101010101
http://kpolyakov.spb.ru

55. Системы логических уравнений

Логические основы компьютеров, 10 класс
56
Системы логических уравнений
Решения: Z = 010101010,
Z = 101010101
zi ( xi yi )
9 битов
zi 0 ( xi , yi ) (0,1) (1,0)
zi 1 ( xi , yi ) (0,0) (1,1)
!
0 и 1 дают по
2 решения!
29 + 29 = 1024
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

56. Системы логических уравнений

Логические основы компьютеров, 10 класс
57
Системы логических уравнений
( x1 y1 ) ( x2 y2 )
( x2 y2 ) ( x3 y3 )
Замена переменных:
z1 ( x1 y1 )
z 2 ( x2 y 2 )
...
( x5 y5 ) ( x6 y6 )
z6 ( x6 y6 )
( z1 z2 ) ( z2 z3 ) ( z5 z6 ) 1
«биты чередуются»
Решения: 010101, 101010
zi 1 ( xi , yi ) (1,1)
Ответ: 33+33= 54
zi 0 ( xi , yi ) (0,0)(0,1)(1,0)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

57. Системы логических уравнений

58
Логические
основы
компьютеров
§ 23. Предикаты и кванторы
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

58. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
59
Предикаты
Предикат (логическая функция) – это утверждение,
содержащее переменные.
Предикат-свойство – от одной переменной:
P(N) = «В городе N живут более 2 млн человек»
P(Москва) = 1
P(Якутск) = 0
Простое(x) = «x – простое число»
Спит(x) = «x всегда спит на уроке»
Предикат-отношение – от нескольких переменных:
Больше(x, y) = «x > y»
Живет(x, y) = «x живет в городе y»
Любит(x, y) = «x любит y»
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

59. Предикаты

Логические основы компьютеров, 10 класс
60
Предикаты и кванторы
Предикаты задают множества:
P( x ) ( x 0)
P( x, y ) ( x y 1)
Предикаты, которые всегда истинны:
P( x) ( x 2 0) для всех вещественных чисел
«Для любого допустимого x утверждение P(x)
истинно»:
квантор
x P(x )
высказывание
Квантор – знак, обозначающий количество.
А
(all – все)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
E
(exists – существует)
http://kpolyakov.spb.ru

60. Предикаты и кванторы

Логические основы компьютеров, 10 класс
61
Кванторы
Какой квантор использовать?
моря соленые».
« …
кошки серые».
« …
числа чётные».
« …
« …
окуни – рыбы».
прямоугольники – квадраты».
« …
квадраты – прямоугольники».
« …
Истинно ли высказывание?
x P(x ) при P( x ) ( x 0)
x P(x ) при P( x ) ( x 0)
x P(x ) при P( x) ( x 2 0)
x P(x ) при P( x) ( x 2 0)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

61. Кванторы

Логические основы компьютеров, 10 класс
62
Кванторы
Дано:
A = «Все люди смертны» = 1.
B = «Сократ – человек» = 1.
Доказать:
C = «Сократ смертен» = 1.
Доказательство:
A
0
0
B
0
1
А B
1
1
1
1
0
1
0
1
P(x) = «x – человек»
Q(x) = «x – смертен»
x (P( x ) Q( x))
A = 1:
P( Сократ ) Q( Сократ) 1
при «x =Сократ»
P( Сократ ) 1
B = 1:
по свойствам импликации Q( Сократ ) 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

62. Кванторы

Логические основы компьютеров, 10 класс
63
Несколько кванторов
Квантор связывает одну переменную:
x P( x, y ) – предикат от переменной y
y P( x, y ) – предикат от переменной x
Два квантора связывают две переменных:
x y P( x, y ) – высказывание «для любого x
существует y, при котором P(x,y)=1»
x y P( x, y ) – высказывание «существует x, такой
что при любом y верно P(x,y)=1»
Сравните два последних высказывания при:
P( x, y ) ( x y 0)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
P( x, y ) ( x y 0)
http://kpolyakov.spb.ru

63. Несколько кванторов

Логические основы компьютеров, 10 класс
64
Отрицание
НЕ «для любого x выполняется P(x)»
«существует x, при котором не выполняется P(x)»
x P(x) x P(x)
НЕ «существует x, при котором выполняется P(x)»
«для любого x не выполняется P(x)»
x P(x) x P(x)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

64. Отрицание

65
Логические
основы
компьютеров
§ 24. Логические элементы
компьютера
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

65. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
66
Логические элементы компьютера
значок инверсии
A
A
A
&
A
A B
B
НЕ
B
И
A
&
B
A B
A B
1
ИЛИ
A
1
A B
B
И-НЕ
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
ИЛИ-НЕ
http://kpolyakov.spb.ru

66. Логические элементы компьютера

Логические основы компьютеров, 10 класс
67
Логические элементы компьютера
Любое логическое выражение можно реализовать на
элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ.
И: A B A B
НЕ: A A A A A
A
&
A
A
ИЛИ:
B
A
&
& A B
A
A B A B
&
B
A B
&
A B
&
B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

67. Логические элементы компьютера

Логические основы компьютеров, 10 класс
68
Составление схем
последняя операция - ИЛИ
X A B A B C
И
A
B
A
B
&
A
B
& A B
A B
A B C
C
1
X
&
C
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

68. Составление схем

Логические основы компьютеров, 10 класс
69
Триггер (англ. trigger – защёлка)
Триггер – это логическая схема, способная хранить
1 бит информации (1 или 0). Строится на 2-х
элементах ИЛИ-НЕ или на 2-х элементах И-НЕ.
set, установка
S
вспомогательный
выход
Q
1
режим
0 0 Q Q
хранение
обратные связи
0 1
0
1
сброс
Q
1 0
1 1
1
0
0
0
установка 1
1
R
S R Q Q
основной
выход
запрещен
reset, сброс
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

69. Триггер (англ. trigger – защёлка)

Логические основы компьютеров, 10 класс
70
Триггер – таблица истинности
S
1
0
Q
0
Q
R
1
1
1
Q
0
Q
0
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
0
Q
S R Q Q
режим
0 0 Q Q
хранение
обратные связи
0 1 0
1
сброс
Q
1 0 1
1 1 0
0
0
установка 1
1
запрещен
http://kpolyakov.spb.ru

70. Триггер – таблица истинности

Логические основы компьютеров, 10 класс
71
Полусумматор
Полусумматор – это логическая схема, способная
складывать два одноразрядных двоичных числа.
A
S сумма
A B
P
S
Σ
B
P перенос
P A B
S A B A B A B
A
B
A
B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
& A B
& A B
& A B
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
S A B A B
P
?
Схема на 4-х
элементах?
http://kpolyakov.spb.ru

71. Полусумматор

Логические основы компьютеров, 10 класс
72
Сумматор
Сумматор – это логическая схема, способная
складывать два одноразрядных двоичных числа с
переносом из предыдущего разряда.
перенос
A
B
C
Σ
A
B
C
P
S
0
0
0
0
0
S сумма
0
0
1
0
1
P перенос
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

72. Сумматор

Логические основы компьютеров, 10 класс
73
Многоразрядный сумматор
это логическая схема, способная складывать два
n-разрядных двоичных числа.
A
an an-1 a1
B
bn bn-1 b1
C p cn cn-1 c1
перенос
a1
b1
0
c1
Σ
p2
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
a2
b2
Σ
c2
p3
an
bn
pn
cn
Σ
p
перенос
http://kpolyakov.spb.ru

73. Многоразрядный сумматор

74
Логические
основы
компьютеров
§ 25. Логические задачи
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

74. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
75
Метод рассуждений
Задача 1. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за
закрытыми дверями проекты договора, представленные каждой из стран.
Отвечая затем на вопрос журналистов: «Чей именно проект был
принят?», министры дали такие ответы:
Россия — «Проект не наш (1), проект не США (2)»;
США
— «Проект не России (1), проект Китая (2)»;
Китай — «Проект не наш (1), проект России (2)».
Один из них оба раза говорил правду; второй – оба раза говорил
неправду, третий один раз сказал правду, а другой раз — неправду. Кто
что сказал?
проект США (?)
проект Китая (?)
(1) (2)
проект России (?)
(1) (2)
(1) (2)
Россия
+
–
Россия
+
+
Россия
–
+
США
+
–
США
+
+
США
–
Китай
+
–
+
Китай
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Китай
http://kpolyakov.spb.ru

