Аксиомы стереометрии

1.

A
B
A
B
C

2.

Теорема 1
Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость, и
притом только одна.
Дано:
a;
A ∉ a;
Доказать:
1. ∃β: a ∊ β, A ∊ β;
2. β – единственная.
Доказательство.
1. B ∊ a; C ∊ a;
A, B, C – не лежат на одной прямой;
∃β: (A, B, C) ∊ β; (Аксиома А1)
B ∊ a;
⟹ BC ∊ β; a ∊ β; (Аксиома А2)
C ∊ a;
β – искомая плоскость.
B
a
C
A
2. Любая другая плоскость, проходящая
через прямую a и точку A проходит через
B, C и A.
Через три точки проходит единственная
плоскость (аксиома А1). Поэтому
плоскость совпадет с плоскостью β.

3.

Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна.
Дано:
a, b;
b
A
Доказать:
1. ∃ α : a ∊ β, b ∊ β;
2. α – единственная.
Доказательство.
1. B ∊ b;
A ∊ α;
⟹ b ∊ α; (Аксиома А2)
B ∊ α;
α – искомая плоскость.
B
a
2. ∃β: (a, b) ∊ β; β ≠ α;
B ∊ β;
β ≡α;
α – единственная плоскость.

4.

Задача 1.
Дано:
Точки A, B, C и D
не лежат в одной плоскости.
C
Найти:
Могут ли прямые AB и CD
пересекаться?
A
Решение:
Через AB и CD проходит
единственная плоскость.
противоречит условию;
Ответ: Нет.
B
D

5.

Задача 2.
Дано:
Верно ли утверждение:
если две точки окружности
лежат в плоскости, то вся
окружность лежит в этой
плоскости;
Решение:
A
B

6.

Задача 2.
Дано:
Верно ли утверждение:
если две точки окружности
лежат в плоскости, то вся
окружность лежит в этой
плоскости;
Решение:
Ответ: Нет.
AA
B
B

7.

Задача 3.
Дано:
Верно ли утверждение:
если три точки окружности лежат в
плоскости, то и вся окружность лежит в
этой плоскости?
A
B
Решение:
C
(A, B,C) – не лежат на одной прямой;
Через (A, B,C) проходит единственная плоскость;
Ответ: Верно.
(аксиома A1)

8.

Задача 4.
Дано:
M
B
Доказать:
a, b – лежат в одной плоскости.
Определить:
лежат ли в одной плоскости a, b, d.
Решение:
(2 следствие аксиом)
(аксиома А2)
– что и требовалось доказать.
a
d
c
A
b