Свойства квадратных корней. Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень

1.

СВОЙСТВА
КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

2.

Сложение, вычитание, умножение, деление,
возведение в степень
a b b a,
a n b n (ab) n
Теорема 1: Квадратный корень из произведения двух
неотрицательных чисел равен произведению
квадратных корней из этих чисел:
ab a b .
Пример 1:
1) 49 0,64 49 0,64 7 0,8 5,6

3.

Замечание 1:
Теорема остается справедливой и для случая,
когда подкоренное выражение представляет
собой
произведение более чем двух неотрицательных
множителей.
Замечание 2:
Если а и b – неотрицательные числа,
то справедливо равенство
ab a b .

4.

Теорема 2:
Если a 0, b 0,
равенство
то справедливо
a
a
.
b
b
Корень из дроби равен дроби от корней
Корень из частного равен частному от
корней

5.

Пример 2: Вычислить
36 64 9.
36 64 9 36 64 9 6 8 3 144.
Замечание 3. Другое решение: перемножить числа 36, 64, 9, а
затем извлечь квадратный корень из полученного произведения.
Пример 3: Вычислить
9
10 .
16
9
9 169
10 10
.
16
16 16
1
169 13
169
3 .
4
4
16
16

6.

Пример 4: Вычислить
І способ
37 1369,
2
37 12 .
2
2
12 144,
2
37 2 122 1369 144 1225,
1225 35.
ІІ способ
37 12 (37 12)(37 12) 25 49,
2
2
25 49 25 49 5 7 35.
Замечание 4:
При первом способе мы проводили вычисления «в лоб».
Второй способ изящнее: мы применили формулу а2-b2=(а-b)(а+b)
и воспользовались свойством квадратных корней.

7.

Пример 5: Вычислить
37 12 .
2
2
Замечание 5:
372 122 372 122 37 12 25. Не верно!
Нет свойств!!!
a b a b
a b a b
Пример 6: Вычислить:
24 6
а)
ab a b ,
a b ab
24 6 24 6 144 12;
б)
24 : 6
24
4 2.
24 : 6
6

8.

Если a 0 и n - натуральное число, то
a
a 6 a3 ,
a .
2n
n
a10 a5 .
Пример 7: Вычислить, не используя таблицу квадратов
чисел и микрокалькулятор
7056
7056 2
3528 2
1764 2
882 2
441 3
147 3
49 7
7 7
1
7056 24 32 72 ,
7056 24 32 72
24 32 72
22 3 7 84.

9.

Пример 8: Вычислить, не используя таблицу квадратов
чисел и микрокалькулятор
7056
Замечание 6: Нетрудно догадаться, что в ответе получится 80
«с хвостиком», поскольку 802 < 7056 < 902. Найдем «хвостик», т. е.
последнюю цифру искомого числа.
81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89
84 и 86
842 7056,
7056 84.

10.

Упростить:

11.

Квадратный корень из
степени
a a
2

12.

4. Тождество
a2 a
a 0, то
a2 a
a 0 ?
a
1) a 0
а – отрицательное число, значит,
-а – положительное число.
2) a a 2 .
2
a, если a 0;
a
a, если a 0.
2
a, если a 0;
a
a, если a 0.
a2 a

13.

14.

15.

Пример 1: Упростить выражение
a) a 1 0;
б ) a 1 0;
(a 1) 2 a 1
a 1 0;
a 1 a 1;
(a 1) 2 a 1.
б ) a 1 0;
a 1 a 1 1 a;
(a 1) 2 1 a.
( a 1) 2 , если:

16.

1
2
32
a
Пример 2: Упростить выражение
, если а<0:
2a
1
32a 2
2a
a 0;
2
4 2 a 2 2 a
32 a
.
2a
2a
a
2
a a;
2 2 a
a
2 2
2 2 ( a)
2 2.
a

17.

Пример 3: Вычислить
3 2 3 1 .
2
2
1 3 2;
1 3 4;
3 2 0;
3 1 0;
3 2 3 2 2 3;
3 1 3 1;
3 2 3 1 3 2 3 1 2 3 3 1 1.
2
1
2