Матрицы и определители. Лекция 2

1.

Лекция-2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
План лекции
Матрицы и их свойства
Линейные операции над матрицами
Умножение матриц
Определители и их свойства
Алгебраическое дополнение и минор
Формула Лапласа
Обиджон Абдуллаев

2.

2.1 Матрицы и их свойства
Матрицей размера m n называется совокупность mn чисел,
расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:
a11 a12 ... a1n
a
a
...
a
22
2n
A 21
.
.
.
.
.
a
a
...
a
mn
m1 m 2
Пример:
2 1 4
A 6 2 8
0 3 6
размера 3 3
Числа, составляющие матрицу, называются элементами
матрицы. Если m≠n, то матрица называется прямоугольной. Если
m=n, то матрица называется квадратной порядка n.
Обиджон Абдуллаев

3.

Матрица размера m 1 вида
a1
a
2
am
состоит из одного столбца и
называется вектор-столбцом, а матрица A=[a1 a2…an]
размера
1 n, состоящая из одной строки – вектор-строкой.
В случае квадратной матрицы
a11 a12 ... a1n
a
a
...
a
22
2n
A 21
.
.
.
.
an1 an 2 ... ann
элементы a11, a22,…ann образуют главную диагональ, а элементы
an1, an-1 2,…a1n – побочную диагональ матрицы.
Обиджон Абдуллаев

4.

Квадратная матрица, у которой все элементы aij равны 0
называется нулевой матрицей.
Матрица
1 0 ... 0
0 1 ... 0
E
. . . .
0
0
0
1
называется единичной.
Линейные операции над матрицами:
1. сравнение
А
=В,
если
у
них
элементы,
расположенные
на
соответствующих местах, равны.
Обиджон Абдуллаев

5.

2. сложение
Для того, чтобы сложить две матрицы
A и B (одинаковой
размерности) нужно сложить их соответствующие элементы.
Для того, чтобы найти разность матриц А и В (одинаковой
размерности) нужно из каждого элемента матрицы А вычесть
соответствующий элемент матрицы В.
Матрица -А называется матрицей противоположной А.
Пример: Пусть
Тогда
2 5 6
A
,
0 4 1
1 7 10
A B
,
6
0 9
3 2 4
B
.
0 5 7
5 3 2
A B
,
0 1 8
2 5 6
A
.
0 4 1
Обиджон Абдуллаев

6.

3. умножение на число
Для того, чтобы умножить матрицу А на число R нужно
каждый элемент матрицы умножить на число .
Пример: Пусть
тогда
2 5 6
A
,
0 4 1
4 10 12
2 A
.
0 8 2
Обиджон Абдуллаев

7.

4. умножение на вектор-столбец
Для умножения
m n матрицы
А на вектор-столбец
х
необходимо, чтобы число столбцов n матрицы А было равно числу
элементов вектор-столбца х. Тогда произведение матрицы А на
вектор-столбец х обозначается Ах и равно
a11 a12 ... a1n x1 a11x1 a12 x2 ... a1n xn
a
a22 ... a2 n x2 a21x1 a22 x2 ... a2 n xn
21
Ax
.
.
.
.
.
...
am1 am 2 ... amn xn am1x1 am 2 x2 ... amn xn
Обиджон Абдуллаев

8.

2 5 6
Пример: Пусть A
,
0 4 1
1
x 0 .
2
Тогда
1
2 5 6 2 ( 1) 5 0 ( 6) 2 14
.
Ax
0
0 4 1 0 ( 1) 4 0 ( 1) 2 2
2
Обиджон Абдуллаев

9.

5. умножение двух матриц
a11 a12 ... a1n
a
a
...
a
21
22
2n
Пусть A
.
.
.
.
a
a
...
a
mn
m1 m 2
и
b11 b12 ... b1k
b
b22 ... b2 k
21
B
.
.
.
.
b
b
...
b
nk
n1 n 2
m n и n k матрицы (согласованные матрицы) соответственно.
Произведением матрицы А на матрицу В называется m k
матрица С с элементами сij равными сумме произведений
элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы jго столбца матрицы В, т.е. сij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj,
i=1..m, j=1..k.

10.

2 4 1
1 1
Пример: Найти произведение матриц A
и B
.
1
0
0 3 1
1 2 ( 1) 0 1 4 ( 1) 3 1 1 ( 1) ( 1) 2 1 2
A B
.
1 4 0 3
1 1 0 ( 1) 2 4 1
1 2 0 0
Матрица АТ , получаемая из данной матрицы А путем замены
строк на столбцы, и наоборот, называется транспонированной.
Пример:
1 1
A
,
1 0
1 1
A
.
1 0
T

11.

2.2 Определители и их свойства
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.
Определителем
n-го
порядка
матрицы
А
называется
алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов,
взятых точно по одному из каждой строки и каждого столбца
матрицы А. Знак каждого слагаемого определяется специальным
правилом.
Определители n-го порядка содержат n! членов.
a11
A
a 21
Пример:
a12
= a11a22- a12a21 – определитель второго порядка.
a 22
2 5
A
2 7 ( 5) 3 14 ( 15) 29.
3 7

12.

a11
A a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 a11a22a33+a12a23a31+ a13a21a32- a13a22a31-a11a23a32a33
-a12a21a33 – определитель третьего порядка.
Правило треугольника: три положительных члена определителя третьего
порядка представляют собой произведения элементов главной диагонали и
элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников,
основания которых параллельны главной диагонали. Три его
отрицательных члена представляют собой произведения элементов
побочной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух
равнобедренных треугольников, основания которых параллельны
побочной диагонали.
«+»
«-»

13.

Свойства определителя n-го порядка:
1. Определитель матрицы А равен определителю
транспонированной матрицы, т.е. А АТ .
2. Если все элементы некоторой строки матрицы А равны 0, то
определитель равен 0.
3. Общий множитель всех элементов строки определителя можно
вынести за знак этого определителя.
4. Если в определителе поменять местами две строки, то он изменит
знак на противоположный.
5. Если определитель имеет две равные строки, то он равен 0.
6. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то
определитель равен 0.

14.

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его
некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой
строки, умноженные на одно и то же число k.
Минором Мij элемента aij называется определитель (n-1)
порядка, получающийся вычеркиванием из определителя n-го
порядка элементов i –ой строки и j-го столбца, i, j=1..n.
Пример:
2 1 4
2 1
( 2) 3 1 0 6 – минор
A 6 2 8 , M 23
0
3
6
0
3
элемента а23.
Алгебраическим дополнением элемента aij называется число
Aij=(-1)i+j Мij.
A23=(-1)2+3 М23=(-1)(-6)=6.

15.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо
его строки
на соответствующие алгебраические дополнения
элементов этой строки.
Формула Лапласа:
A =ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin, i=1..n.
Пример: вычислить определитель
а) по правилу треугольников:
2 1 4
6 2 8 ( 2) 2 6 6 3 4 1 ( 8) 0 4 2 0
0 3 6
3 ( 8) ( 2) 1 6 6 24 72 0 0 48 36 36.

16.

б) используя формулу Лапласа, разложим определитель по
элементам третьей строки:
A =a31A31+a32A32+a33A33,
2 1 4
4
4
3 1 1
3 2 2
6 2 8 0 ( 1)
3 ( 1)
2 8
6 8
0 3 6
6 ( 1)
3 3
2 1
0 3 ( 1) (( 2) ( 8) 4 6)
6 2
6 1 (( 2) 2 1 6) 0 ( 3) ( 8) 6 ( 10) 24 60 36.