Понятие логарифма. Лекция 4

1.

Понятие логарифма
Лекция 4

2.

Решите устно уравнение
2 4
х
Х=2

3.

Решите устно уравнение
х
1
9
3
Х=-2

4.

Решите устно уравнение
1
6
х
Нет решений
6

5.

Решите устно уравнение
3 6
х
1<x<2

6.

Логарифм (log)
1594 год

7.

«Изобретатель» логарифмов
•Джон Непер
(1550-1617)Английский математик,
составитель первой
таблицы логарифмов

8.

x
3 =6
x=log36

9.

Логарифм
• Логарифм числа b по основанию а -это показатель
степени в которую нужно возвести основание а,
чтобы получить число b
log a b

10.

Понятие логарифма
log a b x
a b
x
a >0 a ≠1 b>0

11.

Решите устно
log 2 8
=3
log 1 16 =-4
2
1
1
log 3
=-3 log
49
27
7
log 0,5 8
log 7 1 =0
log 5 5 =1
=-0,5
=-3
log 4 ( 16)
Не имеет
смысла

12.

Свойства логарифма

13.

Некоторые свойства логарифмов
log a a 1

14.

Вычислить:
log 2 2 1
log 12 12 1
log 3 3 1
log 5 5 1

15.

Основные свойства
log a 1 0

16.

Вычислить:
log 3 1
0
log 13 1 0
log 5 1 0
log 7 1 0

17.

Некоторые свойства логарифмов
log a a с
c

18.

Вычислить:
log 2 16 log 2 2 4
4
log 2 64 log 2 2 6
6
log 3 27 log 3 3 3
4
log 3 81 log 3 3 4
3

19.

Вычислить:
1
1
log 2 log 2 2 1
2
1
1
log 3
log 3 3 1
3
1
log 2 log 2 2 3 3
8

20.

Основное логарифмическое
тождество
а
loga b
b

21.

Вычислить:
3
log3 18
5
log5 14
7
log7 8
=18
=14
=8

22.

Вычислить:
9
log3 5
3
2 log3 5
=25
=27
2
2 log5 11 =121
log 11
25
5
8
log2 3
5
3log2 3

23.

Свойства логарифмов
log a xy log a x log a y
log 24 3 log 24 8
log 24 24 1

24.

Вычислить:
log 12 4 log 12 3
log 12 12 1
log 15 5 log 15 3
log 15 15 1
log 6 9 log 6 4
log 6 36 2
log 8 16 log 8 4
log 8 64 2

25.

Свойства логарифмов
x
log a log a x log a y
y
log 6 24 log 6 4
24
log 6
log 6 6 1
4

26.

Вычислить:
log 12 48 log 12 4
log 5 75 log 5 3
log 2 12 log 2 3
log 10 50 log 10 5
48
log 12
log 12 12 1
4
75
log 5
log 5 25 2
3
log 2
12
log 2 4 2
3
50
log 10
log 10 10 1
5

27.

Свойства логарифмов
log n b 1n log a b
a
log a b n log a b
n

28.

Свойства логарифмов
log an b log a b
n
log c b
log a b
log c a

29.

Примеры
1
log 36 6 log 6 2 6
2
3
log 5 125 log 5 5 3
1
6 3
log 16 64 log 24 2
4 2
6

30.

Вычислить:
log 8 2
log 2 8
1
log 23 2
3
3
log 2 2 3
log 8 32
log 27 81
1
5
log 23 2
3
4
4
log 33 3
3
5

31.

Вычислить:
log 0,5 0,125
log 0,5 0,5 3
log 0,3 0,027
log 0,3 0,33 3
log 1 27
3
3
log 3 1 3
3
1
3
3
log 1 27
9
3
log 3 2 3
1,5
2
3

32.

33.

Задачи

34.

35.

36.

37.

Логарифмические уравнения

38.

Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под
знаком логарифма или (и) в его основании,
называется логарифмическим уравнением.

39.

Приемы решения
1) Простейшее логарифмическое уравнение loga x = b.
Решением является
Пример
Решение
2x-5=23
2x - 5 = 8
2x = 13
x=6,5
log2(2x - 5) = 3
x=ab

40.

Приемы решения
f(x)= g(x),
2) loga f(x) = loga g(x)
g(x)>0,
f(x)>0.
f(x)= g(x),
g(x)>0,
Пример
Решение
2x-5=2+x
log2(2x - 5) = log2(2+x)
2x - x = 2+5
x=7
Ответ: 7
f(x)= g(x),
f(x)>0.

41.

Приемы решения
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
h(x) ≠ 1,
f(x) > 0,
3) logh(x) f(x) = logh(x) g(x)
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
h(x) ≠ 1,
g(x) > 0.

42.

Приемы решения
4. Использование свойств логарифма
Пример
log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),
Решение
О.Д.З.
log3(x(x + 3)) = log3(x + 24)
x>0
x(x+3)=x+24
X+3>0
X+24>0
x2 + 2x - 24 = 0
x={-6;4}
x>0
Ответ: 4

43.

Методы решения логарифмических
уравнений
• Метод подстановки
f(logax)=0 t=logax
f(t)=0
Пример
lg2x - 3lgx + 2 = 0
Решение
lg x = t
lgx=1
t2-3t+2=0 lgx=2 x={10;100}

44.

Логарифмические неравенства
Неравенство, содержащее неизвестное под знаком
логарифма или (и) в его основании, называется
логарифмическим неравенством.
1) loga f(x) > loga g(x)
2) logh(x)f(x)>logh(x)g(x)
f(x)>g(x)>0,
a>1.
0<f(x)<g(x),
0<a<1.
f(x)>g(x)>0,
h(x)>1.
0<f(x)<g(x),
0<h(x)<1.

45.

3) logh(x)f(x)>logh(x)g(x)
4) f(logax)>0
(h(x)-1)(f(x)-g(x))>0,
h(x)>0,
f(x)>0,
g(x)>0.
t=logax,
f(t)>0.