Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

1. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

2.

Повторите материал на следующих
слайдах

3. Определение

Арифметической
Геометрической
прогрессией
а1,а2,а3,…аn,..
b1,b2,b3,…bn,…
называется последовательность,
отличных от нуля чисел
каждый член которой, начиная со второго,
равен предыдущему члену,
сложенному с одним
умноженному на одно
и то же число.
и тем же числом.

4. Определение

Числовая последовательность
а1,а2,а3,…аn,..
b1,b2,b3,…bn,…
называется
арифметической
геометрической
если для всех натуральных n
выполняется равенство
an+1= an+ d
bn+1= bn* q
bn 0

5. Геометрической прогрессией называется

числовая последовательность
в1 , в2 , в3 ....., вn ,.....
, если для
всех натуральных n выполняется
равенство
вn 1 вn * q
где q - некоторое число.
вn 0
qn 0
27.03.2023
5

6.

q – знаменатель геометрической
прогрессии
q
27.03.2023
bn 1
bn
6

7. Вывод

bn 1
q
bn
d an 1 an
d>0
арифметическая прогрессия
возрастающая
d<0
арифметическая прогрессия
убывающая
q>1
геометрическая прогрессия
возрастающая
0 < q < 1
геометрическая прогрессия
убывающая

8. По определению геометрической прогрессии:

b2 b1 * q
в3 в2 1 в2 * q b1 * q * q b1 * q
2
в4 в3 1 в3 * q b1 * q * q b1 * q
2
bn b1 * q
27.03.2023
n 1
Формула
n-го
члена
3
8

9. Формула n-го члена прогрессии

Пусть заданы а1 и d
а2=а1+d
a3=a2+d=a1+d+d=а1+2d
a4=a3+d=а1+3d
……………………………..
an=a1+(n-1)d
Пусть заданы b1 и q
b2= b1*q
b3= b2*q= b1*q*q=b1*q2
b4=b1*q3
…………………………………………….
.
bn= b1* qn-1
Чтобы задать
арифметическую
геометрическую
прогрессию, достаточно указать её
первый член и
первый член и
разность
знаменатель

10.

Свойство геометрической
прогрессии:
Каждый член геометрической
прогрессии, начиная со второго,
равен среднему геометрическому
двух соседних с ним членов.
bn bn 1 * bn 1
27.03.2023
10

11.

Пример 1.
1
Дано : b1 81, q
3
Найти : b7
Решение
bn b1 * q
b7 b1 * q
7 1
n 1
4
81 3
1 1
6 6 2
3
3
3
9
1
Ответ :
9
27.03.2023
11

12.

Доказать, что последовательность
2n
b
7
заданная формулой n
,
является геометрической
прогрессией
Пример 2.
Доказательство.
q
bn 1
bn
bn 7
2n
bn 1 7
27.03.2023
2 ( n 1)
12

13.

q
27.03.2023
7
2 ( n 1)
7
2n
2n 2
2n
2
7
7 *7
2n
49
2n
7
7
Т.к. частное не зависит
от n значит
последовательность
является геометрической
прогрессией.
13

14.

Пример 3.
Дано : b1 2, b2 6, bn 486
Найти : n
b2 6
q 3
b1 2
bn b1 * q
3 3
5
n 1
486 2 * 3
n 1
243 3
27.03.2023
Решение
n 1
n 1
n 1 5
n 6
Ответ : 6
14

15. Задание 1.

Дано: (bn ) - геометрическая прогрессия
b1= 5 q = 3
Найти: b3 ; b5.
Решение: используя формулу bn = b1 q n-1
b3 =b1q2 = 5 . 32 =5 . 9=45
b5 =b1q4 = 5 . 34 =5 . 81=405
Ответ:45; 405.
Решение

16. Задание 2.

Дано: (bn ) - геометрическая прогрессия
b4= 40 q = 2
Найти: b1.
Решение: используя формулу bn = b1 q n-1
b4 =b1q3 ; b1 = b4 : q3 =40:23 =40 :8=5
Ответ: 5.
Решение

17. Задание 3.

Дано: (bn ) - геометрическая прогрессия
b1= -2, b4=-54.
Найти: q.
Решение: используя формулу bn = b1 q n-1
b4 =b1q3 ; -54=(-2) q3; q3= -54:(-2)=27;
q=3
Ответ: 3.
Решение

18.

19. Домашнее задание:

Повторите материал по теме, выпишите и
выучите формулы на слайде 18, решите
№ 627(а, б), №648, № 650(а, б)