75. Метод рассуждений

Логические основы компьютеров, 10 класс
76
Табличный метод
Задача 2. Дочерей Василия Лоханкина зовут Даша, Анфиса и Лариса. У
них разные профессии и они живут в разных городах: одна в Ростове,
вторая – в Париже и третья – в Москве. Известно, что
• Даша живет не в Париже, а Лариса – не в Ростове,
• парижанка – не актриса,
• Много вариантов.
• в Ростове живет певица,
• Есть точные данные.
• Лариса – не балерина.
Париж
Ростов
Москва
0
1
0
1
0
0
0
0
1
!
Даша
Анфиса
Лариса
Певица
Балерина
Актриса
1
0
0
0
1
0
0
0
1
В каждой строке и в каждом столбце может
быть только одна единица!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

76. Табличный метод

Логические основы компьютеров, 10 класс
77
Использование алгебры логики
Задача 3. Следующие два высказывания истинны:
1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет.
2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба вместе.
Определить, какие корабли вышли в море.
Решение:
… если корабль A вышел в море, то корабль C – нет.
1. Неверно, что если корабль A вышел в
море, то корабль C – нет.
A C 0
2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба
вместе.
A C (B C) 1
A C 1
A C 1
B C 1
A C (B C B C) 1
A C (B C B C) 1
A C B 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
A 1, B 0, C 1
http://kpolyakov.spb.ru

77. Использование алгебры логики

Логические основы компьютеров, 10 класс
78
Использование алгебры логики
Задача 4. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла
выйти из строя». Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер
исправен. Мастер по ремонту сказал, что с процессором все в порядке, а
память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали все
верно, а третий – все неверно. Что же сломалось?
Решение:
A – неисправен процессор, B – память, C – винчестер
хозяин:
B 0, B 1
сын:
A C 1
Если ошибся хозяин:
X1 B A C A B 1
Если ошибся сын:
X2 B A C A B 1
Если ошибся мастер:
X3 B A C A B 1
мастер:
X3 B A C (A B) 1
X3 B A C 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
A B 1
A 1
B 0
C 0
http://kpolyakov.spb.ru

78. Использование алгебры логики

Логические основы компьютеров, 10 класс
79
Использование алгебры логики
Задача 5. На вопрос «Кто из твоих учеников изучал логику?»
учитель ответил: «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис.
Однако неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис». Кто же
изучал логику?
Решение: A – логику изучал Андрей, B – Борис, C – Семен
«Если логику изучал Андрей,
то изучал и Борис».
A B 1
«Неверно, что если изучал
Семен, то изучал и Борис».
C B 0
1 способ:
(A B) (C B) 1
( A B) (C B) 1
( A B) C B 1
C B 1
A 0
B 0
C 1
A C B 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

79. Использование алгебры логики

Логические основы компьютеров, 10 класс
80
Использование алгебры логики
Задача 5. На вопрос «Кто из твоих учеников изучал логику?»
учитель ответил: «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис.
Однако неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис». Кто же
изучал логику?
Решение: A – логику изучал Андрей, B – Борис, C – Семен
«Неверно, что если изучал
Семен, то изучал и Борис».
2 способ:
B 0
C 1
C B 0
«Если логику изучал Андрей,
то изучал и Борис».
A B 1
С
B
С B
A
B
A B
A 0
0
0
1
0
0
1
B 0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
C 1
1
1
1
1
1
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

80. Использование алгебры логики

Логические основы компьютеров, 10 класс
81
Использование алгебры логики
Задача 6. Суд присяжных пришел к таким выводам:
• если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен
Сенькин
• если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен
Виновен ли Аськин?
Решение: A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин
«Если Аськин не виновен или Баськин
виновен, то виновен Сенькин».
«Если Аськин не виновен, то
Сенькин не виновен».
(A B) C 1
A C 1
((A B) C) (A C ) 1
(( A B) C) (A C) 1
(A B C) (A C ) 1
A 0
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
C C 1
Аськин
виновен
http://kpolyakov.spb.ru

81. Использование алгебры логики

Логические основы компьютеров, 10 класс
82
Использование алгебры логики
Задача 6б. Суд присяжных пришел к таким выводам:
• если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен
Сенькин
• если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен
Виновен ли Баськин?
Решение: A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин
(A B C) (A C ) 1
B 0
A 1
(A B C) (A C ) 1
B 1
C A 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Не получили
противоречия:
возможно, что и
виновен
http://kpolyakov.spb.ru

82. Использование алгебры логики

Логические основы компьютеров, 10 класс
83
Использование алгебры логики
Задача 6в. Суд присяжных пришел к таким выводам:
• если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен
Сенькин
• если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен
Виновен ли Сенькин?
Решение: A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин
(A B C) (A C ) 1
C 0
A B 1
(A B C) (A C ) 1
C 1
A 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Не получили
противоречия:
возможно, что и
виновен
http://kpolyakov.spb.ru

