Последовательность. Определение

1. АЛГЕБРА – 9

Лазурненская СОШ
Учитель математики
Мещанинец А.А.

2. Тема урока:

3. Определение:

Если каждому натуральному числу
поставлено в соответствие
определённое действительное число, то
говорят, что задана числовая
последовательность.
Числу 1 соответствует число а ,
числу 2 соответствует число а ,
числу 3 соответствует число а ,…
числу n соответствует число а и т. д.
1
2
3
n

4. Запись: (аn), (вn), (сn) и т. д.

Запись: (а ), (в ), (с ) и т. д.
n
n
n
a , a , a ,…,a ,…- члены числовой
последовательности.
а – первый член;
а – второй член;
1
2
3
n
1
2
а - третий член;
а – n-ый член последовательности.
3
n

5. Способы задания последовательности:

• Аналитический – последовательность
задаётся формулой n-го члена.
• Рекуррентный – любой член
последовательности, начиная с некоторого,
выражается через предшествующие члены.
• Словесный – задание последовательности
описанием.

6. Аналитический:

Последовательность (вn) такова, что для
каждого номера n соответствующий член вn
можно найти по формуле
вn = n² - n + 1
Подставляя в формулу вместо n последовательно
натуральные числа 1, 2,…,
получим:
в1 = 1² - 1 + 1 = 1,
в2 = 2² - 2 +1 = 3,
в3 = 3² - 3 + 1 = 7 и т. д.
последовательность: 1, 3, 7, 13, …

7. Рекуррентный:

Указывается первый член (или несколько начальных членов)
последовательности и формулу позволяющую определить любой член
последовательности по известным предшествующим членам.
а1 = 1, а2 = 1, аn+2 = an + an+1
Имеем:
а3 = а1 + а2 = 1 + 1 = 2;
а4 = а2 + а3 = 1 + 2 = 3;
а5 = а3 + а4 = 2 + 3 = 5;
а6 = а4 + а5 = 3 + 5 = 8;
получаем последовательность:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

8. Словесный:

• Члены последовательности –
простые числа меньшие 20,
взятые в порядке возрастания.
Следовательно легко найти, что:
с1=2; с2=3; с3=5; с4=7; с5=11; с6=13; с7=17; с8=19
последовательность:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

9. Виды последовательностей:

Бесконечная последовательность;
Конечная последовательность;
Колеблющаяся последовательность;
Постоянная последовательность.

10. Бесконечная последовательность:

Последовательность состоящая из
правильных дробей с числителем,
равным 1:
1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ;...
2 3 4 5 6 7

11. Конечная последовательность:

• Все двузначные числа, оканчивающиеся
цифрой 5, записанные в порядке
возрастания:
15; 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95.

12. Колеблющаяся последовательность:

1) Последовательность
10; -10; 10; -10; 10; -10; 10 …
Формула задания: (-1)ⁿ ·10
2) Последовательность
5; 0; 5; 0; 5; 0; 5; 0

13. Постоянная последовательность:

• Последовательность, все члены
которой равны между собой.
-4; -4; -4; -4; -4; -4;…
7; 7; 7; 7; 7; 7; 7;…

14. Возрастание и убывание:

• Возрастающей является та и только та
последовательность, каждый член
которой (начиная со второго) больше
предыдущего.
• Убывающей является та и только та
последовательность, каждый член
которой (начиная со второго) меньше
предыдущего.

15. Пример:

• Бесконечная последовательность
чётных чисел:
2; 4 ; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18;…

16. Пример:

Последовательность состоящая из
правильных дробей с числителем,
равным 1:
1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ;...
2 3 4 5 6 7

17. Задание 1:

В последовательности n членов.
Укажите номер:
1. последнего члена;
2. предпоследнего члена;
3. пятого от конца члена;
4. k-го от конца члена.

18. Самопроверка:

1. а
2. a
3. a
4. a
n
n-1
n-5
n-k

19. Задание 2:

• Даны последовательности:
(аn): 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;
(вn): 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111;
(сn): 1; ½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6; 1/7;
(dn): ½; 2/3; ¾; 4/5; 5/6; 6/7; 7/8; 8/9;
(xn): 1; -2; 3; -4; 5; -6; 7; -8; 9; -10;
(yn): 1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7.
Какие из данных последовательностей являются
возрастающими? убывающими?

20. Самопроверка:

• Возрастающие:
(вn)
(dn)
• Убывающие:
(аn)
(сn)

21. Задание 3:

• Выпишите члены последовательности
(вn), которые расположены между:
а) в20 и в25;
б) вk и вk+7;
в) вk-2 и вk+3.

22. Самопроверка:

а) в21 ,в22,
в23, в24.
б) вk+1, вk+ 2, вk+3, вk+4, вk+5, вk+6.
в) вk-1, вk, вk+1, вk+2.

23. Домашнее задание:

1.
2.
3.
Стр.81, гл.III, §7, п.15, №331;
Приведите примеры:
Возрастающей последовательности;
Убывающей последовательности;
Последовательности, не являющейся
ни возрастающей, ни убывающей
(карточки).