Корни натуральной степени из числа, их свойства

1.

2.

Корнем n – й степени из действительного
числа a (n – натуральное число) называют
такое действительное число x, при возведении
которого в степень n получается число a.
n
n
Это число обозначают: x=
a
- подкоренное выражение
-показатель корня
Если a 0, n = 2,3,4,5,…, то
n
n
n
1) a 0; 2) ( a ) = a;
Неотрицательное значение корня n –й степени из
неотрицательного числа называется арифметическим корнем.

3.

Операция извлечения корня является обратной
по отношению к возведению в соответствующую
степень.
Возведение в степень
5² = 25
10³ = 1000
0,3⁴ = 0,0081
n
Извлечение корня
25
=
5
3
1000
=
10
4
0,0081 = 0,3
Иногда выражение a называют радикалом от
латинского слова radix – «корень».
Символ - это стилизованная буква r.

4.

Пример 1:
3
7
4
Вычислить: а) 49; б) 0,125; в) 0 ; г) 17
Решение:
а) 49 = 7, так как 7 > 0 и 7² = 49;
3
б) 0,125 = 0,5, так как 0,5 > 0 и 0,5³ = 0,125;
4
в) 0 ;
г) 17 ≈ 2,03
Корнем нечётной степени n из отрицательного
числа a (n=3,5,…) называют такое отрицательное
число, которое при возведении в степень n даёт в
результате число a.

5.

Итак,
Если a < 0, n = 3,5,7,…, то
n
n
n
1) a < 0; 2) ( a ) = a;
Вывод:
Корень чётной степени имеет смысл (т.е. определён)
только для неотрицательного
подкоренного
выражения; корень нечётной степени имеет смысл
для любого подкоренного выражения.
Пример 2:
Решите уравнения: 3 3x 4 2
4
3x 2 1
4
2 5 x 4
6
x 5x 68 2
2

6.

а) 3 3x 4 2
Возведём обе части уравнения в куб:
3x 4 8
б) 4 3x 2 1
3x 12
x 4
Возведём обе части уравнения в четвёртую степень:
3x 2 1
в) 4 2 5 x 4
3x 3
x 1
Решений нет. Почему?
г) 6 x 2 5x 68 2
Возведём обе части уравнения в шестую степень:
x 2 5 x 68 64
x 2 5 x 4 0 x1 1, x2 4

7.

Иррациональным выражением относительно
какой-либо переменной называется выражение,
в котором эта переменная находится под
знаком корня (радикала).
Мы будем рассматривать только арифметические
значения корня.
Подобными корнями называются корни одной
степени, имеющие одинаковые подкоренные
выражения.
Чтобы сложить или вычесть иррациональные
выражения, нужно записать их соответственно со
знаком «+» или «-» и привести подобные корни.

8.

1.Корень n-степени (n=2,3,4,5, …) из произведения
неотрицательных чисел равен произведению
корней n-степени из этих чисел:
=
Пример:
=
= 2*3=6

9.

2. Чтобы извлечь корень из дроби, нужно извлечь
корень из числителя и знаменателя отдельно и
первый результат разделить на второй:
=
Пример:
=
=

10.

3. Если a≥0, n=2,3,4,5,… и k – любое натуральное
число, то справедливо равенство:
Пример:

11.

4. Если a≥0, n и k - натуральные числа, большие
1, то справедливо равенство:
Пример:

12.

5. Если показатели корня и подкоренного
выражения умножить или разделить на одно и
то же отличное от нуля число, то значение корня
не изменится:
Пример:

13.

6. Чтобы извлечь корень из степени, показатель
которой делится на показатель корня, нужно
показатель степени разделить на показатель
корня:
Пример: