Ряды Фурье

1. Дисциплина МАТЕМАТИКА 3.1

Лектор:
доцент
Тарбокова
Татьяна
Васильевна
1

2. Ряды Фурье

• Ряды Фурье позволяют изучать периодические
• (и непериодические) функции при помощи
представления их функциональными рядами.
• Переменные токи и напряжения,
• смещения, скорость и ускорение кривошипношатунных механизмов и акустические волны - это
типичные практические примеры применения
периодических функций в инженерных расчетах.
• Разложение в ряд Фурье основывается на
предположении, что все имеющие практическое
значение функции в интервале, равном периоду этих
функций, можно выразить в виде сходящихся
тригонометрических рядов.
2

3.

3

4.

Ортогональная система функций
Опр. Система функций φi(x)∈[a,b]
называется ортогональной на этом
промежутке, если
i j
0,
( i , j ) i j dx
const , i j
a
b
Опр. Пусть система функций
1( x) 2 ( x) ... n ( x)...
ортогональна на [a, b].
Ряд вида
a1 1 ( x) a2 2 ( x)
an n ( x )
an n ( x )
n 1
где ai – известные числа, называется рядом по ортогональной
системе функций
φ1, φ2 , …, φn
на промежутке [a, b] .
4

5.

5

6.

Теорема. Тригонометрическая система функций
1
x
x
2 x
2 x
n x
n x
, cos
, sin
, cos
, sin
, , cos
, sin
,
2
l
l
l
l
l
l
ортогональна на промежутке [-l;l].
Опр. Ряд по тригонометрической системе функций называется
тригонометрическим рядом:
a0
x
x
2 x
2 x
n x
n x
a1 cos
b1 sin
a2 cos
b2 sin
an cos
bn sin
2
l
l
l
l
l
l
a0
n x
n x
bn sin
an cos
2 n 1
l
l
Если этот ряд сходится к некоторой функции f(x) в каждой точке
непрерывности этой функции, то говорят, что f(x) разлагается в ряд
по тригонометрической системе функций.
a0
x
x
2 x
2 x
n x
n x
f ( x) a1 cos b1 sin
a2 cos
b2 sin
an cos
bn sin
2
l
l
l
l
l
l 6

7. Опр. Ряд по тригонометрической системе функций называется рядом Фурье, если его коэффициенты находят по формулам:

a0
x
x
2 x
2 x
n x
n x
f ( x) a1 cos b1 sin
a2 cos
b2 sin
an cos
bn sin
2
l
l
l
l
l
l
7

8.

Теорема Дирихле.
(достаточные условия сходимости ряда к функции f(x) на отрезке [-l;l])
Пусть на отрезке [-l;l] функция f(x) удовлетворяет условиям:
1) f(x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода
(говорят, кусочно-непрерывна);
2) f(x) монотонна или имеет конечное число интервалов монотонности
(говорят, кусочно-монотонна).
Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится во всех точках [-l; l],
и его суммой является функция S(x), определенная на [-l; l] следующим
образом:
а) S(x)=f(x), если x∈(-l; l) , x – точка непрерывности функции f(x);
б) S ( x) f ( x 0) f ( x 0),
2
в)
если x∈(-l; l) , x – точка разрыва функции f(x);
f ( l 0) f (l 0) на границе промежутка [-l; l].
S ( l ) S ( l )
2
Причем на любом отрезке, не содержащем точек разрыва функции,
сходимость тригонометрического ряда Фурье равномерная.
Условия 1 и 2 называются условиями Дирихле
8

9.

Все функции тригонометрической системы периодические,
их общий период T=2l.
Следовательно, если ряд Фурье сходится на промежутке [–l;l],
то он сходится и на всей числовой прямой.
Его сумма периодически повторяет значения функции, которые она
принимает на [–l;l].
Поэтому говорят о разложении в ряд Фурье функции f(x)
не только на промежутке [–l;l],
но и функции, которая является периодическим продолжением f(x)
c периодом 2l на всю числовую ось.
0, если x 0,
f ( x)
x, если 0 x ,
пример
y
-4π
-3π
-2π -π
π
2π
3π
4π
x
9

10.

пример
0, если x 0,
f ( x)
x, если 0 x ,
y
-4π
-3π
-2π
-π
π
2π
3π
4π
x
( 1) n 1
( 1) n 1
f ( x)
cos
nx
sin
nx
2 n 1 n 2
n
2
1
1
2
1
1
2
cos5
x
sin 5 x
cos3x sin 3x sin 4 x
cos x sin x sin 2 x
25
5
4
9
3
2
2

11.

11

12.

12

13.

Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций
(неполные ряды Фурье)
1l
a0 f ( x)dx
l l
f(x) – четная => a0
все bn= 0
Ряд по косинусам:
f(x) – нечетная =>
a0= 0, все an= 0
Ряд по синусам:
l
n x
1
an
f ( x) cos
dx
l l
l
2
l
l
f ( x)dx
0
an
2
l
l
f ( x) cos
0
l
n x
1
bn
f ( x) sin
dx
l l
l
n x
dx
l
a0
n x
S ( x ) an cos
,
2 n 1
l
2
bn
l
l
0
S ( x)
n x
f ( x) sin
dx
l
n 1
bn sin
n x
l
Ряды называются неполными тригонометрическими рядами Фурье

14.

Функция задана на полуинтервале [ 0 ; l ]
Пусть
f(x) – задана на полуинтервале [ 0 ; l ]
Продолжить f(x) на промежуток [ – l ; 0] можно произвольным образом,
но принято это делать четным или нечетным образом.
Для функций, отличных от нуля в начале координат, применяют четное
продолжение, чтобы избежать разрыва функции в точке x = 0.
Для функций, равных нулю в начале координат, променяют нечетное продолжение,
т.к. при этом непрерывной оказывается и производная функции в точке x = 0.
пример: f(x) = x-1 задана на [0, π]
y
y
-π
-π
-1
π
Продолжение четным образом
x
-1
π
x
Продолжение нечетным образом

15.

15

16.

Функция задана на произвольном промежутке
Пусть задана периодическая функция
на интервале [ l ; l +2l ]
f ( x ) с периодом T = 2l
y
S
S
l
-l
λ
2l
l 2l
l
l
f ( x)dx
l
f ( x)dx
λ+2 l
x

17.

При вычислении коэффициентов Фурье
для периодической функции f ( x ), заданной на интервале [ l ; l +2l ],
в силу геометрического смысла определенного интеграла
можно пользоваться формулами:
1
a0
l
an
l 2l
f ( x)dx
l
1
l
1
bn
l
l 2l
l
l 2l
l
f ( x) cos
n x
dx
l
n x
f ( x) sin
dx
l

18.

18

19.

Правило перемножения рядов
f ( x ) a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ...
( x ) b0 b1 x b2 x 2 ... bn x n ...
f ( x ) ( x ) a0b0 ( a0b1 a1b0 ) x (a0b2 a1b1 a2b0 ) x 2 ...
(a0bn a1bn 1 ... an b0 ) x n ...
Значения синуса и косинуса
cos n ( 1)n ;
0, n 2k 1,
cos( n )
n
2 ( 1) 2 , n 2k ;
0, n 2k ,
sin(n )
n 1
2 ( 1) 2 , n 2k 1.
19

20. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

20