Подготовка к ЕГЭ. Умения выполнять действия с функциями (геометрический и физический смысл производной)

1.

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ

2.

7
Умения выполнять действия с
функциями (геометрический и
физический смысл производной)

3.

1. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на
интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых
производная функции положительна.
Решение: 1. f/(x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика.
2. Найдем все целые точки на этих отрезках.
y
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
y = f (x)
x
1 2 3 4 5 6 7 8
Ответ: 8

4.

2. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на
интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых
производная функции отрицательна.
Решение: 1. f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика.
2. Найдем все целые точки на этих отрезках.
y
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
y = f (x)
x
1 2 3 4 5 6 7 8
Ответ: 5

5.

3. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на
интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых
производная функции отрицательна.
Решение: 1). f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки
графика.
2). Найдем все целые точки на этих отрезках.
y
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
y = f (x)
x
1 2 3 4 5 6 7 8
Ответ: 8

6.

4. Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b]
На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек
графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.
y
y = f(x)
a
b
x
Ответ: 5

7.

5. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-7; 7)
На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции параллельна прямой y = 10.
y
y = 10
y = f(x)
-7
-7 x
Ответ: 5

8.

6. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-6; 7).
На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции параллельна прямой y = 6.
y
y=6
.
y = f(x)
-6
В этой точке производная НЕ
существует!
-7
x
Ответ: 3

9.

7. На рисунке изображен график производной функции у =f (x),
заданной на промежутке (- 8; 8).
Найдем точки, в которых f /(x)=0 (это нули функции).
y
+
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
–
f/(x)
f(x)
-5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
0
y = f /(x)
+
+
1 2 3 4 5 6 7
–
3
7
x
x

10.

8. Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее
точек минимума.
4 точки экстремума
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x) -8 +
-5
f(x)
–
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
0
+
3
–
7
+ 8
x
x
Ответ:2

11.

9. Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 6; –1]
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x) -8 +
-5
f(x)
–
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
0
+
3
–
7
+ 8
x
x
Ответ:– 5

12.

10. Найдите количество точек экстремума функции у =f (x)
на отрезке [– 3; 7]
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x) -8 +
-5
f(x)
–
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
0
+
3
–
7
+ 8
x
x
Ответ: 3

13.

11. На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому
графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции у =f(x) в точке х0.
у
Решение:
у =f(x)
f ( x0 ) k tg
8
tga = 2
4
tga = 1
tga = 4
1=-tgα=-4
х0
a
х
1
O
-3
8
aa -7
2
Ответ: -4

14.

12. На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому
графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции у =f(x) в точке х0.
у
Решение:
tga = 123
3
12
a
O
1
х
х0
у =f(x)
Ответ: 0,25

15.

13. На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому
графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции у =f(x) в точке х0.
у
Решение:
2
tga = 8
a
1
a
O
1
a 8
tga =0,25
х0
х
2
1=-tg α=-0,25
у =f(x)
Ответ: -0,25

16.

14. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале
(-3;10) . Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .
-1 0 1 2 3
6 7 8 9
-1 + 0 + 1+2 + 3 + 6 + 7+ 8 + 9= 35
Ответ: 35

17.

15. На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x) ,
определенной на интервале (-8:5). В какой точке отрезка
принимает наибольшее значение?
[-3;2]
у
х
f ( x) 0 f ( x) убывает
Ответ:-3

18.

16. На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x) ,
определенной на интервале (-2;20) . Найдите количество точек максимума
функции f(x) , принадлежащих отрезку [-1;18] .
f ( x) 0
f ( x) 0
f/(x)
f(x)
+
–
+
–
Точка максимума – точка перехода от
+
_
+
x
графика функции к
f ( x) 0
f ( x) 0
Ответ: 3

19.

17. На рисунке изображен график y=f‘(x) — производной функции
f(x),
определенной на интервале (-3;8) . Найдите промежутки возрастания функции. В
ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
-2 -1 0 1 2
6 7
f ( x) 0 функция возрастает
-2+(-1)+0+1+2+6+7= 13
Ответ: 13

20.

18. На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x) ,
определенной на интервале (-6;8) . Найдите промежутки возрастания функции
f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ: 6

21.

19. На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x),
определенной на интервале (-8;6). Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ: 3

22.

20. На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции f(x)
, определенной на интервале (-3;11) . Найдите количество точек, в
которых касательная к графику функции параллельна прямой y= -x+19
или совпадает с ней.
f‘ (x) = -1
Ответ: 3

23.

21. На рисунке изображен график y=f '(x) — производной функции f(x),
определенной на интервале (-7;4) . Найдите точку экстремума функции
f(x) , принадлежащую отрезку .
Ответ: -3

24.

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в
точке с абсциссой x0 Найдите значение производной функции f(x) в
точке x0
.
.

25.

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на
интервале . Найдите количество точек, в которых производная
функции равна 0 .