83. Использование алгебры логики

84
Логические
основы
компьютеров
Задачи ЕГЭ
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

84. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
85
Задачи ЕГЭ
Для какого из указанных значений X истинно
высказывание ¬((X > 2)→(X > 3))?
(X 2) (X 3)
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
(X 2) (X 3) 1
A B 0
(X 2) (X 3) 0
A 1, B 0
X 2 X 3
X 3
Укажите, какое логическое выражение равносильно
выражению A ¬(¬B C).
1) A B C
1) ¬A ¬B ¬C
2) A B C
2) A ¬B ¬C
A ( B C)
3) A B C
3) A B ¬C
4) A B C
4) A ¬B C
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

85. Задачи ЕГЭ

Логические основы компьютеров, 10 класс
86
Задачи ЕГЭ (2)
Каково наибольшее целое число X, при котором
истинно высказывание
(50 < X·X) → (50 > (X+1)·(X+1))
В целых числах:
A
B
50 X X 8
50 (X 1)2 X 1 7 - 8 X 6
2
-8 -7 -6
A B 1 A 0, B 0
A 0, B 1
6
7
8
Xmax 7
A 1, B 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

86. Задачи ЕГЭ (2)

Логические основы компьютеров, 10 класс
87
Задачи ЕГЭ (6)
Перед началом Турнира Четырех болельщики
высказали следующие предположения по поводу своих
кумиров:
А) Макс победит, Билл – второй;
В) Билл – третий, Ник – первый;
С) Макс – последний, а первый – Джон.
Когда соревнования закончились, оказалось, что
каждый из болельщиков был прав только в одном из
своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон,
Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите
A подряд
B безC
пробелов места участников в указанном порядке имен.)
Джон
1
Ник
1
Билл
2
3
Ответ: 3124
Макс
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
1
4
http://kpolyakov.spb.ru

87. Задачи ЕГЭ (6)

Логические основы компьютеров, 10 класс
88
Задачи ЕГЭ (7)
На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живет
по одному человеку. Их зовут Василий, Семен, Геннадий и
Иван. Известно, что все они имеют разные профессии:
скрипач, столяр, охотник и врач. Известно, что
(1) Столяр живет правее охотника.
(2) Врач живет левее охотника.
(3) Скрипач живет с краю.
(4) Скрипач живет рядом с врачом.
(5) Семен не скрипач и не живет рядом со скрипачом.
(6) Иван живет рядом с охотником.
(7) Василий живет правее врача.
(8) Василий живет через дом от Ивана.
Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы
имен жильцов всех домов слева направо. Например, если бы
в домах жили (слева направо) Кирилл, Олег, Мефодий и
Пафнутий, ответ был бы КОМП.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

88. Задачи ЕГЭ (7)

Логические основы компьютеров, 10 класс
89
Задача Эйнштейна
Условие: Есть 5 домов разного цвета, стоящие в ряд. В каждом доме живет по одному
человеку отличной от другого национальности. Каждый жилец пьет только один
определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит животное.
Никто из пяти человек не пьет одинаковые напитки, не курит одинаковые сигареты
и не держит одинаковых животных.
Известно, что:
1. Англичанин живет в красном доме.
2. Швед держит собаку.
3. Датчанин пьет чай.
4. Зеленой дом стоит слева от белого.
5. Жилец зеленого дома пьет кофе.
6. Человек, который курит Pallmall, держит птицу.
7. Жилец среднего дома пьет молоко.
8. Жилец из желтого дома курит Dunhill.
9. Норвежец живет в первом доме.
10. Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку.
11. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill.
12. Курильщик Winfield пьет пиво.
13. Норвежец живет около голубого дома.
14. Немец курит Rothmans.
15. Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду.
Вопрос: У кого живет рыба?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

89. Задача Эйнштейна

Логические основы компьютеров, 10 класс
90
Конец фильма
ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич
д.т.н., учитель информатики
ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург
[email protected]
ЕРЕМИН Евгений Александрович
к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной
дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь
[email protected]
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

90. Конец фильма

Логические основы компьютеров, 10 класс
91
Источники иллюстраций
1.
2.
3.
http://www.peoples.ru
http://ru.wikipedia.org
авторские материалы
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru